二次函数复习讲义完美docx.docx

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二次函数最全面的复习讲义

学习目标

1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；

4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

知识网络

L

二次西数的概念

实际问题

二次两数

y=or2（a丰0）—ar2+c（a工0）

y-a（x—h）2+A（a工0）』=ar2+&r+〔（aHO）

二次函数的对称轴、顶点坐标

用隨数观点看

一元二次方程

…元二次方程与二次函数的关系

利用二次函数的图象求一元二次方程的解

刹车距离

=实际问题与二次两数

何时获得最大利润

垠大面积棗多少

要点一、二次函数的定义

—般地，如果x=是常数，那么丁叫做工的二次函数.要点诠释：

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aHO）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a二0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越人，抛物线的开口越小.

二、用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式:

（1）一般式：

'X=＜，^+Ax'h＜：

（a,b,c为常数，aHO）；

（2）顶点式:

Z=（a,h,k为常数,aHO）；

⑶交点式：

尸吃-咲-可（兀，花为抛物线与x轴交点的横坐标，aHO）.

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下笫一步，设：

先设出二次函数的解析式，如或才一几尸十上，

或尸无一兀农-砧，其中曲0；

第二步，代：

根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；

第三步，解：

解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，述原：

将求出的待定系数还原到解析式中.

类型一：

二次函数的概念

⑴y=-3x2；

（3）y=3x2-4-x\

1、下列函数中，是关于X的二次函数的是（填序号）.

;（5）y=

ax'+3x+6；

（6）^=V^+2x+3

【变式1】下列函数中，是二次函数的是（）

、）y-2x4-1

【变式2】如果函数八农一①八"是二次函数，求口的值

类型二、求二次函数的解析式

1.已知二次函数的图象经过原点及点目.图象与X轴的另一交点到原点的距离

为1,则该二次函数的解析式为

尸=_丄己★丄JTa.

【答案】33或y=

【变式】已知：

抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x二1,交x轴于点A、B（A在B的左侧）,且AB=4,交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的朋标.

【答案】

•・•对称轴x=l,且AB二4

・••抛物线与x轴的交点为:

A（-l,0）,B（3,0）

■

1—b+c=O

/.y=x2-2x-3为所求,

Vx=l时y=-4,・・・M（1,-4）.

课堂练习

1.已知二次函数的图象过（一1,一9）、（1,-3）和（3,-5）三点，求此二次函数的解析式

【答案与解析】

木题已知三点求解析式，可用一般式•设此二次函数的解析式为y=ax24bx+c（a^0）,由题意得:

・••所求的二次函数的解析式为y=-x：

：

+3x-5.

2在直角坐标平面内，二次函数图彖的顶点为*-仅H•过点恥国.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图彖向右平移几个单位，对使平移后所得图彖经过坐标原点？

并直接写岀平移示所得图象

与兰轴的另一个交点的坐标.

【答案】

⑵令尸°,得^-2x-3=0f解方程，得铲可耳

・・・二次西数图象与工轴的两个交点坐标分别为阳和（-⑷.

・••二次函数图彖向右平移1个单位后经过坐标原点.

平移后所得图彖与工轴的另一个交点坐标为

3.已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式.

【答案与解析】

解法一：

设二次函数解析式为=（a^0）,由图象知函数图象经过点（3,0）,

（0,3）.

a=7

A=2«

解得・•・抛物线解析式为

解法二：

设抛物线解析式为》=皿*-敬一巧）@工0）.

由图象知，抛物线与x轴两交点为（-1,0）,（3,0）.则有》=皿＞+矩一场，即

课后巩固练习

一、选择题

1.二次函数的图象经过点A（0,0）,B（-l,-11）,C（l,9）三点,则它的解析式为（）.

、x^+tOxb=c[）y=-F+10乃

y；x^2

A.（2,3）B.（3,2）C.（3,3）D.（4,3）

5•将函数z=^+x的图象向右平移a（a>0）个单位，得到函数Z=的图象,

A.1B.2C.3

D.4

6.若二次函数^=

+*^+«的X与y的部分对应值如下表:

X

-7

-6

-5

-4

-3

-2

Y

-27

-13

-3

3

5

3

则当x=l吋，y的值为（）

A.5B・一3C.-13D.-27

二、填空题

7.

bx+c

抛物线，二一只十虹+匕的图彖如图所示，则此抛物线的解析式为

第7题

8.已知二次函数的图彖过坐标原点，它的顶点坐标是（1,-2）,则这个二次函数的关系

式为.

9.已知抛物线^="^+2，+2.该抛物线的对称轴是,顶点坐标；

10.如图所示已知二次函数/=的图象经过点（-1,0）,（1,-2）,当y

随x的增人而增人时，x的取值范围是・

11.已知二次函数尸=占十0人十<：

@工0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:

-1

1

1

V

■■

•••

■

1

-1

"|

0

"|

1

■

1

•••

—

—

—

—

C

1

■

9

C

1

■

7

■

•••

1■

-2

~4

-2

■

0

■

•••

~r

~T

则该二次函数的解析式为・

12.己知抛物线^=dZ?

q_*x+tf的顶点朋标为（3,-2）,且与x轴两交点间的距离为4,

则抛物线的

解析式为.

三、解答题

13.根据下列条件，分別求出对应的二次函数解析式.

（1）已知抛物线的顶点是（1,2）,且过点（2,3）；

（2）已知二次函数的图象经过（1,-1）,（0,1）,（-1,13）三点；

（3）已知抛物线与x轴交于点（1,0）,（3,0）,且图象过点（0,-3）.

14.如图，已知直线y=-2x+2分别与x轴、y轴交于点A,B,以线段AB为直角边在第

一象限内作等腰直角

三角形ABC,ZBAC=90°,求过A、B、

15.在矩形A0BC中,0B=6,0A=4,分别以OB,OA所在的直线为工轴和？

轴建立如图所

kr=-示的平面直角处标系,F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数X（k

>0）的图彖・AC边交于点E.

（1）求证:

AEXA0=BFXB0；

（2）若点E的坐标为⑵4）,求经过点0,E,F三点的抛物线的解析式.

1.【答案】D；

【解析】设抛物线的解析式为Jr=«a+*^+<:

（a^o）,将A、B、C三点代入解得

"10,c=0.

2.【答案】C:

【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即

Va=l>0,x=-l时，，"一'・

3.【答案】A；

4.【答案】D；【解析】I•点A,B均在抛物线上，J1AB与x轴平行,

・••点A与点B关于对称轴x=2对称，又・・・A（0,3）,

Ya=3,

・••点B的坐标为（4,3）.

5.【答案】B；

AB=4,yB=

【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是

y=的顶点坐标是

移动的距离

6.【答案】D；

【解析】此题如果先用待定系数法求出二次两数解析式，再将x=l代入求函数值，显然太繁，

而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题.

观察表格中的函数值，可发现，当x=-4和x=・2时，函数值均为3,由此可知对称轴为x=-3,

再由对称性可知x=l的两数值必和x=-7的函数值相等，而x=-7时y=-27.x=l时，y=-27.

二、填空题

7.【答案】=

4-2jt+3

【解析】由图象知抛物线Lx轴两交点为（3,0）,（-1,0）,则,

8.

【答案】八纶-护一2;

【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可.

9.【答案】（l）x=l；（1,3）；

【解析】代入对称轴公式-N和顶点公式I加力丿即可.

2

10.【答案】2；

【解析】将（丄0）,（1,-2）代入

中得b=-l,

Z=1

・•・对称轴为2

在对称轴的右狈9,即2时，y随X的增人而增人.

11.【答案】2

【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值.要认真分析表格屮的每一对X、y值，

从中选出较简单的三对x、y的值即为（・1,-2）,（0,-2）,（1,0）,

设二次函数解析式为Z=«^+^+«（a7£0）

由表知

■

再设一般式＞用待定系数法求解.

・・・二次函数解析式为尸Hh-2.

Z=l（x-3）a-2

12.【答案】2【解析】由题意知抛物线过点⑴0）秋5,0）.

三、解答题

13.【答案与解析】

⑴・・•顶点是（1,2）,・••设尸*_卉2（#0）.

乂•・•过点（2,3）,・・・.・・a=i.

...，=（*—0力4-2,即y=F—2r+3

（2）设二次函数解析式为心工0）.

由函数图象过三点（1,-1）,（0,1）,（-1,13）得

|a+b+e=-Lc=L

|口・6+©=口

■

故所求的函数解析式为严*-九十1.

⑶由抛物线与X轴交于点（1,0）,（3,0）,

・・・设y=a（x-l）（x-3）（a^0）,XV过点（0,-3）,a（0-1）（0-3）=-3y3—-li

・・・y=-（x-l）（x-3）,即”7.

14.【答案与解析】

过C点作CD±x轴于D.

在y=・2x+2中,分别令y=0,x=0,得点A的坐标为（1,0）,点B的坐标为（0,2）.由AB=AC,ZBAC=90°,^ABAO^AACD,

・•・AD=OB=2,CD=AO=1,

・•・C点的坐标为（3,1）.

设所求抛物线的解析式为尸"swis,

a+A+e=0,

9ki+3&+c=l

15.【答案与解析】

⑴证明：

由题意知，点E、F均在反比例函数X图象上，且在第一象限,

所以AEXAO=k,BFXBO=k,从而AEXAO=BFXBO.

（2）将点E的坐标为（2,4）代入反比例函数”餌0所以反比例函数的

解析式为

T0B=6,

/•当x=6吋,

设过点0、E、F三点的二次函数表达式为r=«3+te+

（a^0）,

解得

e=0

4

36a+6fr^c=-

3

・・・经过0、E、F三点的抛物线的解析式为：

99

要点二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①+*.@x=4^-*）a.④才=〈_硏十上

A=_±_

其中2a94s.=（以上式子aHO）

几种特殊的二次函数的图彖特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

>=<1^

当"0时

开口向卜.

"0（匸轴）

（0,0）

/=

J=°（-yW

（o,--）

jr=a（r-*y

x=A

（■•,0）

jr=o（x—jk）1+Jt

当存＜0时

开口向下

j=A

G,±）

A=*+Ax+c

b

x

2a

b4oc-护（2fl‘4«）

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

（1）说的符号决定抛物线的开口方向：

当吋，开口向上；当开口向下:

H相等，抛物线的开口大小、形状相同.

（2）平行于匸轴（或重合）的直线记作J=*特别地，'■轴记作直线J=°.

3.抛物线""中，6%的作用：

（D-决定开口方向及开口人小，这与尸=山屮的门完全一样.

（2）土和金共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线Z=

的对称轴是直

故：

®4=0时，对称轴为匸轴；

*>0

2。

（即二、上同号）吋，对称轴在［轴左侧；

*<0

3a（即「夕异号）时，对称轴在丁轴右侧.

（3）<的人小决定抛物线与匸轴交点的位置.当刁=°时，y=c,

...抛物线》=与y轴有且只有一个交点（°,c）:

①tf=0,抛物线经过原点；②c>°,与H轴交于正半轴；③c<0,与H轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立•如抛物线的对称轴在孑轴右侧，

则匕

类型一、二次函数y二ax2（aHO）的图象与性质

1

1.二次函数y=x2的图象对称轴左侧上有两点A（a,15）,B（b,-）,则a-b0（填“>”、

或“=”号）.

【解析】

将A（a,15）,

又A、B在抛物线对称轴左侧，•••a<0,b<0,即

【变式1】二次函数》=虫与》=一2只的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则

【答案】2.

【变式2】不计算比较大小:

函数的图象右侧上有两点A（a,15）,B（b,0.5）,贝9ab.

答案】>・

2.已知y=（m+l）xrf*是二次函数且其图象开口向上求m的值和函数解析式.

【答案与解析】

由题意,

解得m=l,

・••二次函数的解析式为：

y=2^.

3.求卞列抛物线的解析式：

（1）与抛物线2形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0,・5）的抛物

线；

（2）顶点为（0,1）,经过点（3,・2）并口关于y轴对称的抛物线.

【答案与解析】

y=+3—

（1）由于待求抛物线2形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为二,

>=—JT又顶点坐标是（0,・5）,故常数项*=-5,所以所求抛物线为2・

（2）因为抛物线的顶点为（0,1）,所以其解析式可设为^=^+1,

a=_l

又・・•该抛物线过点（3,・2）,・・・％41=-2,解得亍.・・・所求抛物线

3

4.在同一直角坐标系中，画和的图象，并根据图象回答下列问题.

-3-2-1

y

1

\o!

?

?

:

-1

■

■

-3

B

-4

■

-5

■

-6

■

-7

■

■8

-9

⑴抛物线向平移个单位得到抛物线，=7;

⑵抛物线开口方向是,对称轴为，顶点处标为

⑶抛物线当X—时，随X的增人而减小；当X—时，函数y有最—

值，其最—值是—.

【答案与解析】

函数F与F十1的图彖如图所示:

⑵向下；y轴;

人；1.

课堂练习

一、选择题

1.关于函数y=厂的图彖，则下列判断中正确的是（）

A.若a、b互为和反数，则xf与x"的函数值相等;对于同一个自变量x,有两个函数值与它对•应；对任一个实数y,有两个x和它对应；对任意实数x,都冇y>0.

下列函数屮，开口向上的是（

B.

C.

D.

2.

B，="2

3.把抛物线7=X向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为（）.

A.>=?

+lB.八（Z

C.UD.尸（5

4.下列函数中，当x<0时，y值随x值的增大而增大的是（）

5•在同一坐标系中，作出"2,尸-2

ys-z3

2的图象，它们的共同点是

（）.

B.关于y轴对称，抛物线的开口向下

D.关于原点对称，抛物线的顶点都是

A.关于y轴对称，抛物线的开口向上

C.关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

原点

6•晴天吋，汽车的刹车距离s（m）•开始刹车时的速度v（m/s）Z间满足二次函数

W，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为（）.

A.10m/sB.15m/sC.20m/sD.25m/s

二、填空题

7.已知抛物线的解析式为y=-3x2,它的开口向,对称轴为,顶点坐标是

当x>0吋，y随x的增大而.

8.若函数y=ax?

过点（2,9）,贝ija=.

9.已知抛物线y=x2±有一点A,A点的横坐标是过点A作AB〃x轴,交抛物线于另一点B,则AAOB的而积

为•

10.写出一个过点（1,2）的函数解析式•

11.函数的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛

12.若对于任意实数x,二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是

【解析】

根据抛物线尸二心仏*。

的图象的性质，当aVO时，在对称轴（x=O）的左侧，y

值随x值的增人而增人,所以答案为B.

5.【答案】C；

【解析］y=2x2,y=-2x2,

的图彖都是关于y轴对称的,

其顶点坐标都是（0,

0）.

6.【答案】B；

—>^=2.25

【解析】当s=2.25时，13,v=15.

二、填空题

7.【答案】卜；y轴；（0,0）；减小；

9

&【答案】；

【解析】将点（2,9）代入解析式中求a.

9.【答案】1；

【解析】由抛物线的对称性可知A（-l,1）,B（l,l）,则22

10.【答案】7=2

【解析】答案不唯一.

—丄J

11•【答案】八衣・

【解析】

J.

先比较2,|1|,|3|的大小关系，由⑻越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次

是y=3xSy=x2,2.

12.【答案】a>-l；

【解析】二次函数+°只的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以

a+l>0.

三、解答题

13.【解析】

解：

⑴・.」=（12）严"为二次函数，且当x>o时，y随x的增大而增大，

M>4-m=2

・m+2>0

{

m=12m=-2

*i>-2

••,

（2）由

（1）得这个二次函数解析式为自变量x的取值范围是全体实数，可

以用描点法画出这个函数

的图象.如图所示.

y

14.【解析】

解：

（1）V抛物线经过A（-2,-8）,

••・8=4a9••a=-2,

抛物线的解析式为：

A=

（2）

当x=-l时,y=-

=-2#=-4,

•••点B（-1,-4）不在此抛物线上.

（3）当y=6时，即得x=±j3

・・・此抛物线上纵朋标为-6的点的坐标是（击，・6）和（・石，-6）.

15.【解析】

解：

（1）将x=l,y二b代入y=2x-3,得b=・2,所以交点坐标是（1,-1）.

将x=l,y=・l代入y=ax,得a=-l,所以a=-l,b=-l.

（2）抛物线的解析式为y=-x2,顶点坐标为（0,0）,对称轴为直线“0（即y轴）.

（3）当xVO时，y随x的增大而增大.

（4）设直线尸・2与抛物线尸吠2相交于A、B两点，抛物线顶点为0（0,0）.

・・.A（r^,.2）,B（盪，・2）・

・・・AB二|返・（■施）|二2握，高=|-2|=2.

类型二、二次函数y=a（x・hL2+k（aH0）的图象与性质

1.将抛物线Z=2（^-0J+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.

（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；

（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向；

（3）以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向.

【答案与解析】

抛物线戶3卩43的顶点为（1,3）.

（1）将抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,顶点为（・1,0）,而开口方向和形状不变，

所以a=2,得到抛物线解析式为尸2（1+1/="+32.

（2）顶点不动为（1,3）,开口方向反向，贝=-2,

所得抛物线解析式为"一立+3=-2/+4*.

（3）因为新顶点与原顶点（1,3）关于x轴对称，故新顶点应为（1,-3）.又・・・抛物线开口反向，

・・・"一2.故所得抛物线解析式为尸2「旷7=-2十4斗5.

【答案与解析】

根据题意得,y=（x-4）2-2=x2-8x+14,

所以

/=—（r—3）a+4/=—j?

【变式】二次函数2的图彖可以看作是二次函数2的图彖向—平

移4个单位，再向_平移3个单位得到的.

【答案】上；右.

3.已知片"越与Ji的图象交于a、B两点，其中A（0,-1）,B（l,0）.

（1）确定此二次函数和直线的解析式；

⑵当序<乃时，写出自变量x的取值范围.

【答案与解析】

⑴・.・「"-硏，耳=后“的图象交于人、b两点，

解得I""'且"7・・・二次函数的解析式为

Y-b,直线方程为

（2）画出它们的图象如图所示,由图象知当xVO或x>l时,万咗乃.

4.如图，抛物线的顶点为A（2,1）,且经过原点0,与x轴的另一个交点为B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求AAOB的面积；

（3）若点P（m,-m）（mHO）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标.

b_

（注：

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-.

0

A

/

\x

【答案与解析】

解：

（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1,将点0（0,0）的坐标代入得：

4a+l=0,

11

解得a=--.所以二次函数的解析式为y=・r（x-2）2+1；

1

（2）V抛物线y=・r（x-2）2+1的对称轴为直线x=2,几经过原点0（0,0）,

丄

・••与X轴的另一个交点B的坐标为（4,0）,ASzsaob=-X4X1=2；

（3）：

•点P（m・m）（mHO）为抛物线（x-2）2+1_E一点，

1

A-m=--^（m-2）2+l,解得mi=0（舍去），m2=8,.'.P点坐标为（&・8）,

・・•抛物线对称轴为直线x=2,.\P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（・4,-8）.如下图.

课堂巩固

一、选择题

1.抛物线尸的顶点坐标是（）

A.（