第十章曲线积分与曲面积分习题简答docx.docx

1、第十章曲线积分与曲面积分习题简答docx第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题1011计算下列对弧长的曲线积分:(2)f (兀+ 1)加，其中L是顶点为O (0,0),A(l,0)及 J L3(0,1)所成三角形的边界；解：(X- y + )ds = 3 + 2a/2 .(3)其屮厶为圆周x2 + r解：+ ) ds = 2 .(4)x2yzds ,其屮乙为折线段 ABCD,这里 4(0,0,0), B(0,0,2), C(l,0,2),(1,2,3)；解： 35 = |5 .(0,0,2)0(1,2,3)C(1.02)2求八分Z球mx2+y2 + z2=l(0,y0,-0)的边界曲饯的重心，设

2、曲线的密/ A(0,0,0) y解故所求重心坐标为(寿灵,扫习题1021设厶为xOy Bl内一直线y = b (为常数)，证明证明：略.2计算下列对坐标的曲线积分：(1)| xydx ,其屮L为抛物线),=兀上从点4(1,-1)到点B(l,l)的一段弧。解：j xydx =(2)(x2 +)Q)dx + (x2 - y2)dy ,其屮 L 是|II|线 y = 1 -|1 -x| 从对应于兀=0 时的点到(3)| yclx + xdy, L是从点A(-a,0)沿上半圆周x2 + y2 = a2到点B(a,O)的一段弧; 解 )dx + xdy = 0.(4)Lxy2dy-x2ydx，其中厶沿右

3、半圆x2+.y2=tz2以点A(0,a)为起点，经过点C(a,0) 到终点B(0,-o)的路径;解 J 小dy x2ydx = 一扌/。(5) x3dx-3zy2dy-x2ydz，其中厶为从点 A(3,2,l)到点3(0,0,0)的直线段AB；x2 . v2 =1(6)I = I (z - y)dx + (x - z)dy(x - y)dz 乙为椭圆周 且从 z 轴j x-y + z = 2,正方向看去，L取顺时针方向。解：=S。1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:星形线(02兀)；) y = asinJ t,，t7j 3 2解：=7ta o8(2)圆兀$ + y2 = 2by ,

4、 (Z? 0 )； 解：=7tb2。2利用格林公式计算下列1111线积分：(1)J(y x)dx + (3%+y)dy，其屮厶是圆(x-1)2+(y-4)2 =9,方向是逆时针 方向；解： =18兀。(2)ydx + (Vshv -x)dy，其屮厶是依次连接 A(-1,0), B(2,l), C(l,0)三点的折线 段，方向是顺时针方向。解：2 .(3)(eA sin y - my)dx 4- ex cos y - m)dy ,其屮加为常数，L 为H x2 + y2 = 2ax上从点A(a,0)到点0(0,0)的一段有向弧;解:= m7rcr -0 = m兀cr。2 2(4)(进_咛，其屮厶为

5、椭圆4/ + y2=l,取逆时 Jl 对 + v针方向；解 =d& = 2兀.山，其屮(兀刃= / 厶为圆周x2 + y2=6x取逆时针方向，屮是 on dnu沿厶的外法线方向导数。3证明下列曲线积分在整个兀Oy面内与路径无关，并计算积分值:5(2,1)4(2,0) *K2,l)xOy面内恒成立，因此，曲线积分(2x + y)dx + (x-2y)dy在整个兀Oy面内与路径无 关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有K2,l)0)(2x + y)dx + (兀- 2y)dy = 4 +1 = 5。(2) I。)(2兀cosy y2 sinx)dx + (2ycosx-x2 sin

6、y)cly ；解 令 P = 2xcosy-y2sinx , Q = 2y cosx-x2 sin y ,则=-2(y sin x + xsin y)=理 在整个xOy Ul*内恒成立，因 dy dx此, o) (2x cos y 一 y2 sin x)dx + (2y cos x 一 x2 sin y)dy 在報 个xOy Bl内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有C(2xcosy - sin x)dx + (2y cosx-x2 sin y)dy2 2x cos y + y cos x。(3)1,2)p(x)dx + y/(y)dy ,其中(兀)和肖(刃为连续函数。

7、2)解 令P =(p(x), 0 = 0(y),则= 0= 在整个xOy面内恒成立，因此，曲线 cy dx1 7)+ 在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图2,1)所示的积分路径，则有+ =血皿 +0()d.y。积分4 y c(1.2)4验证下列P(x. y)dx + Q(x,y)dy在整个xOy面内为某函数u(x,y)的全微分,并求出这样的一个u(x,y):人(2,1) (1) (2x + sin y)dx + x cos ydy ；解令 P = 2x sin y , Q = xcos ydQ dP=cos y ,=cos ydx dy *原式在全平面上为某一函数的全微分，

8、取4(兀0)（），儿）=（，），Kx,y) 2 .u(x.y) = J。0)Pdx + Qdy = x + xsin y(2) (x2 + 2xy - y2)dx + (x2 - 2xy- y2 )dy ；解 因为 P = x2+2xy-y2 , Q = x2-2-y2f 所以 =2x-2y =在整个 dx dy无Oy面内恒成立，因此，：在整个xOy面内，（/+2巧一，2）心+ （/-2小一）=）,是某-函数心刃的全微分,即有(x2 + 2xy - y2)dx + (x2 - 2xy - y2 )dy = du 易矢口 u (x, y) = + %2 y xy2 )*+C。(3)ex(l +

9、siny)dx + (ex +2sin y)cosydy。解 令 P(x)= ex(l + siny) , Q(x,y) = (ex + 2sin y)cosy ,贝9在全平面上有型=乞之.osy,满足全微分存在定理的条件，故在全平血上， dx dyex (1 + sin y)dx + (ex + 2 sin y) cos ydy是全微分.u(x,y) = ex - +ex sin y + sin2 y .5可微函数f（x,y）应满足什么条件时，曲线积分打（x,y）（皿+ xdy）与路径无关？解令 P = yf（x9y）f Q = xf（x,y）f 则曲线积分 fyydx + xdy）在整个x

10、Oy面内与路径无关。习题1041当工为，面内的一个闭区域时，曲面积分口f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?答当工为兀Oy面内的一个闭区域D时，工在xOy面上的投影就是D,于是有JJ7(x,y,z)S f(x,y7O)dxdy oS D2计算曲面积分jj(x2 + y2 )dS，其中力是(1)锥面？ = vJx2 + /及平面z = 1所围成的区域的整个边界曲面；解= |(V2 + l0(2) yOz面上的直线段 (00；dS ,其中工是抛物面在xOy面上方的部分:(2)JJ(兀+y + z)S,其中工是上半球面x2 +y2 +z2 = a2 y z0；z解： =0 + 7Td =70?.

11、(3)|j(x +乂+ 2)dS,其屮工为平面- + - + - = 1在第一卦限的部分;岂 2 2 2 3 47陌6(4)I- S,其屮工是柱面x2 + y2=R2被平面z = 0. z = H所截得的部分.同理可求得所以_2nH _ R4求抛物面jtz = -(x2 + y2) ( 0 z 0 的上侧; z2 、 、解二原式=_加、0, y0, OWzWl及疋+),2a o习题1071若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。) 解：才r r3 , 8牝44/ra I dr o丄)777 32设某流体的流速为卩=(yz.zx.xy),求单位时间内从圆柱工：x2

12、 + y2 a2 (0 zh) 的内部流向外侧的流量(通量)。解：0.3求向量场卩= (x2 +yz,y2 + zx9z2 +xy)的散度。正向看L依逆时针方向）的环流量。丄/rI (sin21 + cos2 t)dt = 2兀。复习题A一、选择题1.设乙是从原点0（0,0）沿折线y=x -1至点A（2,0）的折线段贝U曲线积分-ydx + xdy 等于(C )A. 0 . B. 1.C. 2. D. -2.2.若微分(2OO8x2008 +4xy3)dx + (cx2y2 -2009y 2009)dy 为全微分,则 c 等于(B ).A. 0 B. 6C. -6 . D. -2 .3.空间曲

13、线 L:x = e cost,y = e/sinr, = ? (0rl)的弧长等于(D ).A. 1. B. V2.C. V3 . D. V3(e 1).4.设Y为上半球面*2-宀-r ,乙为y在第一卦限的部分,则下列等式正确的是(D )A. JJdS = JJdS.B. JJdS = 2jJdS.C. JJdS=3jJdS. 工 幼D. JJdS=4jJdS 5.设丫为球面x2 +y2 +z2 = a2的外侧，则积分jjzdxdy等于（A ）A. 2JJ y/a2 -x2 - y2 drdy B-2 JJ ya2 -x2 - y2dvdy . C. 1 . D. 0 . +y2 a2 x2y

14、2ia2二、填空题1.设【III线 L 为圆周 x = acost,y =asnt (0 r 2tt),则+ y2 )2009ds = 2壮严円.2.设厶为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分(2xy-2x)dx + (x2 -4y)dv = _0_ .3.设Y是以原点为球心，7?为半径的球面，则JJ S = 丫 x 4- y + z4. 设为球血x2 + y2 + F /的下半部分的下侧，则也面积分JJzdxdy = ?龙/ .E -2 5.向量场A = (y2 + z2 )i + (z2 + x2 )j + (x2 +) )k的旋度 rot A = (2_y - 2z)i + (2z -

15、2x)j + (lx 一 2y)k .2.计算J xy2dy-x2ydx，其屮L为右半圆x2 + _y2 = /以点A(0,o)为起点，点为终点的一段有向弧； 解：一丄兀/。43计算 伽dS,其中E为平面兀+ y + l在第一卦限中的部分;解:O1204.计算JJwdzdx,其屮工是球面x2+/+?=l的上半部分并取外侧;解=045.验证：在整个xOy 内,(x2 + 3y)dx + (3x + y2)dy是某一函数u(xfy)的全微分，并求出一个这样的函数，解 因为P =+ 3y, 0 = 3兀+护,所以巴=3 =兰在整个xOy面内恒成立，因此，在整个xOy ox dy面内，(x2 +3y)

16、dx + (3x+)/)dy是某一函数u(xyy)的全微分，所求的函数为u(x, y) = x3 + 3 小 + 丄 y3 + c.四、计算曲线积分/= f vdx 4- zdy + xdz，-K屮L为闭|山线十中、，若从z轴正 JL y = z向看去，厶取逆时针方向.解：0.五、计算曲面积分JJ(x2 + b)dS，其屮是线段*二(0 5 2)绕6轴旋转一周所得的旋转曲面.解：JJ(x2+y2)dS = 8V2jio丄 2六、计算曲面积分ff(r +切)出-迪如其中工为zs上的抛物线z = 2r绕z轴旋转 E y = o一周所得的旋转曲面介于z = 0和Z = 2 Zl川的部分的下侧. 解：

17、=8兀，七、设一段锥面螺线x = e%osy = e?sinz = e(07c)任一点(九)泌)处的线密度函数必3小齐F八、设/具有一阶连续导数，积分打(兀)()心+ dy)在右半平面x0内与路径无关,试求满足条件/(0) = 1的函数/)解 令 P(x,y) = yf(x) , Q(x,y) = f(x),依题意,有 dQ dP dx _ 労，f(x) = ex为所求的函数。九、设空间区闭域Q由1111面-X2 -屮与平面z = 0围成，其屮。为正常数，记G表面的外侧为 的体积为V ,证明:JJxyzdydz - x),2z2dzdx + (1 + xyz)zdxdy = V 证明略。复习题

18、B一、填空题1 .设厶的方程“ +)冷,则皿=呂x-y = 0 血 22.设厶为正向圆周(x-l)2+(y-l)2 = l,则曲线积分-4Z4cLv + 44dy的值为jLx + y + y 0 .3.设工是曲面尹=X +)，介于“ -1和2之间的部分，则曲面积分7= JJ(x2+r+?)dS的值为17后.4设G是由锥面爲二&2 + ),2与半球面爲=R2 一才围成的空间闭区域，工是Q的整 个边界的夕卜侧，则xdydz + ydzdx + zckdy = (2 -忑)tiRZ5设r = z(x2 + 3),则矢量场A = grad r通过曲面x2 + y2 + z2 =1上半部分的流量二、计算

19、题1. 计算曲线积分J|)协,L(1) L是第一象限内从点4(0)到点B(l,0)的单位圆弧(2)(3)i &厶是【IV象限从A(0,l)到/(,-)的单位圆弧;L： x = Jl_)，(一fsySl)(4)L : x = cost, y = sin t r 0上的向量A(x, y) = (3xa + 6xy2 )i + (6* y + 4y3)j 为某二元函数u(xyy)的梯度，并求u(x9y)解：u(x*) = x3+3x2y2 + /+C.其屮为曲面四、计算 I = dyd + dz(h + (kdy , r = J + y： +F z=(x-2+(y-l(0)的上侧.5 16 9解:I = 口斗 dyd? + d?dx + dxdy 二 2/r。五、 设”具有二阶连续偏导数,舁是闭曲面E的外法线向量，工所围成的闭区域为G,试证明 jfwTdS = u) dV + jjjw (gsd i/)dV .i血 a q证明略。六、 设曲面为球面(兀-a)，+(y-a)2 +(z-a)2 =a2,a 0,试证明JJS + y + 乙 + VJa)dS 12tuF .证明略。