第十章曲线积分与曲面积分习题简答docx.docx
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第十章曲线积分与曲面积分习题简答
习题10—1
1计算下列对弧长的曲线积分:
（2）f（兀+『+1）加，其中L是顶点为O（0,0）,A（l,0）及JL
3（0,1）所成三角形的边界；
解：
£（X-y+\）ds=3+2a/2.
（3）其屮厶为圆周x2+r
解：
+）'ds=2.
（4）x2yzds,其屮乙为折线段ABCD,这里4（0,0,0）,B（0,0,2）,C（l,0,2）,
£>（1,2,3）；
解：
3^5=|^5.
«（0,0,2）
0（1,2,3）
C（1.0・2）
2求八分Z—球mx2+y2+z2=l（^>0,y>0,->0）的边界曲饯的重心，设曲线的密
/A（0,0,0）y
解故所求重心坐标为（寿灵,扫・
习题10—2
1设厶为xOyBl'内一直线y=b（〃为常数），证明
证明：
略.
2计算下列对坐标的曲线积分：
（1）|xy'dx,其屮L为抛物线）,=兀上从点4（1,-1）到点B（l,l）的一段弧。
解：
jxydx=
（2）
£（x2+）Q）dx+（x2-y2）dy,其屮L是|II|线y=1-|1-x|从对应于兀=0时的点到
（3）|yclx+xdy,L是从点A（-a,0）沿上半圆周x2+y2=a2到点B（a,O）的一段弧;解£）'dx+xdy=0.
（4）\Lxy2dy-x2ydx，其中厶沿右半圆x2+.y2=tz2以点A（0,a）为起点，经过点C（a,0）到终点B（0,-o）的路径;
解J小‘dy~x2ydx=一扌/。
（5）
[x3dx-^3zy2dy-x2ydz，其中厶为从点A（3,2,l）到点3（0,0,0）的直线段AB；
\x2.v2=1
（6）I=I（z-y）dx+（x-z）dy（x-y）dz>乙为椭圆周«''且从z轴
j£[x-y+z=2,
正方向看去，L取顺时针方向。
解：
=S。
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
⑴星形线（0"2兀）；）[y=asinJt,
，t7j32
解：
=—7ta~o
8
（2）圆兀$+y2=2by,（Z?
>0）；解：
=7tb2。
2利用格林公式计算下列1111线积分：
（1）J（y—x）dx+（3%+y）dy，其屮厶是圆（x-1）2+（y-4）2=9,方向是逆时针方向；
解：
=18兀。
（2）£ydx+（Vshv-x）dy，其屮厶是依次连接A（-1,0）,B（2,l）,C（l,0）三点的折线段，方向是顺时针方向。
解：
2.
（3）（eAsiny-my）dx4-{excosy-m）dy,其屮加为常数，L为[H]x2+y2=2ax
上从点A（a,0）到点0（0,0）的一段有向弧;
解:
=—m7rcr-0=—m兀cr。
22
（4）（进_咛，其屮厶为椭圆4/+y2=l,取逆时Jl对+v
针方向；
解=[d&=2兀.
[¥山，其屮〃（兀刃=/厶为圆周x2+y2=6x取逆时针方向，屮是ondn
u沿厶的外法线方向导数。
3证明下列曲线积分在整个兀Oy面内与路径无关，并计算积分值:
5（2,1）
4（2,0）*
K2,l）
xOy面内恒成立，因此，曲线积分^^（2x+y）dx+（x-2y）dy在整个兀Oy面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
K2,l）
0）（2x+y）dx+（兀-2y）dy=4+1=5。
（2）I。
）（2兀cosy—y2sinx）dx+（2ycosx-x2siny）cly；
解令P=2xcosy-y2sinx,Q=2ycosx-x2siny,
则—=-2（ysinx+xsiny）=理在整个xOyUl*内恒成立，因dydx
此,
°o）（2xcosy一y2sinx）dx+（2ycosx一x2siny）dy在報—
个xOyBl'内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所示
的积分路径，则有
C（2xcosy-sinx）dx+（2ycosx-x2siny）dy
22
xcosy+ycosx。
（3）
〔1,2）
「＜p（x）dx+y/（y）dy,其中©（兀）和肖（刃为连续函数。
2」）
解令P=（p（x）,0=0（y）,则—=0=^在整个xOy面内恒成立，因此，曲线cydx
17）
+在整个xOy面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图
2,1）
所示的积分路径，则有
+=［血皿+『0（）'）d.y。
积分
4yc（1.2）
4验证下列P（x.y）dx+Q（x,y）dy在整个xOy面内为某
•函数u（x,y）的全微分,并求出这样的一个u（x,y）:
人（2,1）
►
（1）（2x+siny）dx+xcosydy；
解令P=2x^siny,Q=xcosy
dQdP
——=cosy,——=cosy
dxdy*
・・・原式在全平面上为某一函数的全微分，取
4（兀0）
（"），儿）=（°，°），
Kx,y）2.
u（x.y）=J。
0）Pdx+Qdy=x~+xsiny
（2）（x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy-y2）dy；
解因为P=x2+2xy-y2,Q=x2-2^-y2f所以=2x-2y=—在整个dxdy
无Oy面内恒成立，因此，：
在整个xOy面内，（/+2巧一，2）心+（/-2小一）=）〃）,是某
-函数心刃的全微分,即有
（x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy-y2）dy=du°
易矢口u（x,y）=—+%2y—xy2—）*+C。
（3）ex（l+siny）dx+（ex+2siny）cosydy。
解令P（x』）=ex（l+siny）,Q（x,y）=（ex+2siny）cosy,贝9在全平面上有
型=乞之.osy,满足全微分存在定理的条件，故在全平血上，dxdy
ex（1+siny）dx+（ex+2siny）cosydy
是全微分.
u（x,y）=ex-\+exsiny+sin2y.
5可微函数f（x,y）应满足什么条件时，曲线积分
打（x,y）（•皿+xdy）
与路径无关？
解令P=yf（x9y）fQ=xf（x,y）f则
曲线积分［f^y\ydx+xdy）在整个xOy面内与路径无关。
习题10—4
1当工为，面内的一个闭区域时，曲面积分口f（x,y,z）dS与二重积分有什么关系?
答当工为兀Oy面内的一个闭区域D时，工在xOy面上的投影就是D,于是有
JJ7（x,y,z）〃S^f（x,y7O）dxdyo
SD
2计算曲面积分jj（x2+y2）dS，其中力是
（1）锥面？
=v
Jx2+/及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面；
解
=|（V2+l>0
（2）yOz面上的直线段（0<^<1）绕z轴旋转一周所得到的旋转町面。
x=0
71o
2
3计算下列IT面积分：
（1）
z=2-（x2+y2）,z>0；
\\dS,其中工是抛物面在xOy面上方的部分:
（2）JJ（兀+y+z）〃S,其中工是上半球面x2+y2+z2=a2yz>0；
z
解：
=0+7Td'=70?
.
（3）|j（x+乂+2）dS,其屮工为平面-+^-+-=1在第一卦限的部分;
岂22234
7陌
■
6
（4）[I-~~〃S,其屮工是柱面x2+y2=R2被平面z=0.z=H所截得的部分.
同理可求得
所以
_2nH_R
4求抛物面jtz=-（x2+y2）（0习题10—5
1当工为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分\\R^y^Ylxdy与二重积分有什么关系?
答当工为xOy面内的一个闭区域时，工的方稈为z=0。
若工在xOy面上的投影区域
为％,那么
Jp?
（x,y,z）dxdy=±y,0）dxdy,
当2取上侧时,
上式右端取正号；当工取下侧时，上式右端取负号。
2计算下列对坐标的曲面积分:
（1）j|（x+y）dydz+（y+z）dzdx+（z+x）dxdy，其屮力是以坐标原点为中心,边长为2的
立方体整个表面的外侧；
解:
||（x+y）dydz+（y+z）dzdx+（爲+x）dxdy=24.
（2）j|（z2+x）dydz-zdxdy，其屮S为旋转抛物面z=-（x2+y‘）介于z=0,z=2Z间部L2
分的下侧。
解：
jJ（F+x）dydz一zdxdy=8兀。
I
（3）\^xclydz+ydxdz+zdxdy，其屮工为x2+y2+z2=a~,z>0的上侧;z
2、、
解二原式=_加、><3=2加」
（4）JJxyclyclz+yzdxdz+zxdxcly,其中工是由平面x=0,y=0,z=0,z
兀+y+Z=1所围成的四面体的表血的外侧。
解：
JJxydydz+yzdxdz+zxclxdy=
3把对坐标的曲面积分
+Q（x,y,z）dzdx+/?
（兀,儿z）dxcly
化成对面积的曲血积分，这里2为平血3兀+2），+2巧乙=6在第一卦限的部分的上侧。
200/2
解：
=JJqP（x,y,Z）+-Q（x.y,z）+R（x,y,z）]dS
1利用高斯公式计算下列曲面积分：
（1）JJ（x-y）dxdy+x（y-z）dydz，其中工为柱面x+y2=1及平面z=0及z=3所
围成的空间闭区域O的整个边界曲面的外侧。
（《高等数学》P170例1）
9
解：
——71°
2
2利用高斯公式计算三重积分
+yz+zx）dxdydz,
其屮。
是由x>0,y>0,OWzWl及疋+）,2<1所确定的空间闭区域。
缈小+W+zx）dxdydz=|+|+|=|^
3利用斯托克斯公式计算下列1111线积分：
（1）J（y2+才皿+（才+x2）dy+（x2+y2）dz,
其中厶为平面x+y+z=l与三个坐标面的交线，其正
向为逆时针方向，与平面x+y+z=1上侧的法向量Z间符合右手规则;
J（y?
+z2）Jx+（z2+x2）dy+（x2+y2）dz=0。
（2）£（z-y）dx+（x-z）cly+（y-x）dz,其屮L为以点A（d,0,0）、J5（O,d,O）、
C（0,0卫）为顶点的三角形沿ABCA的方向。
解：
（y2+）dx+（z2+x2）dy+（x2+y2）dz=3>a~o
习题10—7
1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。
）解：
才rr3,8牝4
4/raI~dr—o
丄）77^73
2设某流体的流速为卩=（yz.zx.xy）,求单位时间内从圆柱工：
x2+y2解：
0.
3求向量场卩=（x2+yz,y2+zx9z2+xy）的散度。
正向看L依逆时针方向）的环流量。
「丄/r
I（sin21+cos2t）dt=2兀。
复习题A
一、选择题
1.设乙是从原点0（0,0）沿折线y=x~]-1至点A（2,0）的折线段贝U曲线积分
[-ydx+xdy等于（C）・
A.0.B.—1.
C.2.D.-2.
2.若微分（2OO8x2008+4xy3）dx+（cx2y2-2009y2009）dy为全微分,则c等于（B）.
A.0・B.6・
C.-6.D.-2.
3.空间曲线L:
x=e'cost,y=e
/sinr,^=?
（0A.1.B.V2.
C.V3.D.V3（e—1）.
4.设Y为上半球面*2-宀
-r,乙为y在第一卦限的部分,则下列等式正确的是
（D）・
A.JJdS=JJdS.
B.JJdS=2jJdS.
•
•
C.JJdS=3jJdS.工幼
D.JJdS=4jJdS・
5.设丫为球面x2+y2+z2=a2
的外侧，则积分jjzdxdy等于（A）・
A.2
JJy/a2-x2-y2drdy・B・-2JJy]a2-x2-y2dvdy.C.1.D.0.+y2^a2x2^y2ia2
二、填空题
1.设【III线L为圆周x=acost,y=as\nt（02.设厶为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分£（2xy-2x）dx+（x2-4y）dv=_0_.
3.设Y是以原点为球心，7?
为半径的球面，则JJ—S=^・
丫x4-y+z
4.设》为球血x2+y2+F/的下半部分的下侧，则也面积分JJzdxdy=?
龙/.
E-2
5.向量场
A=（y2+z2）i+（z2+x2）j+（x2+）"）k
的旋度rotA=（2_y-2z）i+（2z-2x）j+（lx一2y）k.
2.计算Jxy2dy-x2ydx，其屮L为右半圆x2+_y2=/以点A（0,o）为起点，点为终
点的一段有向弧；解：
一丄兀/。
4
3•计算伽dS,其中E为平面兀+y+"l在第一卦限中的部分;
解:
—O
120
4.计算JJwdzdx,其屮工是球面x2+/+?
=l的上半部分并取外侧;
解=—0
4
5.验证：
在整个xOy®内,（x2+3y）dx+（3x+y2）dy是某一函数u（xfy）的全微分，并求
出一个这样的函数，
解因为P=〒+3y,0=3兀+护,所以巴=3=兰在整个xOy面内恒成立，因此，在整个xOyoxdy
面内，（x2+3y）dx+（3x+）/）dy是某一函数u（xyy）的全微分，
所求的函数为
u（x,y）=—x3+3小+丄y3+c.
四、计算曲线积分/=fvdx4-zdy+xdz，-K屮L为闭|山线十〉中、、’，若从z轴正JL\y=z
向看去，厶取逆时针方向.
解：
0.
五、计算曲面积分JJ（x2+b）dS，其屮》是线段*二（0"52）绕6轴旋转一周所得
的旋转曲面.
解：
JJ（x2+y2）dS=8V2jio
£
丄2
六、计算曲面积分ff（r+切）出-迪如其中工为zs上的抛物线z=2r绕z轴旋转Ey=o
一周所得的旋转曲面介于z=0和Z=2Zl'川的部分的下侧.解：
=8兀，
七、设一段锥面螺线x=e%os^y=e
sin^z=e"（0<^<7c）±任一点（九）泌）处的线密
度函数必3小齐F
八、设/⑴具有一阶连续导数，积分打（兀）（）心+dy）在右半平面x〉0内与路径无关,
试求满足条件/（0）=1的函数/©）・
解令P（x,y）=yf（x）,Q（x,y）=f（x）,依题意,有dQdP^dx_労，
f（x）=ex为所求的函数。
九、设空间区闭域Q由1111面-X2-屮与平面z=0围成，其屮。
为正常数，记G表面
的外侧为£的体积为V,证明:
JJx'yz'dydz-x）,2z2dzdx+（1+xyz）zdxdy=V•
证明略。
复习题B
一、填空题
1.设厶的方程［“+）'冷",则皿=呂
x-y=0血2
2.设厶为正向圆周（x-l）2+（y-l）2=l,则曲线积分［-4Z4cLv+4±4dy的值为
jLx+y+y・
0.
3.设工是曲面尹=X+），介于“-1和"2之间的部分，则曲面积分
7=JJ（x2+r+?
）dS
£
的值为17后.
4•设G是由锥面爲二&2+）,2与半球面爲=』R2—一才围成的空间闭区域，工是Q的整个边界的夕卜侧，则"xdydz+ydzdx+zckdy=（2-忑）tiR'・
Z
5・设r=z（x2+3）,则矢量场A=gradr通过曲面x2+y2+z2=1上半部分的流量
二、计算题
1.计算曲线积分J|）协,
L
（1）L是第一象限内从点4（0」）到点B（l,0）的单位圆弧
（2）
（3）
i&
厶是【IV象限从A（0,l）到/（—,-「）的单位圆弧;
L：
x=Jl_），（一fsySl）
（4）
L:
x=cost,y=sint32
解
（1）1.
（2）=—
2・计算/=J（Ksiny-b（x+y））dx+（excosy-ax）dy，其屮a,〃为正的常数，厶为从点A（2g,0）沿曲线y=y/2ax-x2到点0（0,0）的弧.
解：
-7ia2（b-a）+2a2b.
2
3.计算Illi面积分心节rd5,其屮Y是圆柱面F+）,2=i介于平面“0与+y+匸
z=2之间的部分.
解：
=兀In5・
4•计算曲面积分1=JJ型丫仝皿士Ckck，其屮》是球面x2+y2+?
=^2的外侧.S（兀2+）,2+汗
解：
7=4n.
三、确定常数兄,使在右半平面x>0上的向量
A（x,y）=（3xa+6xy2）i+（6*y+4y3）j为某二元函数u（xyy）的梯度，并求u（x9y）・
解：
u（x*）=x3+3x2y2+/+C.
其屮》为曲面
四、计算I=dyd^+dz（h+（kdy,r=J£+y：
+Fz=（x-2£+（y-l£（^0）的上侧.
5169
解:
I=口斗dyd?
+d?
dx+—dxdy二2/r。
五、设”具有二阶连续偏导数,舁是闭曲面E的外法线向量，工所围成的闭区域为G,试
证明jfwT—dS=u）~dV+jjjw（gsdi/）dV.
i血aq
证明略。
六、设曲面》为球面（兀-a），+（y-a）2+（z-a）2=a2,a>0,试证明
JJS+y+乙+VJa）dS>12tuF.
证明略。
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