中考数学代数综合问题压轴题汇编.docx

1、中考数学代数综合问题压轴题汇编2012年中考数学代数综合问题压轴题汇编2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题10：代数综合问题 11. （2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少

2、辆？ （2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的 总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并 求出最少总运费。 【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18x）辆，根据题意得 16x10（18x）=228 ，解得x=8， 18x=188=10。 答：大货车用8辆，小货车用10辆。 （2）w=720a800（8a）+500（9a）+65010（9a）=70a11550， w=70a11550（0a8且为整数）。 （3）由16

3、a10（9a）120，解得a5。 又0a8，5a8且为整数。 w=70a+11550，k=700，w随a的增大而增大， 当a=5时，w最小，最小值为W=705+11550=11900。 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地最少运费为11900元。 【考点】一元一次方程和一次函数的应用 【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。 （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8a）辆，前往甲地的小货车为（9a）辆，前往乙地的小货车为10（9a）辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。

4、（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。 12. （2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元 （1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ （2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别

5、为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？ 【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元， 则 ，解得 。 答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。 （2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8a）所 则 ，解得 。1a3，即a=1，2，3。 共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）方程（组）的应用解题关

6、键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为： 改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元； 改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。 （2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系为： 地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数210； 国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数770。 13. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l5

7、0元，售价280元 (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件? (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0a20)元出售，乙种服装价格不变那么该专卖店要获得最大利润应如何进货? 【答案】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200x）件， 根据题意得：180x150（200x）=32400， 解得：x=80，200x=20080

8、=120。 购进甲、乙两种服装80件、120件。 （2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200y）件，根据题意得： ，解得：70y80。 y是正整数，共有11种方案。 （3）设总利润为W元，则W=（140a）y+130（200y），即w=（10a）y+26000。 当0a10时，10a0，W随y增大而增大， 当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。 当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。 当10a20时，10a0，W随y增大而减小， 当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。 【考点】一元一次方程、一元一次不等

9、式组和一次函数的应用。 【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解。 （2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解。 （3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。 14. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销

10、，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元 (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围 (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越

11、大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0x10时，y=（30002400）x=600x； 当10x50时，y=300010（x10）2400x，即y=10x2+700x； 当x50时，y=（26002400）x=200x。 。 （3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当 时，利润y有最大值， 此时，销售单价为300010（x10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为2750元。 【考点】二次函数

12、的应用。 【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。 （2）由利润y=销售单价件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三种情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。 15. （2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10 (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|2 ，求m的值和此时方程的两根 【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方

13、程x2(m3)xm10得 =（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4， 无论m取何值，（m+1）24恒大于0， 原方程总有两个不相等的实数根。 （2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。 |x1x2|2 ， （x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。 （m+3）24（m+1）=8，即m22m3=0。 解得：m1=3，m2=1。 当m=3时，原方程化为：x22=0，解得：x1= ，x2= 。 当m=1时，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+ ，x2=2 。 【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程

14、x2(m3)xm10的根的判别式=b24ac的符号来判定该方程的根的情况。 （2）根据根与系数的关系求得x1x2和x1x2，由已知条件|x1x2|2 平方后可以得到关于x1x2和x1x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。 17. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备 每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和 所需工时如下表： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件收入（百元）/件 3 2 1 设每周制作西服x件，休闲服y件，

15、衬衣z件。 （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。 （2） 求y与x之间的函数关系式。 （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360xy， 从工时数方面：由 x+ y+ z=120整理得：z=4802x y。 （2）由（1）得360xy=4802x y，整理得：y=3603x。 （3）由题意得总收入s=3x2yz=3x2（3603x）2x=x720 由题意得 ，解得30x120。 由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服 270件，衬衣

16、60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。 （2）由（1）整理得：y=3603x。 （3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得 ， 解得30x120，从而根据一次函数的性质作答。 18. （2012广东河源9分）(1)已知方程x2pxq0(p24q0)的两根为x1、x2，求证：x1x2p，x1x2q (2)已知抛物线yx2pxq与x轴交于点A、B，且过点(D1，D1)，设线段AB的长为d，当p为 何值时，d2取得最小值并求

17、出该最小值 【答案】（1）证明：a=1，b=p，c=q，p24q0， 。 （2）解：把（1，1）代入y=x2+px+q得pq=2，即q=p2。 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。 d=|x1x2|， d2=（x1x2）2=（x1+x2）24 x1x2=p24q=p24p+8=（p2）2+4。 当p=2时，d 2的最小值是4。 【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式

18、得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】 （2）把点（1，1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。 19. （2012黑龙江牡丹江10分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题： （1）求出足球和篮球的单价； （2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？ 【答案】解：（1

19、）设足球的单价为x元，则篮球的单价为x20元， 根据题意，得8x14（x20）=1600， 解得x=60。 x20=80。 答：足球的单价为60元，则篮球的单价为80元。 （2）设购进足球y个，则购进篮球50y个。 根据题意，得 ，解得 。 y为整数，y=38，39，40。 当y=38，50y=12；当y=39，50y=11；当y=40，50y=10。 有三种方案： 方案一：购进足球38个，则购进篮球12个； 方案二：购进足球39个，则购进篮球11个； 方案一：购进足球40个，则购进篮球10个。 （3）商家售的利润：38（6050）12（8065）=560（元）； 商家售方案二的利润：39（6

20、050）11（8065）=555（元）； 商家售方案三的利润：40（6050）10（8065）=550（元）。 第二次购买方案中，方案一商家获利最多。 【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用， 【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为x20元，根据“用1600元购进足球8个和篮球14个”列方程求解即可。 （2）设购进足球y个，则购进篮球50y个，根据“不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球” 列不等式组求解即可。 （3）求出三种方案的利润比较即可。 20. （2012辽宁朝阳12分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元，在第一个月

21、的试销时间内发现。销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示 销售单价x（元/ kg） 70 75 80 85 90 销售量w（kg） 100 90 80 70 60 设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价销售量成本投资）。 （1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？ （3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1

22、700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？ 【答案】解：（1）w=2x240。 （2）y与x的关系式为： ， 当x=85时，y的值最大为2450元。 （3）在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元， 第1个月还有30002450=550元的投资成本没有收回。 则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以， 可得方程 ，解得x1=75，x2=95。 根据题意，x2=95不合题意应舍去。 答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第 二个月的利润达到1700元。 【考点】一、二次函数和一元二

23、次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用表格中数据，设出解析式，用待定系数法求出一次函数关系式： 设w=kx+b，将（70，100），（75，90）代入上式得， ，解得， 。w=2x240。 经验证，（80，80），（85，70），（90，60）满足w=2x240。 w与x之间的函数关系式为w=2x240。 （2）利用每千克销售利润销售量=总销售利润列出函数关系式，利用配方法可求最值。 （3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程即可。 21

24、. （2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统 计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆. (1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年 底电动自行车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车 位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案

25、. 【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则 125（1+x）2=180，解得x1=0.2=25%，x2=2.2（不合题意，舍去）。 180（1+20%）=216（辆）。 答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。 （2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则 ， 由得b=1505a，代入得20a a是正整数，a=20或21。 当a=20时b=50；当a=21时b=45。 方案一：建室内车位20个，露天车位50个； 方案二：室内车位21个，露天车位45个。 【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009

26、年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。 （2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。 22. （2012x疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元设从A

27、村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元 （1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式； C D 总计 A x吨 200吨 B 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 （2）当x为何值时，A村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值 【答案】解：（1）填表如下： C D 总计 A x吨 （200x）吨 200吨 B （240x）吨 （60+x）吨 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 由题意得：yA=40x+45（200x）=5x+9000； yB=25（240x）+32（60+x）=7x+7920。

28、 （2）对于yA=5x+9000（0x200）， k=50，此一次函数为减函数， 当x=200吨时，yA最小，其最小值为5200+9000=8000（元）。 （3）设两村的运费之和为W（0x200）， 则W=yA+yB=5x+9000+7x+7920=2x+16920， k=20，此一次函数为增函数， 当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元。 按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为16920元。 C D A 0吨 200吨 B 40吨 240吨 【考点】一次函数的应用。 【分析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200x）吨，由

29、A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300（240x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可。 由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别 为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式。 （2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且0x200，故x取最大200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值。 （3）设两村的运费之和为W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函

30、数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数为增函数，可得出x=0时，W有最小值，将x=0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值。 23. （2012青海西宁10分）2012年6月9日召开的青海省居民阶梯电价听证会，征求了消费者、经营 者和有关方面的意见，对青海省居民阶梯电价发、方案的必要性、可行性进行了论证阶梯电价方案规定： 若每月用电量为130度以下，收费标准为0.38元/度；若每月用电量为131度230度，收费标准由两部 分组成：其中130度，按0.38元/度收费，超出130度的部分按0.42元/度收费现提供一居民某月 电费发票的部分信息如下表

31、所示： 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x(度)来表示，实付金额用y(元)来表示，请你写出这两种情况实付金额y与月用电 量x之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小芳和小华家一个月的实际用电量分别为80度和150度，则实付金额分别为多少元？ 【答案】解：（1）根据题意得： 当x130时，y=0.38x； 当130x230时，y=0.42（x130）0.38130=0.42x5.2； （2）0.38130=49.478.8，当y=78.8时，用电量超出130度。 0.42x5.2=78.8，解得：x=200。 答：这个家庭

32、一个月的实际用电量是200度。 （3）80度低于130度，收费标准为0.38元/度。800.38=30.4元。 150度高于130度，超出的收费标准为0.42元/度。 1300.38+（150-130）0.42=57.8元。 答：小芳和小华一个月的实付金额分别为30.4元和57.8元。 【考点】一次函数的应用。 【分析】（1）分用电量小于130度时，成正比例函数关系，实付金额等于单价乘以用电度数，131230度时，成一次函数关系，实付金额等于130度内的用电付出金额与超出130度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式。 （2）先计算出78.8元的用电量超出130度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解。 （3）根据用电度数判断出适合的函数关