【答案】解:
(1)设购进甲种服装x件,则乙种服装是(200-x)件,根据题意得:
180x+150(200-x)=32400,解得:
x=80,200-x=200-80=120。
∴购进甲、乙两种服装80件、120件。
(2)设购进甲种服装y件,则乙种服装是(200-y)件,根据题意得:
,解得:
70≤y≤80。
∵y是正整数,∴共有11种方案。
(3)设总利润为W元,则W=(140-a)y+130(200-y),即w=(10-a)y+26000。
①当0<a<10时,10-a>0,W随y增大而增大,∴当y=80时,W有最大值,此时购进甲种服装80件,乙种服装120件。
②当a=10时,
(2)中所有方案获利相同,所以按哪种方案进货都可以。
③当10<a<20时,10-a<0,W随y增大而减小,∴当y=70时,W有最大值,此时购进甲种服装70件,乙种服装130件。
【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】
(1)设购进甲种服装x件,则乙种服装是(200-x)件,根据两种服装共用去32400元,即可列出方程,从而求解。
(2)设购进甲种服装y件,则乙种服装是(200-y)件,根据总利润(利润=售价-进价)不少于26700元,且不超过26800元,即可得到一个关于y的不等式组,解不等式组即可求得y的范围,再根据y是正整数整数即可求解。
(3)首先求出总利润W的表达式,然后针对a的不同取值范围进行讨论,分别确定其进货方案。
14.(2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)【答案】解:
(1)设件数为x,依题意,得3000-10(x-10)=2600,解得x=50。
答:
商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。
(2)当0≤x≤10时,y=(3000-2400)x=600x;当10<x≤50时,y=[3000-10(x-10)-2400]x,即y=-10x2+700x;当x>50时,y=(2600-2400)x=200x。
∴。
(3)由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下,当时,利润y有最大值,此时,销售单价为3000-10(x-10)=2750元,答:
公司应将最低销售单价调整为2750元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】
(1)设件数为x,则销售单价为3000-10(x-10)元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求解。
(2)由利润y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤50,x>50三种情况列出函数关系式。
(3)由
(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价。
15.(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根.【答案】解:
(1)证明:
由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根。
(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1。
∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+2m-3=0。
解得:
m1=-3,m2=1。
当m=-3时,原方程化为:
x2-2=0,解得:
x1=,x2=-。
当m=1时,原方程化为:
x2+4x+2=0,解得:
x1=-2+,x2=-2-。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】
(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况。
(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。
17.(2012湖北鄂州10分)某私营服装厂根据2011年市场分析,决定2012年调整服装制作方案,准备每周(按120工时计算)制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣至少60件。
已知每件服装的收入和所需工时如下表:
服装名称西服休闲服衬衣工时/件
收入(百元)/件321设每周制作西服x件,休闲服y件,衬衣z件。
(1)请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。
(2)求y与x之间的函数关系式。
(3)问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?
最高总收入是多少?
【答案】解:
(1)从件数方面:
z=360-x-y,从工时数方面:
由x+y+z=120整理得:
z=480-2x-y。
(2)由
(1)得360-x-y=480-2x-y,整理得:
y=360-3x。
(3)由题意得总收入s=3x+2y+z=3x+2(360-3x)+2x=-x+720由题意得,解得30≤x≤120。
由一次函数的性质可知,当x=30的时候,s最大,即当每周生产西服30件,休闲服270件,衬衣60件时,总收入最高,最高总收入是690百元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x,y的关系式表示z。
(2)由
(1)整理得:
y=360-3x。
(3)由题意得s=3x+2y+z,化为一个自变量,得到关于x的一次函数。
由题意得,解得30≤x≤120,从而根据一次函数的性质作答。
18.(2012广东河源9分)
(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:
x1+x2=-p,x1•x2=q.
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、B,且过点(�D1,�D1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值并求出该最小值.【答案】
(1)证明:
∵a=1,b=p,c=q,p2�4q≥0,∴。
(2)解:
把(�1,�1)代入y=x2+px+q得p�q=2,即q=p�2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)。
∵d=|x1�x2|,∴d2=(x1�x2)2=(x1+x2)2�4x1•x2=p2�4q=p2�4p+8=(p�2)2+4。
∴当p=2时,d2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。
【分析】
(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可】
(2)把点(�1,�1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1�x2|可得d2关于p的函数关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论。
19.(2012黑龙江牡丹江10分)某校为了更好地开展球类运动,体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个,并且篮球的单价比足球的单价多20元,请解答下列问题:
(1)求出足球和篮球的单价;
(2)若学校欲用不超过3240元,且不少于3200元再次购进两种球50个,求出有哪几种购买方案?
(3)在
(2)的条件下,若已知足球的进价为50元,篮球的进价为65元,则在第二次购买方案中,哪种方案商家获利最多?
【答案】解:
(1)设足球的单价为x元,则篮球的单价为x+20元,根据题意,得8x+14(x+20)=1600,解得x=60。
x+20=80。
答:
足球的单价为60元,则篮球的单价为80元。
(2)设购进足球y个,则购进篮球50-y个。
根据题意,得,解得。
∵y为整数,∴y=38,39,40。
当y=38,50-y=12;当y=39,50-y=11;当y=40,50-y=10。
∴有三种方案:
方案一:
购进足球38个,则购进篮球12个;方案二:
购进足球39个,则购进篮球11个;方案一:
购进足球40个,则购进篮球10个。
(3)商家售的利润:
38(60-50)+12(80-65)=560(元);商家售方案二的利润:
39(60-50)+11(80-65)=555(元);商家售方案三的利润:
40(60-50)+10(80-65)=550(元)。
∴第二次购买方案中,方案一商家获利最多。
【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用,【分析】
(1)设足球的单价为x元,则篮球的单价为x+20元,根据“用1600元购进足球8个和篮球14个”列方程求解即可。
(2)设购进足球y个,则购进篮球50-y个,根据“不超过3240元,且不少于3200元再次购进两种球”列不等式组求解即可。
(3)求出三种方案的利润比较即可。
20.(2012辽宁朝阳12分)某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元。
已知绿茶每千克成本50元,在第一个月的试销时间内发现。
销量w(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示销售单价x(元/kg)……7075808590……销售量w(kg)……10090807060……设该绿茶的月销售利润为y(元)(销售利润=单价×销售量-成本-投资)。
(1)请根据上表,写出w与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);
(2)求y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围),并求出x为何值时,y的值最大?
(3)若在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于90元,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700,那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元?
【答案】解:
(1)w=-2x+240。
(2)y与x的关系式为:
∵,∴当x=85时,y的值最大为2450元。
(3)∵在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元,∴第1个月还有3000-2450=550元的投资成本没有收回。
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,即y=2250才可以,可得方程,解得x1=75,x2=95。
根据题意,x2=95不合题意应舍去。
答:
当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元,即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元。
【考点】一、二次函数和一元二次方程的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)利用表格中数据,设出解析式,用待定系数法求出一次函数关系式:
设w=kx+b,将(70,100),(75,90)代入上式得,,解得,。
∴w=-2x+240。
经验证,(80,80),(85,70),(90,60)满足w=-2x+240。
∴w与x之间的函数关系式为w=-2x+240。
(2)利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式,利用配方法可求最值。
(3)首先根据第一个月的利润,得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,即第二个月必须获得2250元的利润,把函数值2250代入,解一元二次方程即可。
21.(2012广西河池10分)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆?
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?
试写出所有可能的方案.【答案】解:
(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则125(1+x)2=180,解得x1=0.2=25%,x2=-2.2(不合题意,舍去)。
∴180(1+20%)=216(辆)。
答:
该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。
(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则,由①得b=150-5a,代入②得20≤a≤∵a是正整数,∴a=20或21。
当a=20时b=50;当a=21时b=45。
∴方案一:
建室内车位20个,露天车位50个;方案二:
室内车位21个,露天车位45个。
【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)设年平均增长率是x,根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆,可求出增长率,进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。
(2)设建x个室内车位,根据投资钱数可表示出露天车位,根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的3倍,可列出不等式组求解,进而可求出方案情况。
22.(2012x疆区12分)库尔勒某乡A,B两村盛产香梨,A村有香梨200吨,B村有香梨300吨,现将这些香梨运到C,D两个冷藏仓库.已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨,从A村运往C,D两处的费用分别为每吨40元和45元;从B村运往C,D两处的费用分别为每吨25元和32元.设从A村运往C仓库的香梨为x吨,A,B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元,yB元.
(1)请填写下表,并求出yA,yB与x之间的函数关系式;CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨260吨500吨
(2)当x为何值时,A村的运费较少?
(3)请问怎样调运,才能使两村的运费之和最小?
求出最小值.【答案】解:
(1)填表如下:
CD总计Ax吨(200�x)吨200吨B(240�x)吨(60+x)吨300吨总计240吨260吨500吨由题意得:
yA=40x+45(200�x)=�5x+9000;yB=25(240�x)+32(60+x)=7x+7920。
(2)对于yA=�5x+9000(0≤x≤200),∵k=�5<0,∴此一次函数为减函数,∴当x=200吨时,yA最小,其最小值为�5×200+9000=8000(元)。
(3)设两村的运费之和为W(0≤x≤200),则W=yA+yB=�5x+9000+7x+7920=2x+16920,∵k=2>0,∴此一次函数为增函数,∴当x=0时,W有最小值,W最小值为16920元。
∴按如下方案调运,两村的运费之和最小,最小值为16920元。
CDA0吨200吨B40吨240吨【考点】一次函数的应用。
【分析】
(1)由A村共有香梨200吨,从A村运往C仓库x吨,剩下的运往D仓库,故运往D仓库为(200�x)吨,由A村已经运往C仓库x吨,C仓库可储存240吨,故B村应往C仓库运(240�x)吨,剩下的运往D仓库,剩下的为300�(240�x),化简后即可得到B村运往D仓库的吨数,填表即可。
由从A村运往C,D两处的费用分别为每吨40元和45元;从B村运往C,D两处的费用分别为每吨25元和32元,由表格中的代数式,即可分别列出yA,yB与x之间的函数关系式。
(2)由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数,根据x的系数为负数,得到此一次函数为减函数,且0≤x≤200,故x取最大200时,yA有最小值,即为A村的运费较少时x的值。
(3)设两村的运费之和为W,W=yA+yB,把第一问表示出的两函数解析式代入,合并后得到W为关于x的一次函数,且x的系数大于0,可得出此一次函数为增函数,可得出x=0时,W有最小值,将x=0代入W关于x的函数关系式中,即可求出W的最小值。
23.(2012青海西宁10分)2012年6月9日召开的青海省居民阶梯电价听证会,征求了消费者、经营者和有关方面的意见,对青海省居民阶梯电价发、方案的必要性、可行性进行了论证.阶梯电价方案规定:
若每月用电量为130度以下,收费标准为0.38元/度;若每月用电量为131度~230度,收费标准由两部分组成:
①其中130度,按0.38元/度收费,②超出130度的部分按0.42元/度收费.现提供一居民某月电费发票的部分信息如下表所示:
根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)如果月用电量用x(度)来表示,实付金额用y(元)来表示,请你写出这两种情况实付金额y与月用电量x之间的函数关系式;
(2)请你根据表中本月实付金额计算这个家庭本月的实际用电量;(3)若小芳和小华家一个月的实际用电量分别为80度和150度,则实付金额分别为多少元?
【答案】解:
(1)根据题意得:
当x≤130时,y=0.38x;当130<x≤230时,y=0.42(x-130)+0.38×130=0.42x-5.2;
(2)∵0.38×130=49.4<78.8,∴当y=78.8时,用电量超出130度。
∴0.42x-5.2=78.8,解得:
x=200。
答:
这个家庭一个月的实际用电量是200度。
(3)∵80度低于130度,∴收费标准为0.38元/度。
∴80×0.38=30.4元。
∵150度高于130度,∴超出的收费标准为0.42元/度。
∴130×0.38+(150-130)×0.42=57.8元。
答:
小芳和小华一个月的实付金额分别为30.4元和57.8元。
【考点】一次函数的应用。
【分析】
(1)分用电量小于130度时,成正比例函数关系,实付金额等于单价乘以用电度数,131~230度时,成一次函数关系,实付金额等于130度内的用电付出金额与超出130度的用电付出金额的和,然后即可得到y与x的函数关系式。
(2)先计算出78.8元的用电量超出130度,然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解。
(3)根据用电度数判断出适合的函数关