立体几何难题解析附有答案详解.docx

1、立体几何难题解析附有答案详解立体几何试题分析设计思路围绕前两年高考试题的类型以及常考的知识点和解题方法设 计，通过对2005和2006浙江省立体几何试题及2006年部分省市的试题 的研究大致预测2007年立体几何试题的类型。设计理念略 考点回顾常考的知识点有线面平行、垂直；两个平面垂直的判定和性质；线线 角、线面角、二面角；向量坐标运算；线面角公式、二面角公式、点到平面的距离。 考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。、20052006浙江省试题分析1、（2005 浙江 18）.如图，在三棱锥 P ABC 中，AB丄 BC, AB= BC= kFA, 点0、D分别是AC、PC的中点，

2、OP丄底面ABC.求证：OD /平面PAB简析:本题考查的知识点有：线面平行的判定；线线角、线面角、二面角；两个 平面垂直的判定和性质；向量坐标运算；线面角公式。考查的（能力）方法有：逻 辑推理能力；空间想象能力。试题结构:以底面是等腰直角三角形的三棱锥为载体结合线面垂直， 以及面面垂直，证明线面平行，求线面角，并由点的垂足的位置确定参数 k的值。1、（2005 浙江 18）.解：2、（ 2006浙江17）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面为直角梯形， AD / BC ,BAD 90 ,PA 丄底面 ABCD，且 PA AD AB 2BC , M、N 分别为PC、PB的中点.（I ）求证：P

3、B DM ;（n ）求CD与平面ADMN所成的角。简析:本题考查的知识点有：空间线线、线面关系、 空间向量的概念；。考查的（能力）方法有：逻辑推理能 力；空间想象能力。试题结构:以底面是直角梯形的四棱锥为载体，结合线面垂直及特殊的线段长 度关系，证明两异面直线垂直，并求线面角。2、（2006浙江17）解：方法一：（1）因为N是PB的中点，PA PB，所以AN PB.因为AD 平面PAB，所以AD PB , 从而PB 平面ADMN .因为DM 平面ADMN，所以PB DM .（II ）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG/CD ,所以BG与平面ADMN所成的角和 CD与平面ADMN所成的角相等

4、.因为PB 平面ADMN ,在 Rt BGN 中，sin BNGBG 5所以 BGN是BG与平面ADMN所成的角方法二：如图，以 A为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz，设BC 1则A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C(2,1,0), M(1,丄,1),D(0,2,0)2怖arcs in、2006年其他省市（部分）试题分析1，（福建18）如图，四面体 ABCD中，0、E分别是 BD、BC 的中点，CA CB CD BD 2,AB AD , 2.（I） 求证：AO 平面BCD ；（II） 求异面直线 AB与CD所成角的大小；（III ）求点E到平面ACD的距离。简析

5、:本题考查的知识点有：直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离。考查的（能力）方法有：逻辑推理 能力；空间想象能力和运算能力。试题结构:以一个特殊结构的四面体（三棱锥）为载体，考查线面垂直，并求两异面直线所成的角和点到平面的距离。MDO1、（福建18）解： 方法一：（I）证明：连结OCQ BO DO,AB AD, AO BD.Q BO DO,BC CD, CO BD.在 AOC中，由已知可得 AO 1,CO ,3.而 AC 2, AO2 CO2 AC2, AOC 90,即 AO OC.Q BD I OC O, AO 平面 BCD(II)解：取 AC的中点 M，连结 OM、ME、

6、OE,由E为BC的中点知ME / AB,OE/ DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线 AB与CD所成的角在OME中，1迈 1EM -AB ,OE - DC 1,22 21Q OM是直角 AOC斜边 AC 上的中线， OM AC 1,2cos OEM ,4异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos4(III )解：设点E到平面ACD的距离为h.2AO.S CDES ACD1辽27点E到平面ACD的距离为7方法(I)同方法(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，贝U B(1,0,0), D( 1,0,0),C(0,、3,0), A(0,0,1), E(1J,O), BA ( 1,0

7、,1),CD ( 1, 3,0).2 2uur mur cos BA, CD-uuu-UUUhBACD4(III ) 解：设平面 ACDr UULTn.AD (x,y,z).( 1,0, 1) 0,r UULT -n.AC (x,y,z).(0,、3, 1) 0,x z 0, 3y z 0.令y 1,得n ( J3,1,J3)是平面ACD的一个法向量。uuu 1 、3又EC ( , ,0), 点E到平面ACD的距离2 2uuu rEC.n 73 21h r .n 万7、2007年试题的结构(仅仅是可能性)要点：根据对前两年的高考试卷的分析并结合我们的体会， 我们认为 2007 年的立体几何大题

8、， 可以从这几个方面来考虑， 首先以什么为载体， 是锥体还是柱体， 若是锥体， 那么是三棱锥呢还是四棱锥？若是柱体呢？ 已经有好几年考锥体了， 今年考柱体的可能性是否在增大呢？但这载体其 实不是最重要的， 最重要的是由哪些知识点组合给出题目的条件， 一般来 讲，给出线面垂直， 面面垂直这样的关系是比较常见的，也可以结合线面 关系和面面关系（如平行、垂直） 。前面的三个例子都是这样的。再者求 （证）什么？证明的一般是线面平行或线面垂直、线线垂直，少数情况下 证明面面垂直。所求多数情况下是线面角、二面角，距离，当然两条异面 直线所成的角有时也会考的。 距离这个内容浙江省已经有几年没考了， 这 并不

9、说明它不重要，其他省去年也有考（如福建） 。今年会不会考？我们 认为可能性比较大，那么考什么距离 /线面距离、面面距离还是点面距离， 由于立体几何中的五个距离都可以转化为点面距离， 并且用向量运算时点 面距离有公式可用，因此若考距离，则点面距离考的可能性相对较大。 例题 ：如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB BC AA, 2,且 ABC 90 , O为A1C的中点（I）证明：B,C, A,B ；（H）求O到平面ABB1A1的距离；（川）求ABi与平面ABC所成的角解（I）由已知此三棱柱为直三棱柱， BB1丄B1C1，又 ABC 90，故，A1B1 丄 BiCi,于疋 BiCi 丄平面

10、 ABBi Ai，BiCi Ai B。（） BC / BiCi 且 BC = BiCi BC 丄平面 ABBiAi，于是点 C 平面 ABBA的距离为2，而0为A,C中点，二 O到C平面ABBA的距离为i 。（川）由BC丄平面ABBiAi得到 平面AiBC丄平面ABBiAi ,取AiB中点D , AB AAi 2, BiD 丄 AiB , BiD 丄平面 Ai BC ./ BiAiB 就是AiBi与平面A,BC所成的角而/ BiAiB=450,因此 AiBi与平面AiBC所成的角 是 45。解：（向量法）由已知可分别以 BC、BA、BBi为x、y、z轴，以点B为原点。则各点的坐标分别是 A(0

11、,2,0) , B(0,0,0) , C(2,0,0),人(0,2,2),Bi(0,0,2) , G(2,0,2)(I) BA (0,22) B1C1 (2,0,0) , /. BA?BQ 0 ,从而 B1C1 A1B(n)因为 O是 AC 的中点， O(1,1,1) , AO (1, 1, 1)而平面 ABB1A1 的_ n1 ? A1O法向量是(1,0,0) O到平面ABB1A1的距离d ； 1(川)由 A,。 (1, 1, 1), BC (2,0,0)，设平面 ABC 的法向量是 n2 (x,y,z),则2,0), 设A1B1与平面A1BC所成的角为 ， 则有 A1O?n2 x y z 0 以及 BC ? n2 2x 0 得 n2 (0, 1,1)。另一方n2面 A1B1所以 =450，即 A1B1与平面A1 BC所成的角sin是 45 。