立体几何难题解析附有答案详解.docx
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立体几何难题解析附有答案详解
立体几何试题分析
［设计思路］围绕前两年高考试题的类型以及常考的知识点和解题方法设计，通过对2005和2006浙江省立体几何试题及2006年部分省市的试题的研究大致预测2007年立体几何试题的类型。
［设计理念］略［考点回顾］常考的知识点有线面平行、垂直；两个平面垂直的判定和性质；线线角、线面角、二面角；向量坐标运算；线面角公式、二面角公式、点到平面的距离。
考查的（能力）方法有：
逻辑推理能力；空间想象能力。
、2005——2006浙江省试题分析
1、（2005浙江18）.如图，在三棱锥P—ABC中，AB丄BC,AB=BC=kFA,点0、D分别是AC、PC的中点，OP丄底面ABC.
求证：
OD//平面PAB
［简析］:
本题考查的知识点有：
线面平行的判定；线线角、线面角、二面角；两个平面垂直的判定和性质；向量坐标运算；线面角公式。
考查的（能力）方法有：
逻辑推理能力；空间想象能力。
［试题结构］:
以底面是等腰直角三角形的三棱锥为载体结合线面垂直，以及面面
垂直，证明线面平行，求线面角，并由点的垂足的位置确定参数k的值。
1、（2005浙江18）.解：
2、（2006浙江17）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,
BAD90,
PA丄底面ABCD，且PAADAB2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
（I）求证：
PBDM;
（n）求CD与平面ADMN所成的角。
［简析］:
本题考查的知识点有：
空间线线、线面关系、空间向量的概念；。
考查的（能力）方法有：
逻辑推理能力；空间想象能力。
［试题结构］:
以底面是直角梯形的四棱锥为载体，结合线面垂直及特殊的线段长度关系，证明两异面直线垂直，并求线面角。
2、（2006浙江17）解：
方法一：
（1）因为N是PB的中点，PAPB，所以ANPB.
因为AD平面PAB，所以ADPB,从而PB平面ADMN.
因为DM平面ADMN，所以PBDM.
（II）取AD的中点G，连结BG、NG，则
BG//CD,
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面
ADMN所成的角相等.
因为PB平面ADMN,
在RtBGN中，sinBNG
BG5
所以BGN是BG与平面ADMN所成的角•
方法二：
如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设BC1则
A（0,0,0）,P（0,0,2）,B（2,0,0）,C（2,1,0）,M（1,丄,1）,D（0,2,0）
2
•怖
arcsin
、2006年其他省市（部分）试题分析
1，（福建18）
如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，
CACBCDBD2,ABAD,2.
（I）求证：
AO平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
［简析］:
本题考查的知识点有：
直线与平面的位置
关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离。
考查的（能力）方法有：
逻辑推理能力；空间想象能力和运算能力。
［试题结构］:
以一个特殊结构的四面体（三棱锥）为载体，考查线面垂直，并求
两异面直线所成的角和点到平面的距离。
M
D
O
1、（福建18）解：
方法一：
（I）证明：
连结OC
QBODO,ABAD,AOBD.
QBODO,BCCD,COBD.
在AOC中，由已知可得AO1,CO,3.
而AC2,AO2CO2AC2,AOC90°,即AOOC.
QBDIOCO,AO平面BCD
（II）解：
取AC的中点M，连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
ME//AB,OE/DC
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在OME中，
1迈1
EM-AB,OE-DC1,
222
1
QOM是直角AOC斜边AC上的中线，OM—AC1,
2
cosOEM,
4
异面直线AB与CD所成角的大小为
2
arccos
4
（III）解：
设点E到平面ACD的距离为h.
2
AO.SCDE
SACD
1辽
2
7
点E到平面ACD的距离为
7
方法
（I）同方法
（II）解：
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，贝UB（1,0,0）,D（1,0,0）,
C（0,、3,0）,A（0,0,1）,E（1J,O）,BA（1,0,1）,CD（1,3,0）.
22
uurmurcosBA,CD
-uuu-
-UUUh
BA
CD
4
（III）解：
设平面ACD
rUULT
n.AD（x,y,z）.（1,0,1）0,
rUULT-
n.AC（x,y,z）.（0,、、3,1）0,
xz0,
\3yz0.
令y1,得n（J3,1,J3）是平面ACD的一个法向量。
uuu1、、3
又EC（,,0）,点E到平面ACD的距离
22
uuur
EC.n73^21
h—r—.
n万7
、2007年试题的结构（仅仅是可能性）
要点：
根据对前两年的高考试卷的分析并结合我们的体会，我们认为2007年的立体几何大题，可以从这几个方面来考虑，首先以什么为载体，是锥体还是柱体，若是锥体，那么是三棱锥呢还是四棱锥？
若是柱体呢？
已经有好几年考锥体了，今年考柱体的可能性是否在增大呢？
但这载体其实不是最重要的，最重要的是由哪些知识点组合给出题目的条件，一般来讲，给出线面垂直，面面垂直这样的关系是比较常见的，也可以结合线面关系和面面关系（如平行、垂直）。
前面的三个例子都是这样的。
再者求（证）什么？
证明的一般是线面平行或线面垂直、线线垂直，少数情况下证明面面垂直。
所求多数情况下是线面角、二面角，距离，当然两条异面直线所成的角有时也会考的。
距离这个内容浙江省已经有几年没考了，这并不说明它不重要，其他省去年也有考（如福建）。
今年会不会考？
我们认为可能性比较大，那么考什么距离/线面距离、面面距离还是点面距离，由于立体几何中的五个距离都可以转化为点面距离，并且用向量运算时点面距离有公式可用，因此若考距离，则点面距离考的可能性相对较大。
[例题]：
如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA,2,且ABC90,O为
A1C的中点•
（I）证明：
B,C,A,B；
（H）求O到平面ABB1A1的距离；
（川）求ABi与平面ABC所成的角
解（I）由已知此三棱柱为直三棱柱，•••BB1丄B1C1，又•••ABC90，故，A1B1丄BiCi,
于疋BiCi丄平面ABBiAi，…BiCiAiB。
（□）•••BC//BiCi且BC=BiCi•BC丄平面ABBiAi，于是点C平面ABBA的距离为2，而0为A,C中点，二O到C平面ABBA的距离为i。
（川）由BC丄平面ABBiAi得到平面AiBC丄平面ABBiAi,取AiB中点D,•••ABAAi2,BiD丄AiB,•BiD丄平面AiBC.•./BiAiB就是
AiBi与平面A,BC所成的角•而/BiAiB=450,因此AiBi与平面AiBC所成的角是45°。
解：
（向量法）由已知可分别以BC、BA、BBi为x、y、z轴，以点B为原点。
则各点的坐标分别是A（0,2,0）,B（0,0,0）,C（2,0,0）,人（0,2,2）,
Bi（0,0,2）,G（2,0,2）
（I）BA（0,22）B1C1（2,0,0）,/.BA?
BQ0,从而B1C1A1B
（n）因为O是AC的中点，•••O（1,1,1）,AO（1,1,1）而平面ABB1A1的
_n1?
A1O
法向量是（1,0,0）O到平面ABB1A1的距离d；——1
（川）由A,。
（1,1,1）,BC（2,0,0），设平面ABC的法向量是n2（x,y,z）,
则
2,0）,设A1B1与平面A1BC所成的角为，则
有A1O?
n2xyz0以及BC?
n22x0得n2（0,1,1）。
另一方
n2
面A1B1
所以=450，即A1B1与平面A1BC所成的角
sin
是45°。
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