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1、完整版电磁场理论复习总结4-症度计算相关公式:1.1标量场和矢量场1.2三种常用的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符： (一e e ez)x y z2.梯度的垄本运算公式1)VC-0 (CS)2)V(Cu)二 CVw3)V(/ 土巧二可肿土 V7附4)V(/aT) = z/Vv + tV;/5)VF(u) = Fr(u)Vu6)V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7)7( v) = Vw + Vvdu dv式中：U育常報；级甘为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 小V x V/z = 0产生场的场源所在的空闾位国 点称为源点上记为am或7 场所在的疇间隹置点称

2、为场贞 记为(x,y2或尸 源点到场点的距Sj?=|r-r| 从源点指向场点的矢量为 = r-F例3求鸥叫哙呻刃畑&R衣示对 仗4运算R表示对 运算.Rr-r1 J(x-A?)r+(y-/:BR 、 BR 、 BRMY臥叫帝M还W(R) = ARWR = -R(tri旳和5 巧2化砸事=蛰虫=%专(lii dii fir ?SA dS A. Ay AzdivA lim V 0 V x y zdivA Ax Ay Az Ax y za ex( Az Ay) ey( Ax Az) ez(入 sy z z x x y1)VyC = 02)Vx(i = A3)V x(H B) Vxj1V.54)V x

3、 (u = uV y /fi=Vxl3）无紅无哉场（源隹所i+论的区域Z外） Vx/ =0=F - -VttV?w = O4）有散有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 戶（F）二京F） + 和F=-別（亍）+2（F）忸- 札无旋场部分1；无散场部分 *! O.N 亠亠,无冀场与无散场可以看磴展两科基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无庭场部分与无飲场部分上利 也就是说，性一矢 虽场都可以表示为一标屋场的梯度与另一矢虽场的龊度之刑.F（F）二刁（可十疔） 4一、浚姆崔玆定理在有限的区域扌内，任一矢量场由它的散度就 度和边界条件（即限定区域V的0合面S上的矢量场 的分布）唯地确定

4、，且可妬为说明:F(r)-Vu(r) + VxJ(r)1） 矢駅场户可以用一亍标虽函数的梯度和一个矢邑 函数的旋度来表示。此标量函数由f的散度和匸在 边界$上的法向分呈完全确赶而矢量函数则山戶 的真度和戶在边界面S上的切向分量完全确定；2） 由于 VxW（f）- OtV Vx j（r）J = 0 f 周而一卜 欠量场可以衷示为-个无旋场与无啟场之和，即F（r） = （r） + （r）lV(r) = OV(7) = VxF(r) = J3）如果在区域V内矢量场F的散度与旋度均处处为0, 其在边界面S上的场分布完全确定；亥姆霍兹定理在电磁场理论中的査文：|蚩要公式|*,* S -w（ N . x

5、J+iVx J4)V-(x)=(Vx.4).45)Vx(Jx5) = (V 5)J + (5-V)J-(V 6V(J)=2x(Vx5)+(3 V)5+Jx(Vxl+(J-V)J 7Mx(VxJ)-iv2 -(i V)J8)Vx(Vxj)-V(V-j)-VJ9)Vi = 0T V-(Vx J) = 0第二章静电场分析2.1电场的基本性质体电荷M电荷在某空间休积内连续分布 休电荷密度定文，单位休积内將电荷量“Q(F)=帆学:=穿 宀詔 a g = p(f /F“7 &F dv R .2、面电荷密度 q s(r)ds 3、线电荷密度q l (V)dlS l4.点电荷二、库仑定律描述了真空中两个点电蓟

6、间和互作用力的规律，其数学表迭式为F 一晒尸 仏& %一仙盘一伽酩盹式申：甩表示？作用在嚳上的静亀力g心为真空中介电牯孤f =二一三、电场强度 定艾:单位正电荷衣电场中某点受到的作用力称为该点 的电场强度。=応丘冲士 O M（刃拧个点电荷产生的电场强度（矢量叠加原理） 風尸） = Ev（l）m七尺令叫 时Rr-r/点电荷：爭电荷体体积非常小.可忽略其休稅时，称为 电荷点电荷町看柞是电量屯无限集中于一个几何点上。0 r#0I00 r r_ 05*点电蓟的占慵数表示法：1）占茵數的定丈和性頂： 设坐标原点为场点坐标 为；，源点坐标为几（,*内 （D 卩诞珊） Mtv 内）（3）连续分怖的电苞源产生

7、的电场元电荷产生的社场dE-e,斗陀j?*dq = TdS匚库电荷分布dq - p. dV电场空间中两点间电位差为：松二匸弓眄或陆二磴二、电位参考点电位参考点选择原则：1）电位参考点电位一般为0；申.荷分布在有限区域，通常选无穷远为电位参考点炉h = 0 （jB - X）p A = J E *dl在无源区域*% = 0 寸电位的拉普拉斯方程例I：半径为匕的带电导体球.已知球体th位为u, 求空间电位分布及电场强度分布匸解法-导体球是等位体铝r电位参考点可任負选择，但同一问题一般共能 选取一个参考点.三、电位的计算公式1、点电荷的电位 2、无限长线电荷的电位列门=d = f怙。4or X*久分布

8、电荷休系在空间中产生的电位1 d f 2d = p 寸 r6 爲 8 爲 8E-(p = -(eT + 1 X )cr r cu rsinp cp rf 21解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称.设导体球带电菽量为g则刖由高斯定理求得.在 球外空间，电场强度为：4眄、r-V P具有体电荷密度的董纲C/nP,P n则貝有面电荷密度的量纲C/iA定义P产科伍吩陶非心和6分别是人为定文的极化（束给）电荷体密度 和极化电荷血密度.旧（；）二丄f心时耳丄f 空务叭R 4矶朝R2.5介质中的高斯定理微分形式 积分形式Vx = O 丄二帀川 _D-p 万二戸少=住3 買D,E,P的关系。二证鼻二俎Q +

9、忑）E二护卫二桁戶二务返 s - sosr 称为介质的介电常数 己知电极化率爬为正实数，因此 一切介质的介电常 数均大于真空的介电常数。实际中经常便用介电OK相对值，这种相对值 称为相对介电常数，以豢示，其定义为舟严兰十兀 （! 可见，任何介质的相对介电常数兌是大丁XD=eE 戸-（-左在真空中，F = 0 耳=L D = n庄均匀、各向同性、线性媒质中（左为常敎）D-p V （sE） - E-P= V- （- -V）8在厂0的区域*则有 v-p 二 o ； 例1：已卿半径为恥介电常数鬲；石亦云焉匸石珀q* 球外为空气*分别在下列情况下求空间各点的电场和介 质屮的极化电荷分布：1） 电荷q均匀

10、分布在球休内；2） 电荷（1集中在球43） 电荷u均匀分布在球面上.解：1）电荷口均匀分布在球体内时，电场分布为（2口）D = 外 (r 7)4朋 nr -E =了耳 go)忌=I介质球内，极*电荷分布为 _fp -乃二一口(E-岭)= -(f-*0)V E|球坐标中：口花A空(宀&)r dr】/ 2 qrpp = -a)-r(r -一)=r dr -XcaT二*i的球面上，ZLflgjCtS = AU-禺爲惕=y9 q4感CT2电荷口束中在球心时，电场分布为4兀厂E二 v、 4码广在匚-红的球血上,丄二耳用|_ =（甌）瓦云二rxOjt, 旳=-眄円二十-励用Ei 亠一2务）舟（八亠Qr1

11、df 4 亦f尸0处为电场的奇异点”该处应有一扱化点电荷设此 极化点诧荷为山，根垢侖斯宦理，有 J = q + i = 0 i = 0 (r a) 4码尸pp = = -V *(ff - tc) = 0a- f|= Q例u：卞半径砂、介电常Me的均匀介质球内的极 化强度为 -K -P - 一Crr其中K为j常数口1） 计算車缚电荷卡糜度和向密度；2） 计笄自由电荷体帑度；3） 计第球内、外的电场和电位分布.解：1）介质球内的朿缚电荷体窃度为E五 1 d r 心 K 外二一= = 厂一）二一-f r dr r r在r 的球面上.柬轴电荷面密度为2）由于5二订、所以第三章 静态场边值问题的解法V

12、+ V 5 +V-Pi_fi)v-5 = vp由此得到介质球内的自由41荷体密度为总的口由电荷呈3）介质球内、外的电场强度分别为KLx 二一E(ra)i-d(A%)Fj：aK严dr + rth (-)r3.1唯一性定理（静电场）内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部 边界条件的解是唯一的。唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程 （泊松方程）的理论依据。3.2间接求解法-镜像法冷穗像法墓本思路：在所研究的场域外的某些适当砒L 用一些虐拟电荷等效替代导怵分界面匕的席应电荷超 质分界而上的极化电荷的影响。键像法理论依厠：唯一性宦理。由唯一性定理：満足同一方耗和同样边界条件的电位 分布的解垦相同的所

13、以引入像电荷（等效电苛）后， 应该有电位函数仍然满足原方程（拉普拉斯方程或拍 松方程）电位分布仍满足原边界条件。畚爭敕电荷一般位于原电荷关于边界面的笹佛点社，故 称为镜像电荷爭鏡像电荷何置选择原则：K镜俅电荷必狱世于求解区域以外的空阿.2iO电荷的引入不能改变原问趣的边界条件.K . a eK 111 - -K (硝 f0 aK(m)户H妙=I Edr- dr畀3 卡)厂eoK曲石住7：.)r(riff)由边界面上的边界条件得21 -久-厂吒-垃TCO- 込cn cn导依中左=卄会证明：1）点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像等效问题：要求2与原闻题边界条件相同 原电荷口： z=h镜像迪荷（等

14、效电荷咒取消导休边界面* Q0空间媒 徹芜满整个空间。电弁蘭12.6导体系统的电容当导体周围媒质是线性媒质，导体本身的电位 与它表面所带的电量 Q成正比关系。在物理学中Q与 的比值称之为电容，即 厂 QC 2.7电场能量空间氐场能議为巴冷D（F）运（明卩二J严羽式中；卩另整个电场空间；1 - _ - _ , 气-D（r）E（r）- sE -电场能量密度； =* J 以假烬的点电荷/等效地代替感应电荷，匕半空间的 电位必须满足以下条件：V2（p = - - q6（x -Q：y-Q二-町M 0LSt由等效问题,P(x,yt2)(3)可以求出在Q0空间内的申位分布为;(4)2）点电荷q对接地导体球面

15、（或空心导体球壳）的镜像电荷 a a2电量：q q位置：d da为半径不接他：导体球血电位不为山 球面上存在疋、负感应电荷（感应电荷总呈为01 -点电荷 日）d屮* +/ !dr-2r（al /）cos导休球接地，因此球内空间电位为0。炉二0 （rflx/j = -x7二 Elt 氛电位的边界条杵呦、 如” 一-=K -例池二0仁电介质和导体交界面的边界条件介质中点总F由4的连续性则在导体一侧，有 = 0 浑刖4.5恒定电场的边值问题静电场和恒定电场性质比较：相同点：场性质相同，均为保守场；恒宝屯场(P E J r I SSftJfti y-a:-毂#体介緻 G静电场审e d e q 导惨 -

16、2c 齐质无 C第五章恒定磁场分析5.1磁场的基本性质 v磁感应强度矢量 B处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力暫与该点磁场B、 电流元强度和方向有关，即 dF Idl B毕奥-萨伐尔定律设闭合回路C上通有稳恒电流I,它在空间任意点r 处产生的磁感应强度 B为v v v v vBr）=卫？呼？叫铲4n?C R3 4 vX5.2真空中磁场的基本方程积分形式 微分形式p-5-0 口直 _o阴衍=卯 VB = J （安培环路定律）小釦世定感场性质V B = O 牙源场.磁力线无头无尾且不相交Vx5= 有旋场电流是确场的旋涡源，磴力纨构成31合回路5.3矢量磁位-矢量磁位的引入V5=0 - 亠一 =

17、5 = V x JVVxJ） = 01称为矢岸磁位.单位为丁曲特*米喊耳Vb/m （韦侏八 它是-个辅助性质的矢量.引入矢量餓位的意乂引入辅助菌散.町通过间接求解 方沫求解空间礦场分布，简化电雄问题求解三、库仑挽范矢症位不是唯-的，它加上任蕙-个标量卩的 梯度后.仍熬表示同-个磁场，即 若匕5 = Vxj ,则对于一7 +匸卩有Vx-? = Vx VxVp - Vx j _ 3 血* v*川v，川十p百礬 .f可月Wfp工o 上式表明:.i和扌为件质不同的两种矢逢场这意味 着稠足的7有无限多个.为了唯 地确定餐重1S位7,规定=并称这种规定为障伦规范.注意：规范条件是人为引入的限定弟件，可根据

18、问磁化电流逼介质観磁化后，内部和表面叮能会出现附加联 流.称富种电流为磕优电流（束缚电流、。哥若媒质的議化强度为M 则 休磁化电流密昨J = VxA/E面磁化电流密度为：J =A?xS月为媒质衷面外法向方向 l_ 介喷儘化后耀化电谎在空泊【产生的矢量ft： * * 1a= r厶诃厂亠f也is在两种磁介质分界面上，磁化电流耐帯度为Jw - （jifi -Xf ?）xnJ、说明： 礦函丙颤昭匸 匸常矢呈时称媒质被均匀磁化，此时蹴弁质内部 不会出现磁化迥流：2、 若礎介AS被磁化，其表祈匕一般会产生磁化电流:；3、 磁优电流仍然遵循电漩守恒关系；4、 均匀磁介圈内部一般不存在鑑化电流；氣若传异电济位

19、于跌介质内其所在位置处一定有毬 化电流出现。 45.5磁介质中磁场的基本方程介威中磁场基本方程为百万“ r：f bs = o o VxVxJ / 为歩库心増航）由 Affifi 等式 VxVx3V（V-J）-V2J上式变为 V:l = -unJ 欠量蹴位的泊松方程对于无源区域 ,有V2J = 0 矢最磁位的拉巷拉斯方程说明：1*矢懾礴位的方向与电流J的方向相同2.引入矢戢磁位可以大大简化磁场的计算.二、丽目间的实践证明*除铁腳酬，両和亓之间的蜷性关系为其中氐称彎化野 是无鼠娜常数二于昙有 丘-血（才+九万）加1 +乙）万万弋万式中*】+益=用，称为相对嚴导率.称为物质的破导率用-网说期：!算空

20、E空哉）的相对嚴导率为1*浜匿介质的分炎；顺讎威：感症册与外场方向和同拭證辰：感険磁场与外场方向相反歌陈质：爲应瞪境与外场方向H1同.且磁化右康应磁场远远大于,5.6磁介质分界面上的边界条件5.4物质的磁化现象 磁化强度理想介质分界面上磁场的边界条件Vx/-0u.12则冇户W (?)交界而上的关粟和静电介质完全类似蹴荷和标量磁位的好处在于可以借用静电学中的方法因此，引入ttifet若衣分驛面上无自由电流,H切向谨续5*.Vx/7 =0刊迟(2)2jrp o-a(2 ) 时三、标量磯位的边界条件：1.在场域内殆处处有限；若电流或确荷分布干冇限区域内，则时， rO 在均匀外磁场中，当FT3T时 口

21、 E T厅严 OS&在理握介质(r = 0)分界面匕不存在自由电流 此时感场的边畀毎杵为例匚求一个半轻为a的磁介质球蜀于均匀歳场& 中被磁化后的磁场.解；设球介质内、外的标吊底位分别尿、= D (r a) Z1场向厝的边界条件为 厂“咕Q捡“ 肌伫0P2Y-, =-Har& ?亓帀才2矽=0 兀 X在的管壁空何内的磁化强度为( 弘)U1)(戸)丄2 V 曲) b、a 2p 、a(管璧内的靈化体电流为T 一 L6 - U , 1 -几=V X -If (fM 加阳三(一1 1) TT3 27 总p QP 佝 Jib a )在p二&和p b处的磁化面电流为 了严=曲：(-6 人匚=正込严-( 1)具匸 佻 2nb崔垂宜于K轴平面内的磯化电流为”=血Jjh-d$+|T Jua dl ( 1H7 1Dn矶=兀曙称为标量磁位， 单也为a