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完整版电磁场理论复习总结

4-症度计算相关公式:

1.1标量场和矢量场

1.2三种常用的正交坐标系

1.3标量场的梯度

哈密顿算符：

（一e—e—ez）

xyz

2.梯度的垄本运算公式

1）VC-0（C^S）

2）V（Cu）二CVw

3）V（（/土巧二可肿土V7附

4）V（/aT）=z/Vv+tV;/

5）VF（u）=Fr（u）Vu

6）V（-）=-l（rV?

/-i/Vv）

FFcF

7）^7（^v）=—Vw+—Vv

dudv

式中：

U育常報；级甘为半标变最遢載;

3”梯度的重要性质

16CJ55「「小

VxV/z=0

产生场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7场所在的疇间隹置点称为场贞「记为（x,y\2｝或尸源点到场点的距S»j?

=|r-r|从源点指向场点的矢量为

^=r-F

例3求鸥叫哙呻・刃畑％&

R衣示对仗」4运算R表示对运算.

R^r-r1^J（x-A?

）r+（y-/>:

BR、BR、BR

—MY臥叫帝M还

W（R）=ARWR=^-\R

（tri

旳和5巧\2化砸事=蛰£虫=—%专

（liidiifi

SAdSA.AyAz

divAlim——

V0Vxyz

divAAxAyAzA

xyz

aex（AzAy）ey（AxAz）ez（入s

yzzxxy

1）VyC=0

2）Vx（i=A

3）Vx（H±B）—Vxj1±V>.5

4）Vx（u=uVy/<+Vuk

xB）=2J-Vxj4-j4-Vx5

lf*****4；

jd'VxVy-0

7）V（VxJ）-O：

W屜囲焉唉屋•熾常数，址为标量函数「

三、斯托克斯定理

物理含义；

—个魚量场旋度的面税分導于演矢量沿此由面周界的曲线眦

四、矢量场擬度的重要性质

卩（Vxj^O任意矢量场I?

度的散度等于議

1.6亥姆霍兹定理与格林定理

一、矢量场的分类

矢量场有两种不同性质的源：

（1）散度源（标量）

（2）旋度源（矢量）。

任一矢量场，可能是由两种源中的一种产生的，也可能是由两种源共同产生的。

根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类。

1）有源无旋场

若矢虽场申佐某区域'他处姑汁皿個在某些楼置或整个空间内，有歸*如则称在该区±«v内，场戶旧为有源无旋壕•

P为矢虽场通虽谓密度；

VxF=0

蛍要性氐萨（F）皿二[严戶（尸）曲"

结臨无旋场场矢量沿任诃闭合路径的环流等于零（无激涡源几VxVw-0

无旋场的旋度始终为6可引入标号辅助函数表征矢戢场即F二-％

例如：

静电场Vx£=O^F—Vp

2）无源有族场_

若矢量场丙尸）在某区轍内，处处VJ=O,但在某些位冒或整亍空间内.有VxF=J^0-则称在该区妳刚场戸㈤为有淀无源如说明器式中J为矢量场漩祸源密度。

V-F-0

童要性质：

^F（r）rf5=[.VF（r）rfr=0

騒无散场通过任盍闭合曲面的通量等于零（无散度源八vVxJ=0

无散场的散度始络为0,口I引入矢量函数的貰度表示无

®»F=VxJ钏虬1S越4场V-5=0z>fi=Vxl

3）无紅无哉场（源隹所i+论的区域Z外）Vx/=0=>F--Vtt

w=O

4）有散「有旋场

这样的场可分解为两部分：

无旋场部分和无散场部分戶（F）二京F）+和F}=-別（亍）+2（F）

忸-札

无旋场部分1

；无散场部分

•■**!

■■・O.・N■亠亠・■■■・,

无冀场与无散场可以看磴展两科基本的矢量场，任一矢量场都可以分解为无庭场部分与无飲场部分上利也就是说，性一矢虽场都可以表示为一标屋场的梯度与另一矢虽场的龊度之刑.

F（F）二刁（可十£疔）4

一、浚姆崔玆定理

在有限的区域扌内，任一矢量场由它的散度"就度和边界条件（即限定区域V的0]合面S上的矢量场的分布）唯地确定，且可妬为

说明:

F（r）--Vu（r）+VxJ（r）

1）矢駅场户可以用一亍标虽函数的梯度和一个矢邑函数的旋度来表示。

此标量函数由f的散度和匸在边界$上的法向分呈完全确赶而矢量函数则山戶的真度和戶在边界面S上的切向分量完全确定；

2）由于Vx[W（f）]-OtV[Vxj（r）J=0f周而一^卜欠量场可以衷示为-个无旋场与无啟场之和，即

F（r）=^（r）+^（r）

lV^（r）=O

V^^（7）=VxF（r）=J

3）如果在区域V内矢量场F的散度与旋度均处处为

0,±其在边界面S上的场分布完全确定；

亥姆霍兹定理在电磁场理论中的査文：

|蚩要公式|

***,»***[S-w

（N.

（D单个点电荷产生的电场强度

1）V（中审）_（X7卩）v+卩1V审

2）V•（亦）=年护•彳十亦A

V^>xJ+^iVxJ

4）V-（^x^）=（Vx.4）.4

5）Vx（Jx5）=（V5）J+（5-V）J-（V6>V（J^）=2x（Vx5）+（3V）5+Jx（Vxl}+（J-V）J7Mx（VxJ）-iv^2-（iV）J

8）Vx（Vxj）-V（V-j）-V\J

9）V^i=0TV-（VxJ）=0

第二章静电场分析

2.1电场的基本性质

体电荷M电荷在某空间休积内连续分布•休电荷密度定文，单位休积内將电荷量“

Q（F）=帆学:

=穿宀詔ag=[p（f>/F

“7&Fdv„R.

2、面电荷密度qs（r^）ds3、线电荷密度ql（V）dl

4.点电荷

二、库仑定律

描述了真空中两个点电蓟间和互作用力的规律，其数学表

迭式为

F一晒尸仏&%一仙盘「一伽酩盹

式申：

甩表示？

作用在嚳上的静亀力g

心为真空中介电牯孤f=二一

三、电场强度定艾:

单位正电荷衣电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度。

£=応丘

冲士O'M

（刃拧个点电荷产生的电场强度（矢量叠加原理）風尸）—=E—v（l）

m七尺」令叫'时

R^r-r/

点电荷：

爭电荷体体积非常小.可忽略其休稅时，称为电荷°点电荷町看柞是电量屯无限集中于一个几何点上。

0r#0

00rr_0

5*点电蓟的占慵数表示法：

1）占茵數的定丈和性頂：

设坐标原点为场点坐标为；，源点坐标为几

（,*内（D卩诞珊）Mt£v内）

（3）连续分怖的电苞源产生的电场

元电荷产生的社场dE^-^-e,

斗陀j?

dq=

匚库电荷分布

dq-p.dV

电场空间中两点间电位差为：

松二匸弓眄或陆二]『磴

二、电位参考点

电位参考点选择原则：

1）电位参考点电位一般为0；

⑴申.荷分布在有限区域，通常选无穷远为电位参考点

炉h=0（jB-¥X）

在无源区域*

%=0寸电位的拉普拉斯方程

例I：

半径为匕的带电导体球.已知球体th位为u,求空间电位分布及电场强度分布匸

解法-导体球是等位体铝

（2）电荷分布在无隈区域彳;能选无穷远点作参考点*否呦积分将无穷大*应根据空际情况选取参考点・

2）场中任意两点2间的电位建与掺罟点无关口

3）选择参考点恳可能使电位表达式比较简肌.

4>电位参考点可任負选择，但同一问题'一般共能选取一个参考点.

三、电位的计算公式

1、点电荷的电位2、无限长线电荷的电位

列门=d=—f怙。

4^orX*

久分布电荷休系在空间中产生的电位

1df2d

/'arav

=>\

『r=a

二0

zz>=

p寸r6爲8爲8

E~-^（p=-（eT—+——1X）

crrcursinpcpr

f21

解法二：

电荷均匀分布在导体球上，呈点对称.

设导体球带电菽量为g则刖由高斯定理求得.在球外空间，电场强度为：

4眄、r

-VP具有体电荷密度的董纲C/nP,

Pn则貝有面电荷密度的量纲C/iA

定义P产科伍吩陶非

心和6分别是人为定文的极化（束给）电荷体密度和极化电荷血密度.

旧（；）二丄f心时耳丄f空务

叭"R4矶朝R

2.5介质中的高斯定理

微分形式积分形式

Vx£=O丄二帀川

—£_

^'D-p［万二］戸少=住

3買

D,E,P的关系

。

二证鼻二俎Q+忑）E二护卫二桁戶二务返s-sosr称为介质的介电常数''■

己知电极化率爬为正实数，因此’一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。

实际中经常便用介电OK相对值，这种相对值称为相对介电常数，以豢示，其定义为舟严兰"十兀£（!

可见，任何介质的相对介电常数兌是大丁X

D=eE戸-（£-£』左

在真空中，F=0耳=LD=^n£

庄均匀、各向同性、线性媒质中（左为常敎）

^D-pV'（sE）-E-P

=>V-£^―（£--V^）

在厂0的区域*则有

v-p二o■…］；例1：

已卿半径为恥介电常数鬲；石亦云焉匸石珀q*球外为空气*分别在下列情况下求空间各点的电场和介质屮的极化电荷分布：

1）电荷q均匀分布在球休内；

2）电荷（1集中在球4\

3）电荷u均匀分布在球面上.

解：

1）电荷口均匀分布在球体内时，电场分布为

（2口）

D=外（r<^7）

4朋

—nr-

E]=「了耳go）

忌=I

介质球内，极*电荷分布为—_

fp--㈡乃二一口[（E-岭）£\]=-（f-£*0）VE|

球坐标中：

口花A空（宀&）

rdr

】/2qr

pp=-^-£a）—-r（r-一）=

rdr-X^ca

T二*i的球面上，

ZLflgjCtS―=A

U'-禺｝爲惕」=y—^9q

4感CT

2〉电荷口束中在球心时，电场分布为

4兀厂

E》二v、4码广

在匚-红的球血上,

①丄二耳用|_=（—甌）瓦云二

rxOjt,旳=-眄円二十-励用Ei亠一2—务）'舟（八'亠Q

r1df4亦f

尸0处为电场的奇异点”该处应有一扱化点电荷"设此极化点诧荷为山，根垢侖斯宦理，有"

J=q+

恥为以介质球右为中心,rgiO为半径的球血，

4“•叭=空+竹

介质球内.

在宀的球宦h»bp

3）申荷口均匀分布虑球血上时，申场分布为

£>i=0—£i=0（r<£i）Ei-—er（r>a）4码尸

pp==-V*[（ff-tc）£]]=0

•a-£f|—=Q

例u：

卞半径砂、介电常Me的均匀介质球内的极化强度为-K-

P-一Cr

其中K为j常数口

1）计算車缚电荷卡糜度和向密度；

2）计笄自由电荷体帑度；

3）计第球内、外的电场和电位分布.

解：

1）介质球内的朿缚电荷体窃度为

E五1dr心K外二一=—=厂一）二一-frdrrr

在r□的球面上.柬轴电荷面密度为

2）由于5二订"、所以

第三章静态场边值问题的解法

V£+V5+V-P

{i_fi）v-5=vp

由此得到介质球内的自由41荷体密度为

总的口由电荷呈

3）介质球内、外的电场强度分别为

Lx二一

（r

Ej=豐尸片—Sr*

4匹（）八吟古一旬）广

介质球内、外的电位分别人

.=「E潦'=［热彷+［E獅-

（r>a）

i-d

'（A%）F

j：

严

dr+rt

h£^（£-^）r

3.1唯一性定理（静电场）

内容：

满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。

唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）

的理论依据。

3.2间接求解法---镜像法

冷穗像法墓本思路：

在所研究的场域外的某些适当砒L用一些虐拟电荷等效替代导怵分界面匕的席应电荷超质分界而上的极化电荷的影响。

©键像法理论依厠：

唯一性宦理。

由唯一性定理：

満足同一方耗和同样边界条件的电位分布的解垦相同的’所以引入像电荷（等效电苛）后，应该有电位函数仍然满足原方程（拉普拉斯方程或拍松方程）电位分布仍满足原边界条件。

畚爭敕电荷一般位于原电荷关于边界面的笹佛点社，故称为镜像电荷"

爭鏡像电荷何置选择原则：

K镜俅电荷必狱世于求解区域以外的空阿.

2^iO电荷的引入不能改变原问趣的边界条件.’

K.aeK111--K（—硝f

0£aK

（m）

户H

妙=IEdr-\——^dr

•畀3」・卡）厂

eoK

曲■石住7：

.）r

（riff）

由边界面上的边界条件得

21-久-厂吒-垃T

CO-込

cncn

导依中左=卄

会证明：

1）点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像

等效问题：

要求2与原闻题边界条件相同原电荷口：

z=h

镜像迪荷（等效电荷咒

取消导休边界面*Q0空间媒徹芜满整个空间。

电弁蘭1

2.6导体系统的电容

当导体周围媒质是线性媒质，导体本身的电位与

它表面所带的电量Q成正比关系。

在物理学中Q与的比值称之为电容，即厂Q

C——

2.7电场能量

空间氐场能議为

巴冷］D（F）运（明卩二J严羽

式中；卩另整个电场空间；

1-_-_］,,

气-~D（r）'E（r）-—sE--►［电场能量密度；=*J'————————————

以假烬的点电荷/等效地代替感应电荷，匕半空间的电位必须满足以下条件：

V2（p=-■-q6（x-Q：

y-Q二-町

LSt±

由等效问题,

P（x,yt2）

（3）

⑶

可以求出在Q0空间内的申位分布为;

（4）

2）点电荷q对接地导体球面（或空心导体球壳）的

镜像电荷aa2

电量：

q'°q位置：

d'd

a为半径

不接他：

导体球血电位不为山球面上存在疋、负感应电荷

（感应电荷总呈为01-

点电荷<1对非接地导体球面

的鏡像电荷有两亍土

能像电背1.

电星嘉二为«tfi=宀&

■d.」di

镀像电荷2；

丁—--Q

（幻当导休球不接地时，由镜像潼.原问题可尊效为空何只存在Q和镜像电荷口‘；和.不存在边界的问题.I

位置位于球心.

则球外空间任总点P（斗化打处电位为:

旷丄忆+6□-

—Qq*

F・■■■■・■m■■!

■!

■■■■■■■*■'|

电量爲J-心备位置汐Qu

224713t:

点电荷在介质分界面上的镜像电荷电量

rr）e二八.

4；%yy4亦#

3.3分离变量法---直接求解法（三种坐标系下）

2u0

q'12q

qqq

（计算媒质1中电位）

（计算媒质2中电位）

边界条件

电位函数的通解例题见第五章

u（x,y）（AoBoX）（CoD°y）+

■kyky

[AnSin（knX）Bncos（knx）][CnenDnen]；

n=1

4.2电流连续性方程

积分形式

微分形式

（J）dV—dV

V\/Vt

J——0

恒定电流的电流连续性方程为

J02J

dS0

物理意义：

流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电

流电流连续。

4.3恒定电场

例1:

真空中一点电荷冶十导体球附近.导体球半径为科点电药卽离球心距离为d（d）a）-求：

（1）导体球接地时空间电拉分布及电荷Q受电场力：

（2）导体球未接甌时空间电位分布及电芍Q受电场力:

解：

（】）当导体球接地时，由做像法*原问題可等效为宅间只存在Q和饒像电荷『・不存在边界的问题.工

易知】ql--—Qd'-—厂d

呦球外空间衽意点P（^v^）处电位为’

防2|

4忙垃Jr"+d~-2rdcosH

f,“、1{广>日）

d屮*+/!

dr-2r（al

导休球接地，因此球内空间电位为0。

炉二0（r

芦Qq'_adOzk

4^{d-d'）2f4死％（护_□于‘

4.1电流与电流密度

电流强度I的定义：

寞验证明：

在导电媒质中，电擁密度与电场强度咸正比，即J（；）=Z£（；）——强隆葡丽丽卸y称为导电媒质的电导率*单采5。

2.E的边界条件j£'i^=0=>flx/j=£-x>7

二Elt氛电位的边界条杵

呦、如

”一-=K―-

［例—池二0

仁电介质和导体交界面的边界条件

介质中㈱点总F由4的连续性’则在导体一侧，有^=0浑"

刖

4.5恒定电场的边值问题

静电场和恒定电场性质比较：

相同点：

场性质相同，均为保守场；

恒宝屯场

（PEJrISSftJftiy->a:

-毂#体介緻G

静电场

审edeq导惨£->2c齐质无C

第五章恒定磁场分析

5.1磁场的基本性质v

磁感应强度矢量B

处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力暫与该点磁场B、电流元强度和方向有关，即dFIdlB

毕奥-萨伐尔定律

设闭合回路C上通有稳恒电流I,它在空间任意点r处产生的磁感应强度B为

vvvvv

Br）=卫？

呼」？

叫铲

4n?

CR34vX

5.2真空中磁场的基本方程

积分形式微分形式

p-^5-0口直_o

阴衍=卯V^B=^J（安培环路定律）

小釦世定感场性质

VB=O^牙源场.磁力线无头无尾且不相交

Vx5=有旋场°电流是确场的旋涡源，磴力

纨构成31合回路

5.3矢量磁位

->矢量磁位的引入

V5=0-亠

一>=>5=VxJ

1称为矢岸磁位.单位为丁曲特*米喊耳Vb/m（韦侏八它是-个辅助性质的矢量.

引入矢量餓位的意乂引入辅助菌散.町通过间接求解方沫求解空间礦场分布，简化电雄问题求解"

三、库仑挽范

'矢症位・不是唯-的，它加上任蕙-个标量卩的梯度后.仍熬表示同-个磁场，即若匕5=Vxj,则对于』一7+匸卩有

Vx-?

=VxVxVp-Vxj_^3血*v*川"—v，川十p■百礬—¥•.f—可■月—Wfp工o上式表明:

.i和扌为件质不同的两种矢逢场"这意味着稠足的7有无限多个.

为了唯地确定餐重1S位7,规定=

并称这种规定为障伦规范.

注意：

规范条件是人为引入的限定弟件，可根据问

磁化电流

哥若媒质的議化强度为M•则休磁化电流密昨

J=VxA/

面磁化电流密度为：

\J=A?

x«S月为媒质衷面外法向方向l_™\

介喷儘化后耀化电谎在空泊【产生的矢量

「"*■*1

a=^]r厶诃厂亠f也is'

在两种磁介质分界面上，磁化电流耐帯度为

Jw-（jifi-Xf?

）xn

J、、

说明：

礦函丙颤昭

匸'匸常矢呈时称媒质被均匀磁化，此时蹴弁质内部不会出现磁化迥流：

2、若礎介AS被磁化，其表祈匕一般会产生磁化电流:

；

3、磁优电流仍然遵循电漩守恒关系；

4、均匀磁介圈内部一般不存在鑑化电流；

氣若传异电济位于跌介质内’其所在位置处一定有毬化电流出现。

5.5磁介质中磁场的基本方程

介威中磁场基本方程为

「百・万“r：

[fb^s=o

{o<宀

]"■・■•・■■■■■・，■■■"・■I厂d一八：

…-I

L；VxH=J\I和HM—A

fltg.F=*=»

或3=pc（^+Af）

在真空4輛"4活

B=VxA

Vx牙=弘了

㈣、矢量磁位的求解

欠量磴位満足的方程

卜=>VxVxJ^/£/

为歩｛库心増航）

由Affifi等式VxVx3^V（V-J）-V2J

上式变为V:

l=-unJ欠量蹴位的泊松方程

对于无源区域,有

V2J=0矢最磁位的拉巷拉斯方程

说明：

1*矢懾礴位」的方向与电流J的方向相同•

2.引入矢戢磁位可以大大简化磁场的计算.

二、丽目间的

实践证明*除铁腳酬，両和亓之间的蜷性关系为

其中氐称彎化野是无鼠娜常数二于昙有丘-血（才+九万）■加1+乙）万万弋万

式中*】+益=用，称为相对嚴导率.

称为物质的破导率

用"-网

说期：

>算空E空哉）的相对嚴导率为1*

浜匿介质的分炎；

顺讎威：

感症册与外场方向和同

拭證辰：

感険磁场与外场方向相反

歌陈质：

爲应瞪境与外场方向H1同.且磁化右康应磁场远远大于,

5.6磁介质分界面上的边界条件

5.4物质的磁化现象磁化强度

理想介质分界面上磁场的边界条件

Vx//-0

则冇

户W（?

）

交界而上的关粟和静电介质完全类似

蹴荷和标量磁位的好处在于可以借用静电学中的方法

因此，引入

ttifet若衣分驛面上无自由电流,H切向谨续

5*.

Vx/7=0

刊迟

（2）

2jrpo-a

（2）时

三、标量磯位的边界条件：

1.在场域内殆处处有限；

£若电流或确荷分布干冇限区域内，则—时，％rO在均匀外磁场中，当FT3T时»口ET■—厅严OS&

在理握介质（r=0）分界面匕不存在自由电流此时感场的边畀毎杵为

例匚求一个半轻为a的磁介质球蜀于均匀歳场&中被磁化后的磁场.

解；设球介质内、外的标吊底位分别尿、％

=D（r>a）Z1

场向厝的边界条件为」厂“

咕Q捡“肌伫0P

2Y-^^,=-Har^&\?

』亓」•帀・"才2矽=0兀"X

在的管壁空何内的磁化强度为（（弘）U1）（戸）丄2V曲）b、a'2^p、

a（管璧内的靈化体电流为

T一L6-U,1-

几=VX-If■^—（fM加〕阳三（一11）—TT327总

pQP佝Ji{b~a）

在p二&和pb处的磁化面电流为了』严=曲>：

（-6>}"人匚=正込严［-（£—1）具匸佻2nb

崔垂宜于K轴平面内的磯化电流为

』”=血Jjh-d$+|^T^Juadl—（~1H7"1D』

n矶=兀

曙称为标量磁位，单也为a

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