带电粒子在有界磁场中运动超经典.docx

1、带电粒子在有界磁场中运动超经典带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中， 如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件” “动量中的避免碰撞问题”等等， 这类题目中往往含有“最大”、 “最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁 场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。、解题方法画图T动态分析T找临界轨迹。 （这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了这一般都不难。 ）、常见题型 （B为磁场的磁感应强度，V。为粒子进入磁场的初速度）r旳方向一定，

2、大小不确定一第一类 I确宦 V。犬小一亦方向不确定第二类旳大小、方向都不确定一第三类分述如下:第一类问题：例1如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为 B,宽度为d,边界为CD和EF。一电子从 CD边界外侧以速率 V。垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为0。已知电子的质量为 m电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧 EF射出，求电子的速率 vo至少多大？例2如图3所示，水平线 MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B的匀强磁场，在 MN线上某点O正下方与之相距 L的质子源S,可在纸面内360范围内发射质量为 m电量 为e、速度为Vo=BeL/ m的质子，不计质子重力，打在 MN上的质子在 O点

3、右侧最远距离 OP ，打在O点左侧最远距离 OO 。分析：首先求出半径得r=L,然后作出临界轨迹如图 4所示（所有从 S发射出去的质子 做圆周运动的轨道圆心是在以 S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆） ，O諒L , OQL。【练习】如图5所示，在屏MN勺上方有磁感应强度为 B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面 向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为 m带电荷量为一q的粒子（不计重力），以相同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场 B垂直的平面内，且散开在与 PC夹角为0的范围内，则在

4、屏 MN上被粒子打中的区域的长度为（ ）2mv2ffsvcos52wv(l - sin ff)cosff)A. -1 - B.扛 C. L- D .分析：如图6所示，打在屏上距 P最远的点是以 0为圆心的圆与屏的交点，打在屏上最 近的点是以02或O为圆心的圆与屏的交点 （与例2相似，可先作出一系列动态圆）。故答案选 “D。第三类问题:例3 （2009年山东卷）如图甲所示，建立 Oxy坐标系，两平行极板 P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为 I，第一、四象限有磁场，方向垂直于 Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿 x轴向右连续发射质量为 m电量为+q、速度相同、重力不计的带 电

5、粒子。在03to时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响） 。已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在 to时刻经极板边缘射入磁场。 上述m q、I、t。、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）（1） 求电压U0的大小。1（2） 求2 to时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。（3） 何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。图丙分析：粒子进入电场做类平抛运动， 由平抛运动规律即可求得偏转电压 U0;t=2to时刻进入1的粒子先做类平抛运动， t 0后沿末速度方向做匀速直线运动， 利用相应规律可求得射出电场的速度大小，进入磁场后做匀

6、速圆周运动， 洛仑兹力提供向心力，可求提半径 R; 2to时刻进入的带电粒子加速时间最长（如图丙所示） ，加上此时粒子进入磁场是向上偏转，故运动时间最短，同样应用类平抛运动规律和圆周运动规律，即可求得此最短时间。第四类问题：例4如图7所示，磁感应强度大小 B=0. 15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径F=0. 10m的圆形区域内，圆的左端跟 y轴相切于直角坐标系原点 0,右端跟荧光屏 MN相 切于x轴上的A点。置于原点的粒子源可沿 x轴正方向射出速度 Vo=3. 0X 106m/s的带正电 的粒子流，粒子的重力不计，荷质比 q/m=1. ox lO8C/kg。现以过O点并垂直于纸面的直

7、线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90,求此过程中粒子打在荧光屏上离 A的最远距离。分析：本题可先设想磁场是无界的，那么粒子在磁场中运动的一段圆弧如图 8中的弧0E（半径r=2R=0. 20m,圆心为O ）,现在圆形磁场以 O为轴在旋转相当于直径 OA也在旋转， 当直径OA旋转至OD位置时，粒子从圆形磁场中离开射向荧光屏 MN时离A有最远距离（落gOC = r tan 点为F）。图中 O O为等边三角形，FD与O 02延长交于C点，图中0 =60 1 ,练习：如图9所示，一个质量为 m带电荷量为+ q的粒子以速度Vo从O点沿y轴正方向 射入磁感应强度为 B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外

8、，粒子飞出磁场区域后， 从x轴上的b点穿过，其速度方向与x轴正方向的夹角为30,粒子的重力可忽略不计， 试 求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）粒子在磁场中运动的时间； （3） b到O的距离。分析：如图10,过b点作速度的反向延长线交 y轴于C点，作/ OCb的角平分线交x轴 于O,再以O为圆心、以OO为半径画弧，与直线Cb相切于点A,粒子运动的轨迹即为 O-gb, 圆形磁场即为以OA为直径的圆，利用相关物理公式及几何知识不难计算出本题的结果。第五类问题：例5电子质量为 m电荷量为e,从坐标原点 O处沿xOy平面射入第一象限， 射入时速 度方向不同，速度大小均为vo,如图11所示。现

9、在某一区域加一方向向外且垂直于 xOy平面 的匀强磁场，磁感应强度为 B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏 MN上，荧光屏 与y轴平行，求：（1）荧光屏上光斑的长度；（2）所加磁场范围的最小面积。分析：本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动的轨道圆心的集合，必在弧OQ上（如图12）,然后设想以该弧上的各点 （如图12中的O等四点）为圆心作出粒子运动的 轨迹，最终垂直射到 MN上的PQ间，所以荧光屏上光斑的长度即为 PQ=R=mv/eB;所加磁场范围即为图中由弧 OOOO所围的区域，其中弧 OO可看成是由弧OO向上平移R得到的。练习：例5若改为磁场方向垂直于 xOy平面向里，荧光屏M

10、N移至y轴右侧，”其他条 件不变，情况又怎样呢？读者可试作分析。 （所加磁场的最小范围为一“树叶”形状）综合以上题型，我们可以看到，这些问题的解答很能体现学生的分析思维能力以及想象能力，要求学生能够由一条确定的轨迹想到多条动态轨迹， 并最终判定临界状态， 这需要在平时的复习中让学生能有代表性地涉猎一些习题，才能在高考应试中得心就手，应对自如。例析用圆心轨迹确定带电粒子在磁场中运动区域问题同种带电粒子从同一点以相同速率、沿不同方向进入同一匀强磁场中， 粒子可能达到的区域的确定是教学中常遇， 学生感到棘手， 高考又考查的问题。现就此类问题举例分析。题目1 （2005年全国高考） 如图1，在一水平放

11、置的平板 MN的上方有一匀强磁 场，磁感应强度的大小为 B ，磁场方向垂直纸面向里，许多质量为 m、带电荷量为+ q 的粒子，以相同的速率 V0沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O射入磁场区域。不计重 力，不计粒子间的相互影响。图2中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域， 其中r =m vo/B q，哪个图是正确的（）X X 共 * 共V V v Vjn()析与解 依据题意，所有带电粒子在磁场中做圆周运动的半径相同 r = m Vo/B q所以，在纸面内由O点沿不同方向入射的带电粒子作圆周运动的圆心轨迹是以 O为圆心，r为半径的圆周（A图中虚线圆示）。又因为带电粒子带正电、进磁场时只分布在以 ON

12、和0M为边界的上方空间，而向心力由洛仑兹力提供， 它既指向圆心又始终垂直速度，可确定：圆心轨迹只能是 A图中虚线圆直径分隔的左半边虚线圆周；再以 A图中左半 虚线圆上各点为圆心、以 r为半径作圆，圆周在磁场中所能达到的区域应为 A图阴影区。所以A图正确。题目2如图3所示，有许多电子（每个电子的质量为 m ,电量为e）在xOy平面 内从坐标原点O不断地以相同大小的速度 V。沿不同方向射入第一象限。现加上一个方 向向里垂直于xOy平面、磁感应强度为 B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都 能平行于x轴并向x轴的正方向运动。试求符合该条件的磁场的最小面积。析与解 因为所有电子都在匀强磁场中作半径为

13、r = m vo/B e的匀速圆周运动。而沿y轴的正方向射入的边缘电子需转过 1 /4圆周才能沿 x轴的正方向运动，它的轨迹应为所求最小面积磁场区域的上边界 如图中弧线 a,其圆心在垂直入射速度的 x轴上（ r ， 0）。现设沿与x轴成任意角a （0 a 90 ）射入的电子在动点P离开磁场。这些从 O 点沿不同方向入射的电子做圆周运动的圆心 O到入射点O的距离又都为半径r。所以，O形成一个以入射点 O （即坐标原点）为圆心、r为半径的1 /4圆弧轨迹 如图3中弧线c。根据题目要求，各电子射出磁场时速度 v要为平行x轴的正方向。故由做圆周运动的物体的圆心又应在垂直出射速度的直线上可知，从不同点

14、p射出的电子的圆心O又必在对应出射点 p的正下方，即曲线c上各点到对应正上方出射点 p的距离也都等于r；因此将1 /4圆弧轨迹c沿y轴正向平移距离后 如图中弧线 b,弧线b就是各出射点p的轨迹，它实际是以 。2（0 , r）为圆心，半径为r的1 /4圆弧；既然点p是出射点-即磁场的下边界，故弧线 b应为所求最小面积磁场区域的下边界。所以,所求面积为图中弧线a与b所围阴影面积。由几何得:带电粒子在磁场中的圆周运动”解析2011-12-15 13:58:53| 分类： 高三物理 |字号大中小 订阅处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的 是正确建立完

15、整的物理模型，画岀准确、清晰的运动轨迹。下面我们从基本问题岀发对“带电粒子在磁场 中的圆周运动”进行分类解析。一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆 周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作岀各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径 定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答 物理问题。【例1】图示在y 4 ,由召B 2有 加。2eBL电子发射出的方向不同则其轨道不同， 因而到达MN板的位置不同。由此作出图示的二临界轨迹 凋胡，为卩二 32

16、x10%/ S而向SO的左上方发射。三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极值型问题寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的 极值。【例5】图中半径r = 10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B= 0.33T 垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为 v = 3.2xl06/ 的a粒子； 已知a粒子质量为列=6”6 ，电量3.2x10_9cJ，则a粒子通过磁场空间的最大偏转角9及在磁场中运动的最长时间 t各多少？|a = = 0.2w=2r|分析：a粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动，其运动半

17、径由 定；由于a粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同， 则粒子通过磁场的速度偏向角9不同；要使a粒子在运动中通过磁场区域的偏转角 9最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大；因而圆形磁场区域的直径 OP即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦；故 a粒子从点O入磁场而从 点P出场的轨迹如图圆 O所对应的圆弧示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角 9。由前面计算知厶SO/P必为等边三角形，故 a =30且9 =2 a =60。此过程中粒子在磁场中运动的时间由=Z = 1 = 6.54x106 & 牡 即为粒子在磁场中运动的最长时间。【例6】一质量m带电q的粒子以速度V0从A点沿等边

18、三角形 ABC的AB方向射入强度为B的垂直于 纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞岀磁场后沿 BC射岀，求圆形磁场区域的最小面积。径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线 PQ为直径的圆如图中实线圆所示。由于三角形ABC为【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点 0处，如图所示相同的速率 Vo向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为 m,电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+X方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积分析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 R= mWBe是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图

19、所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O,它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 0为圆心，以R为半径的圆弧 OC2Q。由于要求所有电子均平行于 x轴向右飞岀磁场，故由几何知识有电子的飞岀点必为每条可能轨迹的最高点。 如对图中任一轨迹圆 02而言，要使电子能平行于 x轴向右飞岀磁场，过O作弦的垂线QA,则电子必将从点 A飞出，相当于将此轨迹的圆心 Q沿y方向平移了半径 R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的 圆心组成的圆弧QQQ沿y方向向上平移了半径 R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧QAP示。综上 所述，要求的磁场的最小区域

20、为弧 OAP与弧OBP所围。利用正方形 OGPC的面积减去扇形 OQP的面积即为OBPC勺面积；即R2- n R/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S = 2 (成n R2/4 ) = ( n /2 -1 ) ( mv/Be)2。四、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题抓住多解的产生原因：速度方向的不确定引起的多解，与自然数相关的多解即粒子运动时间与运 动周期的倍数不确定。qBL【例8】在前面“【例4】”中若将档板取走，磁场磁感应强度为 B,当电子以速率城 从点S射出后要击中Q点，则点S处电子的射出方向与 OS的夹角为多少？从 S到点0的时间多少？押 -广二二厶分析：由已知条件知电

21、子圆周运动的半径 ，电子从点S射出后要经过点 0即直线so为圆的一条弦，由图知必有两种运动轨迹存在；由于题中 S0= L = r，故/ OSQ=60 那么电子从点 S的发射速度V的方向与SQ所成的夹角a =30;图中/ QSQi=60,故电子的发射速度 Vi的方向与SQ所成的 夹角 9 =150。【例9】一质量m带电q的粒子以速率 V垂直射入磁感应强度为 B的匀强磁场中，粒子经过一段时间 受到的冲量的大小为 mv,粒子重力不计。则此过程经历的时间为多少?分析：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径，右图示设粒子的初位置为 a，因其受冲量的Pi、P2两个，对应的冲量方向仍有ii、大小为mv而方向未知故

22、必有右图中的两种情况，即未动量的方向有可知12两个。粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为 mv不变，由动量定理5tt a= 6_;故粒子在该过程中经历的时间为逖+1?，其中【例10】在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为 B; 一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 A处射岀；则B必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间？分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动， 要使粒子又从 A处沿半径方向射向磁场,且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子

23、与筒壁的碰撞次数为 n （不含返回A处并从A处射出的一次），由2开1 花住= 二 图可知 ： 1，其中n为大于或等于2的整数（当n = 1时即粒子必沿圆 0的直径作直线水二尸tan必二an 运动，表示此时B= 0）;由图知粒子圆周运动的半径 R为 片+ 1，再由粒子在磁场2 ，竺卅丄中的运动半径 可求出 I/ -r 10 二托 _2&二-7V- ，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过 n+1段圆弧，故粒子巾+1）痔二斗叵函浄五、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的动力学问题注意洛仑兹力不做功，洛仑兹力的方向将随物体的运动方向的变化而发生相应的变化；正确结合变速圆周运动中的动力学关系与

24、能量守恒定律处理【例11】金属小球质量 m带电-q，由长L的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的 0点，然后将小球拉到9 = 600处由静止释放，小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为 0 ;求磁场的磁感应强度 B=?小球住复摆动中悬线上的最大张力多少？分析：小球从点A由静止释放后在绕点 O运动中必同时受到重力、线的拉力及洛仑兹力作用，由左手定则知小球从A向P运动中洛仑兹力方向必沿半径指向圆心，且洛仑兹力对小球不做功；故小球到达小球从右向左运动或从左向右运动中由于所受洛仑兹力的方向将发生变化故悬线上的张力大小将作相应的变化，分析可知当小球从左向右运动经过点 p时线上的张力必有最大值，小球从左向右

25、经过点 pT -f + 到的洛仑兹力方向必沿半径向外，故 P点处线上的张力Tp为 一可得-_ 二 一，二，-丄 二；- - ，L _ 二，-丄，将 及9 = 600代入前式得到I 7总之在处理带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题中，我们必须将物理规律与数学知识紧密结合，准确分析粒子运动过程及临界状态与极值条件；处理带电粒子在磁场中的变速圆周运动问题时，时刻注意洛 仑兹力的方向变化并在解答中注意洛仑兹力不做功，正确利用动力学规律与能量守恒定律。带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析2011-12-14 21:44:40| 分类：高三物理 |字号大中小订阅、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问

26、题找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度， 分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心； 再利用数学知识求出圆周（04天津）钍核运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。丄和乞间电场时，其速度为发生衰变生成镭核丽 皿 并放出一个粒子。设该粒子的质量为 朋、 电荷量为q，它进入电势差为 U的带窄缝的平行平板电极 经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，直平板电极 当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与 0!方位的夹角 ，如图所示，整个装置处于真空中。qvB - w 粒子在磁场中有 .由、得(3)粒子做圆周运动的回旋周期粒子在