这些从O点沿不同方向入射的电子做圆周运动的圆心O'到入射点O的距离又都为半径r。
所以,
O'形成一个以入射点O(即坐标原点)为圆心、r为半径的1/4圆弧轨迹如图3中
弧线c。
根据题目要求,各电子射出磁场时速度v要为平行x轴的正方向。
故由做圆周
运动的物体的圆心又应在垂直出射速度的直线上可知,从不同点p射出的电子的圆心
O'又必在对应出射点p的正下方,即曲线c上各点到对应正上方出射点p的距离也都
等于r;因此将1/4圆弧轨迹c沿y轴正向平移距离后如图中弧线b,弧线b就是
各出射点p的轨迹,它实际是以。
2(0,r)为圆心,半径为r的1/4圆弧;既然点p
是出射点--即磁场的下边界,故弧线b应为所求最小面积磁场区域的下边界。
所以,
所求面积为图中弧线a与b所围阴影面积。
由几何得:
带电粒子在磁场中的圆周运动”解析
2011-12-1513:
58:
53|分类:
高三物理|字号大中小订阅
处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题,其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。
重要的是正确建立完整的物理模型,画岀准确、清晰的运动轨迹。
下面我们从基本问题岀发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别作岀各速度的垂线,则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心;再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外,磁场的磁感应强
度为B;—带正电的粒子以速度V0从0点射入磁场中,入射方向在xy平面内,与x轴正方向的夹角为9;
纟
若粒子射岀磁场的位置与0点的距离为L。
求①该粒子的电荷量和质量比";②粒子在磁场中的运动时间。
分析:
①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转,过0点作速度V。
的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O;由
于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为B,故点P作速度的垂线与点0处速
度垂线的交点即为圆心0(也可以用垂径定理作弦0P的垂直平分线与点0处速度的垂线的交点也为圆心)
L
q2v0sin5
磁场中的运动半径为
故有
2sin5
,解之m
BL\
②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为
故粒子在磁场中的运动时间为
【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为Bi=2B2,现有一质量为m带电+q的粒子从0点以初速度V。
沿垂直于ab方向发射;在图中作岀粒子运动轨迹,并求岀粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点0的距离。
(粒子重力不计)
分析:
粒子在二磁场中的运动半径分别为
齐3网+砒*叱
。
点O与P的距离为
OP=3x2R.=—
“带电粒子在磁场中的圆周运动”的范围型问题
寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R的大小关
系确定范围
【例3】如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图,质量m带电-q的粒子以与
CD成9角的速度Vo垂直射入磁场中;要使粒子必能从EF射出则初速度Vo应满足什么条件?
EF上有粒子射
岀的区域?
分析:
粒子从A点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动,要使粒子必能从EF射岀,则相应的临界
轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图示,作出AP点速度的垂线相交于O即为该临界轨迹的圆心,
由图知粒子不可能从P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出;又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转,故粒子不可能从AG直线上方射岀;由此可见EF中有粒子射岀的区
PG=Rasincot6-+/cot5
域为PG且由图知
1+COS3
【例4】如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360。
范围内向各个方向发射速率相等的质量为m
带电-e的电子,MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离0S=L,档板左侧充满垂直纸面向里的匀强
磁场;①若电子的发射速率为Vo,要使电子一定能经过点0,则磁场的磁感应强度B的条件?
②若磁场的磁感应强度为B,要使S发射岀的电子能到达档板,则电子的发射速率多大?
③若磁场的磁感应强度为B,
从S发射出的电子的速度为聊,则档板上出现电子的范围多大?
分析:
电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动,由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同,导致电子的轨迹不同,分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点0。
①要使电子一定能经过点0,即S0为圆周的一条弦,则电子圆周运动的轨道半径必满足1,由
吧JEW加%
②要使电子从S发岀后能到达档板,则电子至少能到达档板上的0点,故仍有粒子圆周运动半径
1叭、LeBL
sma-—2—>
4,由召B2有加。
2eBL
电子发射出的方向不同则其轨道不同,因而到达MN板的位置不同。
由此作出图示的二临界轨迹凋胡,
为卩二32x10%/S而向SO的左上方发射。
三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极值型问题
寻找产生极值的条件:
①直径是圆的最大弦;②同一圆中大弦对应大的圆心角;③由轨迹确定半径的极值。
【例5】图中半径r=10cm的圆形区域内有匀强磁场,其边界跟y轴在坐标原点O处相切;磁场B=0.33T垂直于纸面向内,在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2xl06^/£的a粒子;已知a粒子质量为列=6”6,电量3.2x10_9cJ,则a粒子通过磁场空间的最大偏转
角9及在磁场中运动的最长时间t各多少?
|a=—=0.2w=2r|
分析:
a粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动,其运动半径由—
定;由于a粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同,则粒子通过磁场的速度偏
向角9不同;要使a粒子在运动中通过磁场区域的偏转角9最大,则必使粒子在磁场中运动经过的弦长
最大;因而圆形磁场区域的直径OP即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦;故a粒子从点O入磁场而从点P出场的轨迹如图圆O所对应的圆弧示,该弧所对的圆心角即为最大偏转角9。
由前面计算知厶SO/P
必为等边三角形,故a=30°且9=2a=60°。
此过程中粒子在磁场中运动的时间由
£=Z=1^=6.54x10^
6&牡即为粒子在磁场中运动的最长时间。
【例6】一质量m带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中,要使该粒子飞岀磁场后沿BC射岀,求圆形磁场区域的最小面积。
径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。
由于三角形ABC为
【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点0处,如图所示相同的速率Vo向第一象限平面内的不同
方向发射电子,已知电子质量为m,电量为e。
欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场
后,都能平行于x轴沿+X方向运动,求该磁场方向和磁场区域的最小面积
分析:
由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R=mWBe是确定的,设磁场区域足够大,作出电子
可能的运动轨道如图所示,因为电子只能向第一象限平面内发射,所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O,它就是磁场的上边界。
其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点0为圆心,以R为半径的圆弧OC2Q。
由于要求所有电子均平行于x轴向右飞岀磁场,故由几何知识有电子的飞岀点必为每条可能轨迹的最高点。
如对图中任一轨迹圆02而言,要使电子能平行于x轴向右飞岀磁场,过O作弦的垂线QA,则电子必将从点A飞出,相当于将此轨迹的圆心Q沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。
由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧QQQ沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧QAP示。
综上所述,要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。
利用正方形OGPC的面积减去扇形OQP的面积即为
OBPC勺面积;即R2-nR/4。
根据几何关系有最小磁场区域的面积为S=2(成nR2/4)=(n/2-1)(mv/Be)
2
。
四、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题
抓住多解的产生原因:
①速度方向的不确定引起的多解,②与自然数相关的多解即粒子运动时间与运动周期的倍数不确定。
qBL
【例8】在前面“【例4】”中若将档板取走,磁场磁感应强度为B,当电子以速率城从点S射出
后要击中Q点,则点S处电子的射出方向与OS的夹角为多少?
从S到点0的时间多少?
押-
广二——二厶
分析:
由已知条件知电子圆周运动的半径,电子从点S射出后要经过点0即直线so为
圆的一条弦,由图知必有两种运动轨迹存在;由于题中S0=L=r,故/OSQ=60°那么电子从点S的发
射速度V的方向与SQ所成的夹角a=30°;图中/QSQi=60°,故电子的发射速度Vi的方向与SQ所成的夹角9=150°。
【例9】一质量m带电q的粒子以速率V垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中,粒子经过一段时间受到的冲量的大小为mv,粒子重力不计。
则此过程经历的时间为多少?
分析:
粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径
,右图示设粒子的初位置为a,因其受冲量的
Pi、P2两个,对应的冲量方向仍有ii、
大小为mv而方向未知故必有右图中的两种情况,即未动量的方向有
可知
12两个。
粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为mv不变,由动量定理
5tta=——6_
;故粒子在该过程中经历的时间为
逖+1
?
,其中
【例10】在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为B;一质量为m带电+q的粒
子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中;若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性
碰撞,欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射岀;则B必须满足什么条件?
带电粒子在磁
场中的运动时间?
分析:
由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动,要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场,
且粒子与筒壁的碰撞次数未知,故设粒子与筒壁的碰撞次数为n(不含返回A处并从A处射出的一次),由
2开1花
住=二
图可知■■:
■1,其中n为大于或等于2的整数(当n=1时即粒子必沿圆0的直径作直线
水二尸tan必二"an
运动,表示此时B=0);由图知粒子圆周运动的半径R为片+1,再由粒子在磁场
2,竺卅丄
中的运动半径可求出I/''■■■-r1
0二托_2&二-―7V
-■,粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧,故粒子
巾+1)痔『二斗叵函浄
五、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的动力学问题
注意洛仑兹力不做功,洛仑兹力的方向将随物体的运动方向的变化而发生相应的变化;正确结合变速
圆周运动中的动力学关系与能量守恒定律处理
【例11】金属小球质量m带电-q,由长L的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的0点,然后将小球拉到
9=600处由静止释放,小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为0;求①磁场的磁感应强度B=?
②小球住复摆动中悬线上的最大张力多少?
分析:
①小球从点A由静止释放后在绕点O运动中必同时受到重力、线的拉力及洛仑兹力作用,由左
手定则知小球从A向P运动中洛仑兹力方向必沿半径指向圆心,且洛仑兹力对小球不做功;故小球到达
②小球从右向左运动或从左向右运动中由于所受洛仑兹力的方向将发生变化故悬线上的张力大小将
作相应的变化,分析可知当小球从左向右运动经过点p时线上的张力必有最大值,小球从左向右经过点p
T-[f+—
到的洛仑兹力方向必沿半径向外,故P点处线上的张力Tp为’'一可得
-_■■二一,二,---丄二;--,L'_•二,---丄,将]及9=600代入前式得
到I7
总之在处理带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题中,我们必须将物理规律与数学知识紧密结合,准
确分析粒子运动过程及临界状态与极值条件;处理带电粒子在磁场中的变速圆周运动问题时,时刻注意洛仑兹力的方向变化并在解答中注意洛仑兹力不做功,正确利用动力学规律与能量守恒定律。
带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析
2011-12-1421:
44:
40|分类:
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、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用
下必作匀速圆周运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别作出各速度的垂线,则二垂线的
交点必为圆心;或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心;再利用数学知识求出圆周
(04天津)钍核「
运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
丄和乞间电场时,其速度为
发生衰变生成镭核丽皿并放出一个粒子。
设该粒子的质量为朋、电荷量为q,它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极经电场加速后,沿…[方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场,
直平板电极当粒子从P点离开磁场时,其速度方向与0!
方位的夹角,如图所
示,整个装置处于真空中。
qvB-w—
粒子在磁场中有’...
由②、③得
(3)粒子做圆周运动的回旋周期
粒子在