最新B偏导数练习总汇总.docx

1、最新B偏导数练习总汇总B偏导数练习总1设有三个正数Skip Record If.，它们的和为12，当它们取何值时，函数Skip Record If.达到最大？解：用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数： Skip Record If.， 2分对该函数求偏导数，得到方程组： Skip Record If. 4分解上面的方程组，得到 Skip Record If. 6分根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解，即Skip Record If.是极大值点，极大值为6912。 8分2. 设Skip Record If.，Skip Record If.具有连续偏导数，证明： Skip Record If.

2、。证明：由于 Skip Record If.Skip Record If. 2分 Skip Record If. 4分所以： Skip Record If. 6分3、设Skip Record If. ，求Skip Record If.解：Skip Record If. 3分 Skip Record If. 6分4. 设Skip Record If.，其中Skip Record If.具有连续的偏导数，求Skip Record If.解：Skip Record If. Skip Record If.； 4分 Skip Record If. Skip Record If.。 8分5在椭球面Skip

3、 Record If.上求到平面Skip Record If.的距离最近的点和最近的距离，最远的点和最远的距离.解： 椭球面Skip Record If.上的点Skip Record If.到平面Skip Record If.的距离 Skip Record If. 2分构造辅助函数Skip Record If.，Skip Record If.分别对Skip Record If.求导数，并令其为零，有 Skip Record If. 4分得到Skip Record If.，代入Skip Record If.，可得驻点Skip Record If. 6分分别求得到平面的距离为Skip Record

4、 If.，由于实际问题中最远和最近距离存在，因此所求最近点为Skip Record If.，最近距离Skip Record If.，最远点为Skip Record If.，最远距离为Skip Record If. 8分6、设Skip Record If.，而Skip Record If.，求Skip Record If.解： Skip Record If. 2分 =Skip Record If. 4分 =Skip Record If. 6分7、求函数Skip Record If.的极值.解：先解方程组Skip Record If. 2分 得驻点Skip Record If. 再求出二阶偏导数：

5、Skip Record If. 4分从而在点（1，0）处Skip Record If.，Skip Record If.，故去的极小值Skip Record If.；在点（1，2）处Skip Record If.，无极值； 6分在点（-3，0）处Skip Record If.，无极值； 在点（-3，2）处Skip Record If.，Skip Record If.，故去的极大值Skip Record If. 8分8、现用铁板做成一个表面积为36的有盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?并求最大体积.解：设长方体水箱的长、宽、高分别为Skip Record If.，则问题就是在约束条件S

6、kip Record If. 下，求函数Skip Record If.的最大值。 2分构造辅助函数Skip Record If. , 对其求Skip Record If.的偏导数，并使之为零，得 4分Skip Record If. 6分由上式得Skip Record If. 代入（1）得 Skip Record If. 这是唯一的极值点，所以最大值为Skip Record If. 8分9、设Skip Record If.，求Skip Record If.解： Skip Record If. 2分 Skip Record If. 4分 Skip Record If. 6分10、已知三角形一条边长

7、为Skip Record If.，其对角为Skip Record If.，利用拉格朗日乘数法求其它两条边的长，使三角形的面积为最大.解：设三角形另两边长分别为Skip Record If.，则问题就是在约束条件Skip Record If. 下，求函数Skip Record If.的最大值。 2分构造辅助函数Skip Record If. , 对其求Skip Record If.的偏导数，并使之为零，得 4分Skip Record If. 6分由上式得Skip Record If. 代入（1）得 Skip Record If. 这是唯一的极值点，所以最大值为Skip Record If. 8分

8、11、设Skip Record If.，求Skip Record If.解：Skip Record If. 3分 Skip Record If. 6分12、求函数Skip Record If.在闭域Skip Record If.上的最小值和最大值. 解：在区域D内，由 Skip Record If.的唯一驻点（1，1），Skip Record If. 2分当x=0时，Skip Record If.；（在点（0，0）及（0，2） 当y=0时，Skip Record If.；（在点（0，0）及（0，Skip Record If.） 4分当x=2时，Skip Record If.；（在点（2，2）及

9、（2，0）当y=2时，Skip Record If.；（在点（2，2）及（0，0） 6分比较得原函数的最大值为5,最小值为-3 。 8分13、将正数30表示成3个正数Skip Record If.之和，试求Skip Record If.各等于多少时，函数Skip Record If.达到最小.解：解：用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数： Skip Record If.， 2分对该函数求偏导数，得到方程组： Skip Record If. 4分解上面的方程组，得到 Skip Record If. 6分根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解. 8分14、求函数极限Skip Record If.

10、解：Skip Record If. 2分 Skip Record If. 4分 Skip Record If. Skip Record If. 6分15、设Skip Record If. ，求Skip Record If.，Skip Record If.解： Skip Record If. 3分 Skip Record If. 6分 16、在椭圆Skip Record If.上求一点，使其到直线2x3y6=0的距离为最近.解：问题就是在约束条件解：设Skip Record If.为椭圆上的任意一点，即有Skip Record If.，P到直线2x + 3y6 = 0的距离为 Skip Reco

11、rd If. 2分作拉格朗日函数 Skip Record If. 4分Skip Record If. 解得 Skip Record If. 6分故Skip Record If.为两个驻点，从而Skip Record If.，又由实际问题可知最短距离存在，因此点Skip Record If.即为所求点. Skip Record If.即为最短距离 8分17、求极限Skip Record If.解：Skip Record If. 2分 Skip Record If. 4分 =-8 6分18、设Skip Record If.，求Skip Record If.解： Skip Record If. 3分

12、 Skip Record If. 6分19、设长方体的表面积为Skip Record If.，求体积最大的长方体，并求最大体积解：设长方体的长宽高分别为。Skip Record If.问题就是在约束条件Skip Record If. 下，求函数Skip Record If.的最大值。 2分构造辅助函数Skip Record If. , 对其求Skip Record If.的偏导数，并使之为零，得 4分Skip Record If. 6分由上式得Skip Record If. 代入（1）得 Skip Record If. 这是唯一的极值点，此时函数达到最大，即为正方体时体积最大 8分20、设Sk

13、ip Record If., 证明: Skip Record If.证：Skip Record If. 2分 Skip Record If. 2分Skip Record If. 6分21、设Skip Record If. 求Skip Record If.解：Skip Record If.，4分 Skip Record If. 5分 Skip Record If. Skip Record If. 6分22、在平面Skip Record If.上求一点，使它与两定点Skip Record If.距离平方和最小。解：设点Skip Record If.在平面上，Skip Record If. 2分令S

14、kip Record If.，分别对Skip Record If.求偏导数，并令其为零，有 Skip Record If. 4分解得Skip Record If.， 6分代入Skip Record If.，求得MSkip Record If. 8分23、设函数Skip Record If.由方程Skip Record If.确定，证明：Skip Record If.证：设Skip Record If.则 2分Skip Record If. 4分 Skip Record If. Skip Record If. 6分24、求Skip Record If.解：Skip Record If. 2分 S

15、kip Record If. 4分 =-2 6分25、已知 Skip Record If.，且 Skip Record If.，求 Skip Record If.解：由Skip Record If.得Skip Record If. 2分 于是Skip Record If.，Skip Record If. 4分 Skip Record If. 6分26、求函数Skip Record If.的极值.解：先解方程组 Skip Record If.求得驻点Skip Record If. 2分 且Skip Record If. 4分 在Skip Record If.处Skip Record If.，此时

16、无极值； 6分 在Skip Record If.，Skip Record If.，函数取得极小值Skip Record If.在Skip Record If.，Skip Record If.，函数取得极大值Skip Record If. 8分27、设Skip Record If.，而Skip Record If.，求Skip Record If. 解： Skip Record If. 2分 Skip Record If. 4分 Skip Record If. 6分28、设Skip Record If.，求Skip Record If.及Skip Record If. 解： 设Skip Reco

17、rd If.，则 2分 Skip Record If. 4分 Skip Record If. 6分29、设有一根长为Skip Record If.的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，设圆形的面积为Skip Record If.，正方形的面积为Skip Record If.，证明： 当Skip Record If.最小时，Skip Record If.证： 设两根铁丝长分别为Skip Record If.（构成圆），Skip Record If.（构成正方形），则 Skip Record If.Skip Record If. 4分 由Skip Record If.得唯一驻点 Skip R

18、ecord If. 6分从而 Skip Record If. 8分30设 Skip Record If.， 求全微分Skip Record If.。解： Skip Record If. 2分Skip Record If. 4分Skip Record If. 31. 求二元函数Skip Record If.的极值.解：由Skip Record If.得方程组 Skip Record If. ，解得Skip Record If. 4分 又由解得Skip Record If. ，故为极小值 6分 将Skip Record If.代入得，Skip Record If. 8分32. 设Skip Reco

19、rd If.，证明Skip Record If.。解: Skip Record If. 2分Skip Record If. 4分代入整理得 Skip Record If.，得证 6分33、设Skip Record If.,求Skip Record If.解： Skip Record If. 3分 Skip Record If. 6分 34、设Skip Record If.,其中Skip Record If.求Skip Record If.解： Skip Record If. 3分Skip Record If. 6分35、讨论函数Skip Record If.的极值.解：由Skip Record

20、 If.得方程组 Skip Record If. ，解得Skip Record If. 4分 又由解得Skip Record If. ，故为极小值 6分 将Skip Record If.代入得，Skip Record If. 8分36、求由方程Skip Record If.所确定的函数Skip Record If.的偏导数Skip Record If.解：有题意 Skip Record If. Skip Record If. 3分Skip Record If. 7分37、设Skip Record If.求Skip Record If.解：Skip Record If.4分 Skip Recor

21、d If. 8分 38、现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?并求最大体积.解：由题意分别设水箱长，宽，高为Skip Record If.则所求即为Skip Record If.，又由Skip Record If.代入得Skip Record If. 2分 对上式求极值Skip Record If.，得Skip Record If. 4分又由Skip Record If.的对称性知Skip Record If. 6分解得Skip Record If.，则Skip Record If. 8分这时Skip Record If. 10分39、设Skip Rec

22、ord If.,求Skip Record If.解： Skip Record If. 3分Skip Record If. 6分 40、讨论函数Skip Record If.的极值.解：由Skip Record If.得方程组 Skip Record If. ，解得Skip Record If. 4分 又由解得Skip Record If. ，故为极小值 将Skip Record If.代入得，Skip Record If. 41、设函数Skip Record If.由方程Skip Record If.=0 确定，且Skip Record If.具有连续的偏导数，证明： Skip Record

23、If.。 令Skip Record If. 2分Skip Record If. Skip Record If. 6分42、设Skip Record If.,求Skip Record If. 解：有题意 Skip Record If. 3分 得：Skip Record If. 6分 43、在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-160三直线的距离平方之和为最小。解：设所求该点为Skip Record If.，直线过点Skip Record If.故所求点到直线距离可以下式计算：Skip Record If. 2分平方和最小，则 Skip Record If.，求出Skip Rec

24、ord If.即所求点为Skip Record If. 8分44、设Skip Record If.可微,证明Skip Record If.解：令Skip Record If. 4分代入左式即Skip Record If.等于右边，得证 45、解：Skip Record If. 1分Skip Record If. Skip Record If. Skip Record If. Skip Record If. 6分46、解： Skip Record If. Skip Record If. 47、解：Skip Record If. 3分Skip Record If. 7分 Skip Record I

25、f. 8分49、解：由Skip Record If. 1分 得 Skip Record If. 2分从而， Skip Record If. 4分又Skip Record If. 6分即 Skip Record If.，由于Skip Record If.所以无极值。 8分50、证明：由于Skip Record If. 2分 显然随着Skip Record If.的值的不同而改变。 4分 故极限Skip Record If.不存在。 51、解：Skip Record If. 2分Skip Record If. 3分Skip Record If. 4分Skip Record If. 5分Skip Record If. 6分52、解： 对方程两端关于Skip Record If.求偏导得：Skip Record If. ，且Skip Record If. 4分 再对上式两端关于Skip Record If.求偏导得： Skip Record If. 7分 从而有Skip Record If. 8分 53.方程 Skip Record If. 确定Skip Record If.，求Skip Record