最新B偏导数练习总汇总.docx
《最新B偏导数练习总汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新B偏导数练习总汇总.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新B偏导数练习总汇总
B偏导数练习总
1．设有三个正数«SkipRecordIf...»，它们的和为12，当它们取何值时，函数«SkipRecordIf...»达到最大？
解：
用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数：
«SkipRecordIf...»，……2分
对该函数求偏导数，得到方程组：
«SkipRecordIf...»……4分
解上面的方程组，得到
«SkipRecordIf...»………6分
根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解，
即«SkipRecordIf...»是极大值点，极大值为6912。
……8分
2.设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»具有连续偏导数，证明：
«SkipRecordIf...»。
证明：
由于
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
所以：
«SkipRecordIf...»……6分
3、设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
4.设«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»具有连续的偏导数，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»
＝«SkipRecordIf...»；……4分
«SkipRecordIf...»
＝«SkipRecordIf...»。
……8分
5．在椭球面«SkipRecordIf...»上求到平面«SkipRecordIf...»的距离最近的点和最近的距离，最远的点和最远的距离.
解：
椭球面«SkipRecordIf...»上的点«SkipRecordIf...»到平面«SkipRecordIf...»的距离
«SkipRecordIf...»……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»分别对«SkipRecordIf...»求导数，并令其为零，有
«SkipRecordIf...»……4分
得到«SkipRecordIf...»，代入«SkipRecordIf...»，可得驻点«SkipRecordIf...»
……6分
分别求得到平面的距离为«SkipRecordIf...»，由于实际问题中最远和最近距离存在，因此所求最近点为«SkipRecordIf...»，最近距离«SkipRecordIf...»，最远点为«SkipRecordIf...»，最远距离为«SkipRecordIf...».……8分
6、设«SkipRecordIf...»，而«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……2分
=«SkipRecordIf...»……4分
=«SkipRecordIf...»……6分
7、求函数«SkipRecordIf...»的极值.
解：
先解方程组
«SkipRecordIf...»……2分
得驻点«SkipRecordIf...»
再求出二阶偏导数：
«SkipRecordIf...»…4分
从而在点（1，0）处«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，故去的极小值«SkipRecordIf...»；
在点（1，2）处«SkipRecordIf...»，无极值；……6分
在点（-3，0）处«SkipRecordIf...»，无极值；
在点（-3，2）处«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，故去的极大值«SkipRecordIf...».
……8分
8、现用铁板做成一个表面积为36的有盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?
并求最大体积.
解：
设长方体水箱的长、宽、高分别为«SkipRecordIf...»，则问题就是在约束条件
«SkipRecordIf...»
下，求函数«SkipRecordIf...»的最大值。
……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,对其求«SkipRecordIf...»的偏导数，并使之为零，得……4分
«SkipRecordIf...»……6分
由上式得«SkipRecordIf...»
代入
（1）得«SkipRecordIf...»
这是唯一的极值点，所以最大值为«SkipRecordIf...».……8分
9、、设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
10、已知三角形一条边长为«SkipRecordIf...»，其对角为«SkipRecordIf...»，利用拉格朗日乘数法求其它两条边的长，使三角形的面积为最大.
解：
设三角形另两边长分别为«SkipRecordIf...»，则问题就是在约束条件
«SkipRecordIf...»
下，求函数«SkipRecordIf...»的最大值。
……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,对其求«SkipRecordIf...»的偏导数，并使之为零，得……4分
«SkipRecordIf...»……6分
由上式得«SkipRecordIf...»
代入
（1）得«SkipRecordIf...»
这是唯一的极值点，所以最大值为«SkipRecordIf...».……8分
11、设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
12、求函数«SkipRecordIf...»在闭域«SkipRecordIf...»上的最小值和最大值.
解：
在区域D内，由
«SkipRecordIf...»的唯一驻点（1，1），«SkipRecordIf...»……2分
当x=0时，«SkipRecordIf...»；（在点（0，0）及（0，2））
当y=0时，«SkipRecordIf...»；（在点（0，0）及（0，«SkipRecordIf...»））……4分
当x=2时，«SkipRecordIf...»；（在点（2，2）及（2，0））
当y=2时，«SkipRecordIf...»；（在点（2，2）及（0，0））……6分
比较得原函数的最大值为5,最小值为-3。
……8分
13、将正数30表示成3个正数«SkipRecordIf...»之和，试求«SkipRecordIf...»各等于多少时，函数«SkipRecordIf...»达到最小.
解：
解：
用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数：
«SkipRecordIf...»，……2分
对该函数求偏导数，得到方程组：
«SkipRecordIf...»……4分
解上面的方程组，得到
«SkipRecordIf...»………6分
根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解.……8分
14、求函数极限«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……6分
15、设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
16、在椭圆«SkipRecordIf...»上求一点，使其到直线2x＋3y－6=0的距离为最近.解：
问题就是在约束条件
解：
设«SkipRecordIf...»为椭圆上的任意一点，即有«SkipRecordIf...»，P到直线2x+3y－6=0的距离为
«SkipRecordIf...» .…2分
作拉格朗日函数
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...».
解得«SkipRecordIf...»……6分
故«SkipRecordIf...»为两个驻点，从而«SkipRecordIf...»，又由实际问题可知最短距离存在，因此点«SkipRecordIf...»即为所求点.«SkipRecordIf...»即为最短距离……8分
17、求极限«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
=-8……6分
18、设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»…6分
19、设长方体的表面积为«SkipRecordIf...»，求体积最大的长方体，并求最大体积
解：
设长方体的长宽高分别为。
«SkipRecordIf...»问题就是在约束条件«SkipRecordIf...»
下，求函数«SkipRecordIf...»的最大值。
……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,对其求«SkipRecordIf...»的偏导数，并使之为零，得……4分
«SkipRecordIf...»……6分
由上式得«SkipRecordIf...»
代入
（1）得«SkipRecordIf...»
这是唯一的极值点，此时函数达到最大，即为正方体时体积最大……8分
20、设«SkipRecordIf...»,证明:
«SkipRecordIf...»
证：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……6分
21、设«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»，……4分
«SkipRecordIf...»……5分
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……6分
22、在平面«SkipRecordIf...»上求一点，使它与两定点«SkipRecordIf...»距离平方和最小。
解：
设点«SkipRecordIf...»在平面上，«SkipRecordIf...»……2分
令«SkipRecordIf...»，分别对«SkipRecordIf...»求偏导数，并令其为零，有
«SkipRecordIf...»……4分
解得«SkipRecordIf...»，……6分
代入«SkipRecordIf...»，求得M«SkipRecordIf...»……8分
23、设函数«SkipRecordIf...»由方程«SkipRecordIf...»确定，证明：
«SkipRecordIf...»
证：
设«SkipRecordIf...»则……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……6分
24、求«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
=-2……6分
25、已知«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解：
由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»……2分
于是«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
26、求函数«SkipRecordIf...»的极值.
解：
先解方程组
«SkipRecordIf...»求得驻点«SkipRecordIf...»……2分
且«SkipRecordIf...»……4分
在«SkipRecordIf...»处«SkipRecordIf...»，此时无极值；……6分
在«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，函数取得极小值«SkipRecordIf...»
在«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，函数取得极大值«SkipRecordIf...»……8分
27、设«SkipRecordIf...»，而«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
28、设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...».
解：
设«SkipRecordIf...»，则……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
29、设有一根长为«SkipRecordIf...»的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，设圆形的面积为«SkipRecordIf...»，正方形的面积为«SkipRecordIf...»，证明：
当«SkipRecordIf...»最小时，«SkipRecordIf...».
证：
设两根铁丝长分别为«SkipRecordIf...»（构成圆），«SkipRecordIf...»（构成正方形），则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……4分
由«SkipRecordIf...»得唯一驻点«SkipRecordIf...»……6分
从而«SkipRecordIf...»……8分
30．设«SkipRecordIf...»，求全微分«SkipRecordIf...»。
解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»
31.求二元函数«SkipRecordIf...»的极值.
解：
由«SkipRecordIf...»得方程组«SkipRecordIf...»，解得«SkipRecordIf...»……4分
又由解得«SkipRecordIf...»，故为极小值……6分
将«SkipRecordIf...»代入得，«SkipRecordIf...»……8分
32.设«SkipRecordIf...»，证明«SkipRecordIf...»。
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
代入整理得«SkipRecordIf...»，得证……6分
33、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
34、设«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
35、讨论函数«SkipRecordIf...»的极值.
解：
由«SkipRecordIf...»得方程组«SkipRecordIf...»，解得«SkipRecordIf...»……4分
又由解得«SkipRecordIf...»，故为极小值……6分
将«SkipRecordIf...»代入得，«SkipRecordIf...»……8分
36、求由方程«SkipRecordIf...»所确定的函数«SkipRecordIf...»的偏导数«SkipRecordIf...».
解：
有题意«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……7分
37、设«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»
……4分
«SkipRecordIf...»……8分
38、现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?
并求最大体积.
解：
由题意分别设水箱长，宽，高为«SkipRecordIf...»
则所求即为«SkipRecordIf...»，又由«SkipRecordIf...»代入
得«SkipRecordIf...»……2分
对上式求极值«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»……4分
又由«SkipRecordIf...»的对称性知«SkipRecordIf...»……6分
解得«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»……8分
这时«SkipRecordIf...»……10分
39、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解：
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
40、讨论函数«SkipRecordIf...»的极值.
解：
由«SkipRecordIf...»得方程组«SkipRecordIf...»，解得«SkipRecordIf...»……4分
又由解得«SkipRecordIf...»，故为极小值
将«SkipRecordIf...»代入得，«SkipRecordIf...»
41、设函数«SkipRecordIf...»由方程«SkipRecordIf...»=0确定，且«SkipRecordIf...»具有连续的偏导数，证明：
«SkipRecordIf...»。
令«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……6分
42、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解：
有题意«SkipRecordIf...»……3分
得：
«SkipRecordIf...»……6分
43、在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-16＝0三直线的距离平方之和为最小。
解：
设所求该点为«SkipRecordIf...»，直线过点«SkipRecordIf...»
故所求点到直线距离可以下式计算：
«SkipRecordIf...»……2分
平方和最小，则«SkipRecordIf...»，求出«SkipRecordIf...»即所求点为«SkipRecordIf...»……8分
44、设«SkipRecordIf...»可微,证明«SkipRecordIf...».
解：
令«SkipRecordIf...»……4分
代入左式即«SkipRecordIf...»等于右边，得证
45、解：
«SkipRecordIf...»……1分
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……6分
46、解：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
47、解：
«SkipRecordIf...» ……3分
«SkipRecordIf...»……7分
«SkipRecordIf...»……8分
49、解：
由«SkipRecordIf...» ……1分
得«SkipRecordIf...»……2分
从而，«SkipRecordIf...»…4分
又«SkipRecordIf...»……6分
即«SkipRecordIf...»，由于«SkipRecordIf...»
所以无极值。
……8分
50、证明：
由于«SkipRecordIf...»……2分
显然随着«SkipRecordIf...»的值的不同而改变。
……4分
故极限«SkipRecordIf...»不存在。
51、解：
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……5分
«SkipRecordIf...»……6分
52、解：
对方程两端关于«SkipRecordIf...»求偏导得：
«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»……4分
再对上式两端关于«SkipRecordIf...»求偏导得：
«SkipRecordIf...»……7分
从而有«SkipRecordIf...»……8分
53.方程«SkipRecordIf...»确定«SkipRecordIf...»，求«SkipRecord
升级会员 