Mathematica语言.docx

1、Mathematica语言附录 Mathematica 软件简介Mathematica是一个功能强大的数学软件.它集数值计算、符号运算,绘图功能于一身,堪称众多数学软件中的佼佼者.加之其语法规则简单,操作使用方便,深受广大科技工作者的喜爱,得到广泛的使用.数学函数和常数 Mathematica提供了大量的数学函数，给运算带来很大方便下面列出一些常用的函数 函 数 形 式功 能Sqrtx平方根Expx指数函数exLogx,Logb,x对数函数Lnx,LogbxSinx,Cosx,Tanx三角函数ArcSinx, ArcCosx, ArcTanx反三角函数Sinhx,Coshx,Tanhx双曲函数

2、n!,n!阶乘,双阶乘Binomialn,m组合数CnmAbsx绝对值Signx符号Roundx四舍五入取整Floorx取不超过x的最大整数Modn,mn/m的余数Random，RandomInteger,m,n，RandomReal,a,b，均匀分布随机数Maxx,y,Minx,y,最大值，最小值Sumai,i,imin,imax,求和Productai, i,imin,imax求积Absz,Argz模，辐角Rez,Imz实部，虚部Conjugatez共轭复数注： Mithematica提供的函数，其名称中的字母大小写是固定的（特别开头字母均为大写），不得误用；函数的自变量以方括号 括起来

3、Mathemaica还提供了许多数学常数，下面列出了一些常数（均以大写字母开头） Pi -; E-e I-; Infinity- 函数和常数均可参与运算，下面是一些运算的例子 In l： Pi2 Out 12 In2：N Pi,11 Out23.1415626535 In3：LogE8 Out38 In4：SinSqrt1/6 Out4=1/2 用户不仅可以使用Mathemaica提供的函数和常数，还可以自定义函数和常数方法如下： 形式功能 fx_:= expr-定义函数 f fx_,y_:=exp r-定义多变量的函数f ？f-显示函数的定义 Clearf-清除 f的定义 xvalue-给变

4、量x赋值 x清除变量x的值注：定义函数时，在等式左端的方括号中的变量必须跟随下到线符号“”；定义的函数或变量的名称不要使用大写字母开头，以免和Mathemaica的函数或常数混淆例： In1：fx_:=x5；fx_,y_:=Sqrtx2+y2；z3；其中输入语句后的分号“；”表示不显示输出结果，定义了函数、变量以后，便可以在运算中使用 In4：f2 Out4=32In5：f1+bOut5=(1+b)2In6：gz,4 Out6=5 如果忘记了已定义的函数的容，可以使用？f查询f的定义当函数或变量使用完以后，最好将其清除，以免带来麻烦 3符号运算 符号运算即代数式的运算它是Mathemaica的

5、重要功能下面简介符号运算的主要功能 （1）符号赋值 Mathemaica不仅可以把一个常值赋给一个符号，还可以把一个表达式赋给一个符号其规则如下： xvalue-将value赋给x x-清除赋给x的值 expr/.x- value -用value 替换expr中的x expr/.x-xvalue,y-yvalue-用xvalue,yvalue分别替换expr中的x,y. 例： In1：tlx Out11+x In2： l- t 2 Out21-(1+x)2 In3：t Out31-(1+x)2 In4：l- t 2 Out41-t2 In5：%2/.x-2Out5-8（2）代数式变换 Math

6、ernatica提供了许多进行代数式变换的一些函数，下面列出常用的函数 Expandexpr-展开expr ExpandAllexpr-展开expr的分子、分母 Factorexpr-对expr进行因式分解 Togetherexpr-对expr进行通分 Apartexpr-将 expr分解为简单分式 Cancelexpr-消去exp r的分子、分母的公因式 Simplifyexpr-把expr化为最少项形式 例： In1：t=(x-1)2(2+x)/(1+x)(x-3)2)， In2：Expandt （展开分子，分母不变） In3：ExpandAllt （展开分子、分母） In4：=Toget

7、her （通分） In5：Apart （化为部分分式） In6：Factor% （分解因式） In7：Simplify%5 (将表达式化简) 除了上述常用的变换外，Mathematica还可以进行许多种类型的变换下面再看一些例子In8：Expand2Cosx3*Sin2x2, Trig-True （展开三角函数） Out8：In9：Factor%,Trig-TrueOut9=8 Cosx5Sinx2In10:=ComplexExpandSinx+y*I （展开复函数） Out10：CoshySinx+ICosxSinyIn11：s=Expand(x+y)3；In12：Coefficients,

8、x2 (取出s中x2项的系数)Out12=3y In13：=Numerator%1 (取出%1中的分子)Out13=(-1+x)2(2+x)In14：=Denominator%1 (取出%1中的分母)Out14=(-3+x)2(1+x)Mathematica还允许用户自己定义变换规则，例如： In15：mysin=Sin2*x_-2SinxCosx； In16：Sin2*(x+y)2/.mysin Out16=2Cos(x+ y)2Sin(x+ y)2 总之Mathematica进行变换的功能是非常强的（3）解方程 Mathematica可以用多种方法求解符号方程下面列出主要的解法： Solv

9、eequ,vars-求方程的一般解 Reduceequ,vars-求方程的全部解 NSolveequ,vars-求方程的数值解 FindRootequ,x,a-求方程在 a附近的数值解其中，equ是待求解的方程，var是未知量例 In1:=Solvea*x+b=0,x注：方程中，等号必须用“= =”Out1=x-b/aIn2:=Reducea*x+b=0,xOut2=a = 0 & b = 0 | x =-b/a & a != 0使用Reduce给出了a!=0时的解和a=0,b=0时的解，（此时x为任意值） 对四次及四次以下的代数方程， Mathematica总能给精确解四次以上的方程，若能分

10、解因式，亦可给出精确解 In3：=Solvex3+3x2+ 3x+ 2= 0，x Out3= 当求不出精确解时，Mathemaica以符号形式给出结果 In4：=x5+5x+10； In5：=Solve4，x Out5=上述方程求不出精确解，此时可求数值解In6：=NSolve4，xOut6= 如果要求在某点附近的数值解，使用FindRoot In7：FindRootx*Sinx=1/2,x,1 Out7x-0.740841使用 Solve还可以求解方程组 1n8：=Solvex2+y2=1,x+y=a,x,yOut8三 微积分进行高等数学中的各种运算是Mathematica的主要功能Math

11、ematica可进行微积分、线性代数和工程数学中的许多运算特别是其符号运算能力，令人惊叹现在Mathematica已受到越来越多科技工作者的欢迎和使用。1极限、微分和积分 微积分等主要运算：例 In1:=DSinx2,xOut1=2xCosx2In2:=Dxn,x,3Out2= In3:=Dy3*Logx+y,x,yOut3= 也可以求出抽象函数的导数In4:=Dx*fx5,xOut4= 求不定积分，对Mathematica而言易如反掌In5:=Integrate1/(x4-1),xOut5= 可以验证In6:=SimplifyD%,xOut6= 求定积分In7:= IntegrateLogx

12、,x,a,bOut7=a-b-aLoga+bLogb 也可以通过File-Palettes-BasicCalculations输入In8:= Out8=a-b-aLoga+bLogbIn9:= Integratex*x+y*y,x,0,1,y,0,Sqrt1-x*xOut9=2. 函数的幂级数展开Mathematica作幂级数展开可达到任意精度。进行幂级数展开，使用下述函数：Seriesexpr,x,x0,n- expr在x=x0点的n阶幂级数展开式Normalseries-去掉展开式的余项例In1:=SeriesLog1+x,x,0,5Out1= In2:= Normal%Out2=抽象函数

13、展开In3:=Seriesfx,x,0,4Out3=3微分方程求解微分方程与代数方程类似,导数用单引号表示DSolveequ,yx,x-解yx的微分方程DSolveequ,xt,yt,t-解自变量为t的微分方程组例 In1:= DSolveyx=a*yx, yx,xOut1=如给出初始条件，就明确了待定常数In2:= DSolveyx=a*yx,y0=2, yx,xOut2= In3:= DSolvey”x+yx=1,y0=2,y0=5, yx,xOut3= In4:= DSolveyt=xt,xt=yt,x0=1,y0=2, xt,yt,tOut4= 四 线性代数1构造矩阵a11,a1n,a

14、21,a2n,am1,amn-构造mn矩阵Tablefi,j,i,m,j,n-构造mn矩阵Arrayf,m,n-以fi,j为元素，构造mn矩阵DiagonalMatrixa1,a2,an-构造n阶对角矩阵IdentityMatrixn -构造n阶单位矩阵TableIfi=j,fi,j,0,i,m,j,n-构造下三角矩阵mi,j-取矩阵m的元素m(i,j)mi-取矩阵m的第i行Transposemk -取矩阵m的第k列例 In1:=a,b,c,d Out1= a,b,c,d如果希望得到矩阵形式，可使用函数MatrixFormIn2:=MatrixForm% Out2=/ MatrixForm=I

15、n3:=Table3*(i-1)+j,i,3,j,3Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9In4:= MatrixFormDiagonalMatrixa,b,cOut4=/ MatrixForm=In5:=p=Arraya,2,3Out5= 取出第2行In6:=p2Out6=a2,1,a2,2,a2,3取出第3列In7:= Transposep3Out7=a1,3,a2,32矩阵运算Mathematica可进行矩阵的各种运算,如矩阵求逆、矩阵的转置、矩阵与向量的乘法等.下面列出主要的运算.记k为常数,u,v为向量,A,B为矩阵k*A-常数乘矩阵k+u-向量u的每一个元素加上ku+v-向量

16、的对应元素相加u.v-向量的积u*v-向量的对应元素相乘A.u-矩阵乘向量u.A-向量乘矩阵A.B-矩阵乘矩阵MatrixPowerA,n -矩阵乘幂TransposeA-求矩阵A的转置阵InverseA-求矩阵A的逆矩阵DetA-求矩阵A的行列式EigenvaluesA-求数字阵A的特征值EigentvectorsA-求数字阵A的特征向量LinearSolveA,v-求解线性方程组Ax=vChop%n-舍去第n个输出中无实际意义小量矩阵可以左乘以向量或右乘以向量, Mathematica也不区分“行”,或“列”向量,自动进行可能的运算.例:In1:=A=a,b,c,d; v=x,y;In2:

17、=A.v (A左乘以v)Out2=ax+by,cx+dyIn3:=v.A (A右乘以v)Out3=ax+cy,bx+dyIn4:=InverseAOut4= 如果矩阵的元素是近似数，则求出的逆矩阵也是近似的。In5:=B=1.2,5.7,4.2,5.6; InverseBOut5=In6:=%.BOut6= 结果与单位矩阵有微小误差，用函数Chop消去无实际意义小量In7:=Chop%Out7=1.,0,0,1.前面已介绍了用Solve解线性方程组，但对于矩阵形式Ax=v的线性方程组，用LinearSolveA,v更方便.In8:=M=2,1,1,4; LinearSolveM,a,bOut8

18、=五 数据拟合与优化1数据拟合Fitdata,funs,vars-用变量为vars,函数为funs，按最小二乘法拟合一组数据dataInterpolatingPolynomialx1,f1,x2,f2,x-多项式插值例In1:=d1=TableExp-x/2.,x,8 (生成一个数据表)Out1= In2:=Fitd1,1,x,x2,x3,x (用三次多项式拟合)Out2=In3:= Fitd1,Sinx,Exp-x/2,x （用三角函数与指数函数拟合）Out3= In4:=Chop%Out4= In5:=d2=FlattenTablex,y,1-2x+x*y+y2,x,2,5,y,10,15

19、,1 (生成一个二元数据表，即一串三维点)Out5= In6:=Fitd2,1,x,y,x*y,y2,x,y （二元函数拟合）Out6= In7:=Chop%Out7=In8:= d5=0,2.5,0.5,2.1,1.,2.8,1.5,3.2;InterpolatingPolynomiald5,xOut8= 2优化FindMinimumf,x,x0-从x=x0始，求一元函数f的局部极小值FindMinimumf,x,x0,x1-从x0,x1始，求一元函数f的局部极小值FindMinimumf,x,x0,y,y0,- 从点（x0，y0,）始，求多元函数f的局部极小值ConstrainedMinf

20、,inequalities,x,y,，求线性不等式约束下的f最小值,假定变量非负ConstrainedMaxf,inequalities,x,y,，求线性不等式约束下的f最大值,假定变量非负LinearProgrammingc,A,b-求解线性规划mincx|Ax=b,x=0例In1:= FindMinimumx4+3x2*y+5y2+x+y,x,0.1,y,0.2Out1= In2:= ConstrainedMax17x-20y+18z,x-y+z=15,x5,x+yPointSize0.02,RGBColor0,0,1,DisplayFunction Identity;pt1=ListPlotdata1,PlotJoined-True,PlotStyle-RGBColor0,0,1,DisplayFunction Identity;data2=1.2,5.8,1.8,5.6,2.7,7.9,3.8,8,4.5,4;pd2=ListPlotdata2,PlotStyle-PointSize0.02,RGBColor0,1,0.5,DisplayFunc