Mathematica语言.docx
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Mathematica语言
附录Mathematica软件简介
Mathematica是一个功能强大的数学软件.它集数值计算、符号运算,绘图功能于一身,堪称众多数学软件中的佼佼者.加之其语法规则简单,操作使用方便,深受广大科技工作者的喜爱,得到广泛的使用.
数学函数和常数
Mathematica提供了大量的数学函数，给运算带来很大方便．
下面列出一些常用的函数．
函数形式
功能
Sqrt[x]
平方根
Exp[x]
指数函数ex
Log[x],Log[b,x]
对数函数Lnx,Logbx
Sin[x],Cos[x],Tan[x]
三角函数
ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x]
反三角函数
Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x]
双曲函数
n!
n!
!
阶乘,双阶乘
Binomial[n,m]
组合数Cnm
Abs[x]
绝对值
Sign[x]
符号
Round[x]
四舍五入取整
Floor[x]
取不超过x的最大整数
Mod[n,m]
n/m的余数
Random[]，Random[Integer,{m,n}]，Random[Real,{a,b}]，
均匀分布随机数
Max[x,y,…],Min[x,y,…]
最大值，最小值
Sum[ai,{i,imin,imax}],
求和
Product[ai,{i,imin,imax}]
求积
Abs[z],Arg[z]
模，辐角
Re[z],Im[z]
实部，虚部
Conjugate[z]
共轭复数
注：
Mithematica提供的函数，其名称中的字母大小写是固定的（特别开头字母均为大写），不得误用；函数的自变量以方括号[]括起来．
Mathemaica还提供了许多数学常数，下面列出了一些常数（均以大写字母开头）．
Pi-------------------π;E---------------------e
I----------------------
;Infinity--------------∞
函数和常数均可参与运算，下面是一些运算的例子．
In[l]：
＝Pi^2
Out[1]＝π2
In[2]：
＝N[Pi,11]
Out[2]＝3.1415626535
In[3]：
＝Log[E^8]
Out[3]＝8
In[4]：
＝Sin[Sqrt[％1]/6]
Out[4]=1/2
用户不仅可以使用Mathemaica提供的函数和常数，还可以自定义函数和常数．方法如下：
形式功能
f[x_]:
=expr-------------定义函数f
f[x_,y_]:
=expr-----------定义多变量的函数f
？
f------------------------显示函数的定义
Clear[f]-----------------清除f的定义
x＝value-------------给变量x赋值
x＝．清除变量x的值
注：
定义函数时，在等式左端的方括号中的变量必须跟随下到线符号“＿”；定义的函数或变量的名称不要使用大写字母开头，以免和Mathemaica的函数或常数混淆．
例：
In[1]：
＝f[x_]:
=x^5；f[x_,y_]:
=Sqrt[x^2+y^2］；z＝3；
其中输入语句后的分号“；”表示不显示输出结果，定义了函数、变量以后，便可以在运算中使用．
In[4]：
＝f[2]
Out[4]=32
In[5]：
＝f[1+b]
Out[5]=（1+b）2
In[6]：
＝g[z,4]
Out[6]=5
如果忘记了已定义的函数的容，可以使用？
f查询f的定义．当函数或变量使用完以后，最好将其清除，以免带来麻烦．
3．符号运算
符号运算即代数式的运算．它是Mathemaica的重要功能．下面简介符号运算的主要功能．
（1）符号赋值
Mathemaica不仅可以把一个常值赋给一个符号，还可以把一个表达式赋给一个符号．其规则如下：
x＝value--------------------将value赋给x
x＝．-----------------------清除赋给x的值
expr/.x->value-------------用value替换expr中的x
expr/.{x->xvalue,y->yvalue}----------用xvalue,yvalue分别替换expr中的x,y.
例：
In[1]：
＝t＝l＋x
Out[1]＝1+x
In[2]：
＝l-t^2
Out[2]＝1-（1+x）2
In[3]：
＝t＝．
Out[3]＝1-（1+x）2
In[4]：
＝l-t^2
Out[4]＝1-t2
In[5]：
＝%2/.x->2
Out[5]＝-8
（2）代数式变换
Mathernatica提供了许多进行代数式变换的一些函数，下面列出常用的函数．
Expand[expr]-----------------------展开expr
ExpandAll[expr]--------------------展开expr的分子、分母
Factor[expr]-------------------------对expr进行因式分解
Together[expr]----------------------对expr进行通分
Apart［expr］---------------------将expr分解为简单分式
Cancel[expr]----------------------消去expr的分子、分母的公因式
Simplify[expr]--------------------把expr化为最少项形式
例：
In[1]：
＝t=（x-1）^2（2+x）/（（1+x）（x-3）^2），
In[2]：
＝Expand[t]（展开分子，分母不变）
In[3]：
＝ExpandAll[t]（展开分子、分母）
In[4]：
=Together[％]（通分）
In[5]：
＝Apart[％]（化为部分分式）
In[6]：
＝Factor[%]（分解因式）
In[7]：
＝Simplify[%5]（将表达式化简）
除了上述常用的变换外，Mathematica还可以进行许多种类型的变换．下面再看一些例子．
In[8]：
＝Expand[2Cos[x]^3*Sin[2x]^2,Trig->True]（展开三角函数）
Out[8]：
＝
In[9]：
＝Factor[%,Trig->True]
Out[9]=8Cos[x]5Sin[x]2
In[10]:
=ComplexExpand[Sin[x+y*I]]（展开复函数）
Out[10]：
＝Cosh[y]Sin[x]+ICos[x]Sin[y]
In[11]：
＝s=Expand[（x+y）^3]；
In[12]：
＝Coefficient[s,x^2]（取出s中x^2项的系数）
Out[12]=3y
In[13]：
=Numerator[%1]（取出%1中的分子）
Out[13]=（-1+x）2（2+x）
In[14]：
=Denominator[%1]（取出%1中的分母）
Out[14]=（-3+x）2（1+x）
Mathematica还允许用户自己定义变换规则，例如：
In[15]：
＝mysin=Sin[2*x_]->2Sin[x]Cos[x]；
In[16]：
＝Sin[2*（x+y）^2]/.mysin
Out[16]=2Cos[（x+y）2]Sin[（x+y）2]
总之Mathematica进行变换的功能是非常强的．
（3）解方程
Mathematica可以用多种方法求解符号方程．下面列出主要的解法：
Solve[equ,vars]-------------------求方程的一般解
Reduce[equ,vars]-----------------求方程的全部解
NSolve[equ,vars]----------------求方程的数值解
FindRoot[equ,{x,a}]--------------求方程在a附近的数值解
其中，equ是待求解的方程，var是未知量．
例In[1]:
=Solve[a*x+b==0,x]
注：
方程中，等号必须用“==”
Out[1]={{x->-b/a}}
In[2]:
=Reduce[a*x+b==0,x]
Out[2]=a==0&&b==0||x==-b/a&&a!
=0
使用Reduce给出了a!
=0时的解和a=0,b=0时的解，（此时x为任意值）．
对四次及四次以下的代数方程，Mathematica总能给精确解．四次以上的方程，若能分解因式，亦可给出精确解．
In[3]：
=Solve[x^3+3x^2+3x+2==0，x]
Out[3]=
当求不出精确解时，Mathemaica以符号形式给出结果
In[4]：
=x^5+5x+1＝＝0；
In[5]：
=Solve[％4，x]
Out[5]=
上述方程求不出精确解，此时可求数值解．
In[6]：
=NSolve[％4，x]
Out[6]=
如果要求在某点附近的数值解，使用FindRoot
In[7]：
＝FindRoot[x*Sin[x]==1/2,{x,1}]
Out[7]＝{x->0.740841}
使用Solve还可以求解方程组．
1n[8]：
=Solve[{x^2+y^2==1,x+y==a},{x,y}]
Out[8]＝
三微积分
进行高等数学中的各种运算是Mathematica的主要功能．Mathematica可进行微积分、线性代数和工程数学中的许多运算．特别是其符号运算能力，令人惊叹．现在Mathematica已受到越来越多科技工作者的欢迎和使用。
1．极限、微分和积分
微积分等主要运算：
例In[1]:
=D[Sin[x^2],x]
Out[1]=2xCos[x2]
In[2]:
=D[x^n,{x,3}]
Out[2]=
In[3]:
=D[y^3*Log[x+y],x,y]
Out[3]=
也可以求出抽象函数的导数
In[4]:
=D[x*f[x^5],x]
Out[4]=
求不定积分，对Mathematica而言易如反掌
In[5]:
=Integrate[1/（x^4-1）,x]
Out[5]=
可以验证
In[6]:
=Simplify[D[%,x]]
Out[6]=
求定积分
In[7]:
=Integrate[Log[x],{x,a,b}]
Out[7]=a-b-aLog[a]+bLog[b]
也可以通过File->Palettes->BasicCalculations输入
In[8]:
=
Out[8]=a-b-aLog[a]+bLog[b]
In[9]:
=Integrate[x*x+y*y,{x,0,1},{y,0,Sqrt[1-x*x]}]
Out[9]=
2.函数的幂级数展开
Mathematica作幂级数展开可达到任意精度。
进行幂级数展开，使用下述函数：
Series[expr,{x,x0,n}]-------------expr在x=x0点的n阶幂级数展开式
Normal[series]---------------------去掉展开式的余项
例
In[1]:
=Series[Log[1+x],{x,0,5}]
Out[1]=
In[2:
=Normal[%]
Out[2]=
抽象函数展开
In[3]:
=Series[f[x],{x,0,4}]
Out[3]=
3．微分方程
求解微分方程与代数方程类似,导数用单引号表示
DSolve[equ,y[x],x]----------------------解y[x]的微分方程
DSolve[equ,{x[t],y[t]},t]---------------解自变量为t的微分方程组
例
In[1]:
=DSolve[y’[x]==a*y[x],y[x],x]
Out[1]=
如给出初始条件，就明确了待定常数
In[2]:
=DSolve[{y’[x]==a*y[x],y[0]==2},y[x],x]
Out[2]=
In[3]:
=DSolve[{y”[x]+y[x]==1,y[0]==2,y’[0]==5},y[x],x]
Out[3]=
In[4]:
=DSolve[{y’[t]==x[t],x’[t]==y[t],x[0]==1,y[0]==2},{x[t],y[t]},t]
Out[4]=
四线性代数
1．构造矩阵
{{a11,…,a1n},{a21,…,a2n},…,{am1,…,amn}}---------构造m×n矩阵
Table[f[i,j],{i,m},{j,n}]--------------------------------构造m×n矩阵
Array[f,{m,n}]---------------------以f[i,j]为元素，构造m×n矩阵
DiagonalMatrix[{a1,a2,…,an}]---------------------构造n阶对角矩阵
IdentityMatrix[n]-----------------------------------构造n阶单位矩阵
Table[If[i>=j,f[i,j],0],{i,m},{j,n}]-------------------构造下三角矩阵
m[[i,j]]---------------------------------------------取矩阵m的元素m（i,j）
m[[i]]---------------------------------------------取矩阵m的第i行
Transpose[m][[k]]------------------------------取矩阵m的第k列
例In[1]:
={{a,b},{c,d}}
Out[1]={{a,b},{c,d}}
如果希望得到矩阵形式，可使用函数MatrixForm
In[2]:
=MatrixForm[%]
Out[2]=//MatrixForm=
In[3]:
=Table[3*（i-1）+j,{i,3},{j,3}]
Out[3]={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}
In[4]:
=MatrixForm[DiagonalMatrix[{a,b,c}]]
Out[4]=//MatrixForm=
In[5]:
=p=Array[a,{2,3}]
Out[5]=
取出第2行
In[6]:
=p[[2]]
Out[6]={a[2,1],a[2,2],a[2,3]}
取出第3列
In[7]:
=Transpose[p][[3]]
Out[7]={a[1,3],a[2,3]}
2．矩阵运算
Mathematica可进行矩阵的各种运算,如矩阵求逆、矩阵的转置、矩阵与向量的乘法等.下面列出主要的运算.记k为常数,u,v为向量,A,B为矩阵
k*A------------------------常数乘矩阵
k+u-----------------------向量u的每一个元素加上k
u+v----------------------向量的对应元素相加
u.v-----------------------向量的积
u*v-----------------------向量的对应元素相乘
A.u---------------------矩阵乘向量
u.A-----------------------向量乘矩阵
A.B--------------------------矩阵乘矩阵
MatrixPower[A,n]---------------矩阵乘幂
Transpose[A]-----------------求矩阵A的转置阵
Inverse[A]--------------------求矩阵A的逆矩阵
Det[A]-------------------------求矩阵A的行列式
Eigenvalues[A]-----------------求数字阵A的特征值
Eigentvectors[A]---------------求数字阵A的特征向量
LinearSolve[A,v]---------------求解线性方程组Ax=v
Chop[%n]-------------------舍去第n个输出中无实际意义小量
矩阵可以左乘以向量或右乘以向量,Mathematica也不区分“行”,或“列”向量,自动进行可能的运算.
例:
In[1]:
=A={{a,b},{c,d}};v={x,y};
In[2]:
=A.v（A左乘以v）
Out[2]={ax+by,cx+dy}
In[3]:
=v.A（A右乘以v）
Out[3]={ax+cy,bx+dy}
In[4]:
=Inverse[A]
Out[4]=
如果矩阵的元素是近似数，则求出的逆矩阵也是近似的。
In[5]:
=B={{1.2,5.7},{4.2,5.6}};Inverse[B]
Out[5]=
In[6]:
=%.B
Out[6]=
结果与单位矩阵有微小误差，用函数Chop消去无实际意义小量
In[7]:
=Chop[%]
Out[7]={{1.,0},{0,1.}}
前面已介绍了用Solve解线性方程组，但对于矩阵形式Ax=v的线性方程组，用
LinearSolve[A,v]更方便.
In[8]:
=M={{2,1},{1,4}};LinearSolve[M,{a,b}]
Out[8]=
五数据拟合与优化
1．数据拟合
Fit[data,funs,vars]--------用变量为vars,函数为funs，按最小二乘法拟合一组数据data
InterpolatingPolynomial[{{x1,f1},{x2,f2},…,},x]-----------------多项式插值
例
In[1]:
=d1=Table[Exp[-x/2.],{x,8}]（生成一个数据表）
Out[1]=
In[2]:
=Fit[d1,{1,x,x^2,x^3},x]（用三次多项式拟合）
Out[2]=
In[3]:
=Fit[d1,{Sin[x],Exp[-x/2]},x]（用三角函数与指数函数拟合）
Out[3]=
In[4]:
=Chop[%]
Out[4]=
In[5]:
=d2=Flatten[Table[{x,y,1-2x+x*y+y^2},{x,2,5},{y,10,15}],1]（生成一个二元数据表，即一串三维点）
Out[5]=
In[6]:
=Fit[d2,{1,x,y,x*y,y^2},{x,y}]（二元函数拟合）
Out[6]=
In[7]:
=Chop[%]
Out[7]=
In[8]:
=d5={{0,2.5},{0.5,2.1},{1.,2.8},{1.5,3.2}};InterpolatingPolynomial[d5,x]
Out[8]=
2．优化
FindMinimum[f,{x,x0}]----------------------------从x=x0始，求一元函数f的局部极小值
FindMinimum[f,{x,{x0,x1}}-----------------------从x0,x1始，求一元函数f的局部极小值
FindMinimum[f,{x,x0},{y,y0},…]----从点（x0，y0,…）始，求多元函数f的局部极小值
ConstrainedMin[f,{inequalities},{x,y,…}]，求线性不等式约束下的f最小值,假定变量非负
ConstrainedMax[f,{inequalities},{x,y,…}]，求线性不等式约束下的f最大值,假定变量非负
LinearProgramming[c,A,b]-------------求解线性规划min{cx|Ax>=b,x>=0}
例
In[1]:
=FindMinimum[x^4+3x^2*y+5y^2+x+y,{x,0.1},{y,0.2}]
Out[1]=
In[2]:
=ConstrainedMax[17x-20y+18z,{x-y+z<=15,x<5,x+y<10},{x,y,z}]
Out[2]=
In[3]:
=
Out[3]={6,4}
六绘图与声音
1．平面图形
Plot[f,{x,xmin,xmax}]------------------画一元函数在围[xmin,xmax]的图形
Plot[{f,g,…}{x,xmin,xmax}]------------画多个一元函数在围[xmin,xmax]的图形
ListPlot[{y1,y2,y3,…}]------------画数据表{y1,y2,y3,…}的散点图，自变量为1，2，3…
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}]----------------画数据表{{x1,y1},{x2,y2},…}的散点图
ParametricPlot[{fx,fy},{t,min,max}]--------------------------画参数方程的图
ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy}},{t,min,max}]-------------画多个参数方程的图
Show[p1,p2,p3]-----------------------把图形p1,p2,p3重叠在一起
ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]---------------画f（x,y）的等高线图
ListContourPlot[array]---------------------------------画三元数组的等高线图
例绘散点图
In[1]:
=ListPlot[{{2,5},{5,8},{7,8},{9,7}},PlotStyle{PointSize[0.04],RGBColor[0,0,1]}]
例绘散点连线图（同图多线）
data1={{1.2,3.5},{1.6,4.6},{2.5,6.9},{3.5,7.8}};
pd1=ListPlot[data1,PlotStyle->{PointSize[0.02],RGBColor[0,0,1]},DisplayFunctionIdentity];
pt1=ListPlot[data1,PlotJoined->True,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]},DisplayFunctionIdentity];
data2={{1.2,5.8},{1.8,5.6},{2.7,7.9},{3.8,8},{4.5,4}};
pd2=ListPlot[data2,PlotStyle->{PointSize[0.02],RGBColor[0,1,0.5]},DisplayFunc
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