完整版点集拓扑学试题含答案.docx

1、完整版点集拓扑学试题含答案点集拓扑学练习题一、单项选择题每题1分1、X =a,b,c,d,e,以下集族中,是X上的拓扑. T =X*,a, a,b, a,c,e T =X,*,a,b,c, a,b,d, a,b,c,e T =X,屯a, a,b T = X,6a, b, c, d, e 答案：2、设X = a, b, c,以下集族中,是X上的拓扑. T =X*,a, a,b, c T =X*, a, a,b, a,c T =X*,a, b, a,c T =X*,a, b, c答案：3、X =a,b,c,d,以下集族中,是X上的拓扑. T =X*,a, a,b, a,c,d T = X,屯a,b

2、,c, a,b, d T =X*,a, b, a,c,d T =X*,a,b答案：4、设X = a, b, c,以下集族中,是X上的拓扑. T =X*,b, c, a,b T =X,*,a, b, a,b,a,c T =X,电a, b, a,c T =X,*,a, b, c答案：5、X =a,b,c,d,以下集族中,是X上的拓扑. T =X,*,a,b,a,c,d T =X*,a,b, a,c,d T =X,*,a, b, a,c,d T = X,牝a, c, a,c答案：6、设X =a,b,c,以下集族中, 是*上的拓扑. T =X4,a, b, b,c T =X,牝a,b, b,c T =

3、X,Ra, a,c T =X,*,a, b, c答案：7、 X =a已,c,d,拓扑 T =X,*,a,那么而=小 X bb,c,d答案：8、 X =a,b,c,d,拓扑 T =X$a,那么b, c,d二小 X bb,c,d答案：9、 X =a,b,拓扑 T =X,*,a,那么询=()小 X ab答案：10、 X =a,b,拓扑 T =X,*,a,那么函=()小 X ab答案：11、 X =a,b,c,d,拓扑 T =X,屯a,那么问=()小Xa,bb,c,d答案：12、 X =a,b,c,d,拓扑 T =X*,a,那么0二()小Xa,cb,c,d答案：13、设X =a,b,c,d,拓扑T =

4、X*,a,b,c,d,那么X的既开又闭的非空真子集个数14、设X =a,b,c,拓扑T =X*,a, b,c,那么X的既开又闭的非空真子集的个数为34 答案：15、设X =a,b,c,拓扑T =X,电b, b,c,那么X的既开又闭的非空真子集的个数为23 答案：16、设X =a,b,拓扑T =X*,b,那么X的既开又闭的子集的个数为0123 答案：17、设X =a,b,拓扑T =X凡a,b,那么X的既开又闭的子集的个数为18、设X =ab.,拓扑T =X,*,a, b, a,b, b,c , X的既开又闭的非空真子集个数1234 答案：19、在实数空间中,有理数集Q的内部Q0是4Q R -Q

5、R 答案：20、在实数空间中,有理数集Q的边界穴Q是力 Q R -QR 答案：21、在实数空间中,整数集Z的内部Z.是(4ZR-ZR答案：22、在实数空间中,整数集Z的边界4(Z)是()巾ZR-ZR答案：23、在实数空间中,区间0,1)的边界是()巾 0,10,1(0,1)答案：24、在实数空间中,区间2,3)的边界是()金 2,32,3(2,3) 答案：25、在实数空间中,区间0,1)的内部是()巾 0,10,1(0,1) 答案：26、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集,那么以下关系中错误的选项是( d(A=B) =d(A)ud(B) A/B=AuB d(AcB) =d(A)cd(B)

6、A = A答案：27、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集,那么以下关系中正确的选项是( d(AuB) =d(A)ud(B) A-B = A-B d(AcB) =d(A)cd(B) A = A答案：28、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集,那么以下关系中正确的选项是(答案： d(A=B)=Aj-B A-B =A-B d(AcB) =d(A)cd(B) d(d(A)c Ad(A)29、X是一个离散拓扑空间,A是X的子集,那么以下结论中正确的选项是(31、X是一个平庸拓扑空间,A是X的子集,那么以下结论中正确的选项是假设A=%那么dA=假设A=x.,那么dA = X 假设A=xi,x2,那么

7、dA = X -A 假设人=为2,那么dA = A 答案：32、设 X =a,b,c,d,令 B = a,b,c, c, d,那么由 B 产生的 X 上的拓扑是X ,%c, d, c, d,a, b, c X,弧 c, d, c, dX ,* ,c, a, b, cX , , d, b, c, b, d, b, c, d答案：33、设X是至少含有两个元素的集合,pwX , T =GuX |pwGu4是X的拓扑,那么 是T的基. B = p,x| xwXp B =x| xwX B = p,x| xwX B = x| xw X p答案：34、设X =a,b,c,那么以下X的拓扑中以5 =X,*a为

8、子基.X ,如a, a, c X , d ,aX ,*,a, b, a,b X 3 答案：35、离散空间的任一子集为开集闭集即开又闭非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为开集闭集即开又闭非开非闭答案：37、实数空间R中的任一单点集是开集 闭集 既开又闭非开非闭答案：整数集38、实数空间R的子集A =1, - , 1 , 1,那么A=R中,以下集合是闭集的是a,b有理数集 无理数集40、在实数空间R中,以下集合是开集的是整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集Z答案：41、X =1,2,3上的拓扑T =X,4,1,那么点1的邻域个数是42、X =a,b,那么X上的所有可能的拓扑有1个

9、 2个 3个 4个答案：43、X =a, b, c,那么X上的含有4个元素的拓扑有个3579答案：44、设X,T 为拓扑空间,那么以下表达正确的为 XwT , TT XFT 的WT当T uT时,U U亡丁 当T uT时,U亡丁 答案：U TT U .T 45、在实数下限拓扑空间R中,区间a,b是开集闭集 既是开集又是闭集非开非闭答案：46、设X是一个拓扑空间,A, B c X ,且满足dAu Be A,那么B是开集闭集 既是开集又是闭集非开非闭答案：47、设X=123 , T=g,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑,A =1,2,那么 X 的子空间 A 的拓扑为 T =电2, 1,2 T

10、 = 屯 X,1,2, 1,2 T =d A,1,2 T =屯X,1,2答案：48、设X=123, T=仲,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑,A =1,3,那么 X 的子空间 A 的拓扑为 T =+,1,3, 1,3 T =屯A,1 T =d X,1,3, 1,3 T =电 X,1答案：49、设 X =2?, T=*,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑,A =2,3,那么 X 的子空间 A 的拓扑为 T =中3,2,3 T =,A,2,3 T =4,X,2,3,2,3 T =%X,3答案：50、设X=23, T=仲,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑,A=1,那么X的子空间A的

11、拓扑为 T =曲1 T =*,A,1,2 T =*,X,1,3, 1,3 T =4,X,1答案：51、设X =1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑,A =2,那么 X 的子空间 A 的拓扑为 T =a,2, 1,2 T =%A52、设 X =1,2,3 , T= 屯 X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑,A=3,那么 X 的子空间 A 的拓扑T =X,3T =屯3答案：53、设R是实数空间,Z是整数集,那么R的子空间Z的拓扑为()T =史ZT =P(Z)T =ZT =Z 答案：54、设X =X MX?卬|6是拓扑空间X1,X2,HI,X6的积空间.R是X到X1的投射

12、,那么P1是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：55、设X =X1MX2对卜X6是拓扑空间X1,X2,|,X6的积空间.P2是X到X2的投射,那么 巳是() 单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：56、设X =X1m X2刈卜X6是拓扑空间X1,X2,|,X6的积空间.P3是X到X3的投射,那么P3是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：57、设X =X/X2 N卜X6是拓扑空间X1,X2,|,X6的积空间.P4是X到X4的投射,那么F4是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：58、设X =X1x X2刈|6是拓扑空间X1

13、,X2,III,X6的积空间.P5是X到X5的投射,那么P5是( )单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：59、设X =X1M X2刃1.6是拓扑空间X1,X2,IM,X6的积空间.品是X到X6的投射,那么 后是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：60、设X1和X2是两个拓扑空间,XMX2是它们的积空间,AUX,BUX2,那么有() AMB # A4 AB =AB (Am B). # A MB“,(Am B) = ,(A) H(B)答案：61、有理数集Q是实数空间R的一个(62、整数集Z是实数空间R的一个不连通子集连通子集开集以上都不对答案：63、无理数集是实

14、数空间R的一个不连通子集连通子集开集以上都不对答案：那么2为64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,假设YuZuY,不连通子集连通子集 闭集 开集答案：65、设Xi,X2是平庸空间,那么积空间X1MX2是离散空间不一定是平庸空间平庸空间不连通空间答案：66、设Xi,X2是离散空间,那么积空间X1MX2是离散空间不一定是离散空间平庸空间连通空间答案：67、设X1,X2是连通空间,那么积空间X1Mx2是离散空间不一定是连通空间平庸空间连通空间答案：68、实数空间R中的连通子集为开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：69、实数空间R中的不少于两点的连通子集 为开区间 闭区间 区间 以上都不

15、对 答案：70、实数空间R中的连通子集为开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案：71、以下表达中正确的个数为I 单位圆周S1是连通的；H R-0是连通的(m) R2 -(0,0)是连通的(IV) R2和R同胚12 34答案：二、填空题(每题1分)1、设X =a,b,那么X的平庸拓扑为 ； 答案：T = X22、设X =ab,那么X的离散拓扑为； 答案：T =X*,a, b3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ； 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R中,有理数集Q的导集是.答案：R5、xwd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案：Uc(Ax)#46、设A是有限补空间X中的一个无限子集,那么d(A)二

16、 ; 答案：X7、设A是有限补空间X中的一个无限子集,那么A=; 答案：X8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,那么d(A)二 ; 答案：X9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,那么 A=; 答案：X10、设 X = 1 , 2 ,3 X 的拓扑 T =X., 2 , 2 ,那么 X 的子集 A = 1 , 2的内部 为;答案：211、设X = 1 , 2 ,3X的拓扑T =X., 1 , 2那么X的子集A = 1 , 3的内部 为;答案：112、设X =1 , 2, 3X的拓扑T =X * , 1 , 2,那么X的子集A = 1 , 2的内部为 答案：113、设 X = 1 , 2

17、,3 X 的拓扑 T =X $ , 2 , 2 ,那么 X 的子集 A = 1 , 3的内部为;答案：巾14、设X =a,b,c,那么X的平庸拓扑为 ; 答案：T =X*15、设X =a,b,c,那么 X 的离散拓扑为 答案:T =X,*a, b, c, a,b, a,c,b,c16、设 X =1, 2, 3X 的拓扑 T =X., 2 , 3 , ,2那么 X 的子集 A = 1, 3的内部为;答案：317、设 X =1 , 2, 3X 的拓扑 T =X $ , 1 , 3 , 1那么 X 的子集 A = 1 , 2的内部为;答案：118、f：XiY是拓扑空间X到Y的一个映射,假设它是一个单

18、射,并且是从X到它的象集f (X)的一个同胚,那么称映射f是一个 答案：嵌入19、f :X t Y是拓扑空间X到Y的一个映射,如果它是一个满射,并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑,那么称f是一个； 答案：商映射20、设X,Y是两个拓扑空间,f：XTY是一个映射,假设X中任何一个开集U的象集“是丫 中的一个开集,那么称映射f是一个 答案：开映射21、设X,Y是两个拓扑空间,f：XTY是一个映射,假设X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y 中的一个闭集,那么称映射f是一个 答案：闭映射22、假设拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B ,使得Ac B=6 A,j B= X,那么X是一 个 ;答案：不连

19、通空间23、假设拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B ,使得Ac B=, A,j B = X,那么X是一个 ;答案：不连通空间24、假设拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集,那么 X是一个 答案：不连通空间25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,ZUX满足YuZC,那么Z也是X的一个 ；答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的 象所具有,那么称这个性质是一个 ;答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有, 那么称这个性质是一个 ;答案：可商性质28、假设任意n占1个

20、拓扑空间Xi,X2lXn,都具有性质P,那么积空间X-XzMIBXn也具有性质P ,那么性质P称为； 答案：有限可积性质29、设X是一个拓扑空间,如果 X中有两个非空的隔离子集 A, B ,使得A= B = X ,那么称X是 一个 ;答案：不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 () 答案：,理由：设X是离散空间,Y是拓扑空间,f ： Xt Y是连续映射,由于对任意 aY,都有f(A)u X,由于X中的任何一个子集都是开集,从而f(A)是X中的开集,所以f ：Xt Y 是连续的.2、设Ti,T2是集合X的两个拓扑,那么TcT2不一定

21、是集合X的拓扑()答案：X理由：由于(1) Ti,T2 是 X 的拓扑,故 X* wTi, X,* WT2,从而 X,* w t1cT2 ；(2)对任意的 A,B WT1CT2,那么有A,Bw Ti且A,Bw T2 ,由于Ti, T2是X的拓扑,故AcB wTi 且 AcB WT2,从而 AcBw T1CT2；(3 )对任意的T y T1 CT2,那么T y T1,T y T2 ,由于Ti, T2是X的拓扑,从而UuwUW Ti ,UuwUwT2,故UuWtUw T1CT2；综上有TicT2也是X的拓扑.3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射()答案：,理由：设f：XT Y是任一满

22、足条件的映射,由于Y是平庸空间,它中的开集只有丫,弧易知它们在f下的原象分别是X*,均为X中的开集,从而f:XT Y连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集,那么d(A尸中 ()答案：,理由：设p为X中的任何一点,由于离散空间中每个子集都是开集,所以p是X的开子集,且有pp|(A-p) = 4,即pd(A),从而d(A)=M5、设A为平庸空间X (X多于一点)的一个单点集,那么d(A)=4 ()答案：X理由：设人=丫,那么对于任意xw X,x y,x有唯一的一个邻域 X ,且有yWXc(A-X),从而Xc(a-x).4,因此x是A的一个凝聚点,但对于y的唯一的邻域X,有X(A-y) = ,所

23、以有 d A =X - A=.6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集,那么d(A尸X ()答案：V理由：对于任意xWX,由于A包含多于一点,从而对于x的唯一的邻域X ,且有Xc(a-x)= 因此x是A的一个凝聚点,即xWd(A),所以有d(A尸X.7、设X是一个不连通空间,那么 X中存在两个非空的闭子集 A,B,使得Acb=%A=B=X ()答案：V理由：设X是一个不连通空间,设 A,B是X的两个非空的隔离子集使得Au B = X ,显然Ap|B =4,并且这时有：B = B - X =(B - A) 一(B - B) = B从而B是X的一个闭子集,同理可证A是X的一个闭子集,这就证实了

24、 A,B满足A - B = , A B = X8、假设拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集,那么 X是一个不连通空间() V 理由：这是由于假设设A是X中的一个既开又闭的非空真子集,令 B=A,那么A,B都是X中的非空闭子集,它们满足 A=B=X ,易见A,B是隔离子集,所以拓扑空间 X是一个不连通空.五.简做题(每题4分)1、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,且Au B.试说明d(A)cd(B).答案：对于任意xwd(A),设U是x的任何一个邻域,那么有U c(Ax) 弧由于Au B ,从而U c(B x) nU c(Ax) #弧 因此 x= d(B),故 d(A)u d(B).2、

25、设X,Y,Z都是拓扑空间.f :Xt Y, g:YTZ都是连续映射,试说明g.f :Xt Z也是连 续映射.答案：设W是Z的任意一个开集,由于g：YT Z是一个连续映射,从而g(W)是Y的一个开集,由f：XTY是连续映射,故f(g(W)是X的一开集,因此(g.f)(W)= f(g(W)是X的开集,所以g.f : X t Z是连续映射.3、设X是一个拓扑空间,AUX.试说明：假设A是一个闭集,那么A的补集A是一个开集.答案：对于 以三A,那么x A,由于A是一个闭集,从而x有一个邻域U使得U c(A-x)=%因此Uca=4,即UUA,所以对任何xw A, A是x的一个邻域,这说明A是一个开集.4

26、、设X是一个拓扑空间,AUX.试说明：假设A的补集A是一个开集,那么A是一个闭集.答案：设x尧A,那么xw A,由于A是一个开集,所以A是x的一个邻域,且满足 Aca = ,因 此x宓A ,从而A二A,即有A = A ,这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：xyu x,尸(一叼1)或者 x,y包1,2)或者 x, y W2,+0)设在这个等价关系下得到的商集 Y = 0,1,2,试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,Y,0,0,16、在实数空间R中给定如下等价关系：xyu x, y = (-,1或者 x, y w (1,2或者 x, y w (2,+如)设在这个等价关系下得到的商集 Y = 1, 2, 3,试写出Y的商拓扑T .答案：T =丫3,2,37、在实数空间R中给定如下等价关系：xy u x, y w (-,1)或者 x, y w 1,2)或者 x, y w 2,十g)设在这个等价关系下得到的商集Y = -1,1,2,试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,Y, -1,18、在实数空间R中给定如下等价关系：xy u x, y (-9,1)或者 x, y w 1,2)或者 x, y w 2,+8)设在这个等价关系下得到的商集Y = -2,1,2,试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,Y, -2, -2,1