完整版点集拓扑学试题含答案.docx
《完整版点集拓扑学试题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版点集拓扑学试题含答案.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版点集拓扑学试题含答案
点集拓扑学练习题
一、单项选择题〔每题1分〕
1、X={a,b,c,d,e},以下集族中,〔〕是X上的拓扑.
①T={X*,{a},{a,b},{a,c,e}}②T={X,*,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}
③T={X,屯{a},{a,b}}④T={X,6{a},{b},{c},{d},{e}}答案：
③
2、设X={a,b,c},以下集族中,〔〕是X上的拓扑.
①T={X*,{a},{a,b},{c}}②T={X*,{a},{a,b},{a,c}}
③T={X*,{a},{b},{a,c}}④T={X*,{a},{b},{c}}答案：
②
3、X={a,b,c,d},以下集族中,〔〕是X上的拓扑.
①T={X*,{a},{a,b},{a,c,d}}②T={X,屯{a,b,c},{a,b,d}}
③T={X*,{a},{b},{a,c,d}}④T={X*,{a},{b}}答案：
①
4、设X={a,b,c},以下集族中,〔〕是X上的拓扑.
①T={X*,{b},{c},{a,b}}②T={X,*,{a},{b},{a,b},{a,c}}
③T={X,电{a},{b},{a,c}}④T={X,*,{a},{b},{c}}答案：
②
5、X={a,b,c,d},以下集族中,〔〕是X上的拓扑.
①T={X,*,{a,b},{a,c,d}}②T={X*,{a,b},{a,c,d}}
③T={X,*,{a},{b},{a,c,d}}④T={X,牝{a},{c},{a,c}}答案：
④
6、设X={a,b,c},以下集族中,〔〕是*上的拓扑.
①T={X4,{a},{b},{b,c}}②T={X,牝{a,b},{b,c}}
③T={X,R{a},{a,c}}④T={X,*,{a},{b},{c}}答案：
③
7、X={a已,c,d},拓扑T={X,*,{a}},那么而=〔〕
①小②X③{b}④{b,c,d}答案：
④
8、X={a,b,c,d},拓扑T={X${a}},那么{b,c,d}二〔〕
①小②X③{b}④{b,c,d}答案：
④
9、X={a,b},拓扑T={X,*,{a}},那么询=（）
①小②X③{a}④{b}答案：
②
10、X={a,b},拓扑T={X,*,{a}},那么函=（）
①小②X③{a}④{b}答案：
④
11、X={a,b,c,d},拓扑T={X,屯{a}},那么问=（）
①小②X③{a,b}④{b,c,d}答案：
②
12、X={a,b,c,d},拓扑T={X*,{a}},那么0二（）
①小②X③{a,c}④{b,c,d}答案：
④
13、设X={a,b,c,d},拓扑T={X*,{a},{b,c,d}},那么X的既开又闭的非空真子集个数〔
14、设X={a,b,c},拓扑T={X*,{a},{b,c}},那么X的既开又闭的非空真子集的个数为
③3④4答案：
②
15、设X={a,b,c},拓扑T={X,电{b},{b,c}},那么X的既开又闭的非空真子集的个数为
③2④3答案：
①
16、设X={a,b},拓扑T={X*,{b}},那么X的既开又闭的子集的个数为〔
①0②1③2④3答案：
③
17、设X={a,b},拓扑T={X凡{a},{b}},那么X的既开又闭的子集的个数为〔
18、设X={ab.},拓扑T={X,*,{a},{b},{a,b},{b,c}},X的既开又闭的非空真子集个数〔〕
①1②2③3④4答案：
②
19、在实数空间中,有理数集Q的内部Q0是〔
①4②Q③R-Q④R答案：
①
20、在实数空间中,有理数集Q的边界穴Q〕是〔〕
①力②Q③R-Q④R答案：
④
21、在实数空间中,整数集Z的内部Z.是（
①4②Z③R-Z④R答案：
①
22、在实数空间中,整数集Z的边界4（Z）是（）
①巾②Z③R-Z④R答案：
②
23、在实数空间中,区间[0,1）的边界是（）
①巾②[0,1]③{0,1}④（0,1）答案：
③
24、在实数空间中,区间[2,3）的边界是（）
①金②[2,3]③{2,3}④（2,3）答案：
③
25、在实数空间中,区间[0,1）的内部是（）
①巾②[0,1]③{0,1}④（0,1）答案：
④
26、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,那么以下关系中错误的选项是（
①d（A=B）=d（A）ud（B）②A
③d（AcB）=d（A）cd（B）④A=A答案：
③
27、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,那么以下关系中正确的选项是（①d（AuB）=d（A）ud（B）②A-B=A-B
③d（AcB）=d（A）cd（B）④A=A答案：
①
28、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,那么以下关系中正确的选项是（
答案：
④
①d（A=B）=Aj-B②A-B=A-B
③d（AcB）=d（A）cd（B）④d（d（A））cA^d（A）
29、X是一个离散拓扑空间,A是X的子集,那么以下结论中正确的选项是（
31、X是一个平庸拓扑空间,A是X的子集,那么以下结论中正确的选项是〔
①假设A=%那么d〔A〕=®②假设A={x.},那么d〔A〕=X
③假设A={xi,x2},那么d〔A〕=X-A④假设人={为2},那么d〔A〕=A答案：
①
32、设X={a,b,c,d},令B={{a,b,c},{c},{d}},那么由B产生的X上的拓扑是〔〕
①{X,%{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{X,弧{c},{d},{c,d}}
③{X,*,{c},{a,b,c}}④{X,♦,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案：
①
33、设X是至少含有两个元素的集合,pwX,T={GuX|pwG}u{4}是X的拓扑,那么〔是T的基.
①B={{p,x}|xwX—{p}}②B={{x}|xwX}
③B={{p,x}|xwX}④B={{x}|xwX—{p}}答案：
③
34、设X={a,b,c},那么以下X的拓扑中〔〕以5={X,*{a}}为子基.
①{X,如{a},{a,c}}②{X,d,{a}}
③{X,*,{a},{b},{a,b}}④{X3}答案：
②
35、离散空间的任一子集为〔〕
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
③
36、平庸空间的任一非空真子集为〔〕
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
④
37、实数空间R中的任一单点集是〔〕
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：
②
①整数集
38、实数空间R的子集A={1,-,1,1,……},那么A=〔〕
R中,以下集合是闭集的是〔〕
a,b〕③有理数集④无理数集
40、在实数空间R中,以下集合是开集的是〔〕
①整数集Z②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z'答案：
④
41、X={1,2,3}上的拓扑T={X,4,{1}},那么点1的邻域个数是〔
42、X={a,b},那么X上的所有可能的拓扑有〔〕
①1个②2个③3个④4个答案：
④
43、X={a,b,c},那么X上的含有4个元素的拓扑有〔〕个
①3②5③7④9答案：
④
44、设〔X,T〕为拓扑空间,那么以下表达正确的为〔〕
①XwT,T^T②XFT的WT
③当T'uT时,UU亡丁④当T'uT时,U亡丁答案：
③
UTT'U.T'
45、在实数下限拓扑空间R中,区间［a,b〕是〔〕
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：
③
46、设X是一个拓扑空间,A,BcX,且满足d〔A〕uBeA,那么B是〔〕
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：
②
47、设X={123,T=g,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A={1,2},那么X的子空间A的拓扑
为〔〕①T={电{2},{1,2}}②T={屯X,{1},{2},{1,2}}
③T={dA,{1},{2}}④T={屯X,{1},{2}}答案：
③
48、设X={123,T=仲,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A={1,3},那么X的子空间A的拓扑
为〔〕①T={+,{1},{3},{1,3}}②T={屯A,{1}}
③T={dX,{1},{3},{1,3}}④T={电X,{1}}答案：
②
49、设X={2?
T={*,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A={2,3},那么X的子空间A的拓扑
为〔〕①T={中{3},{2,3}}②T={®,A,{2},{3}}
③T={4,X,{2},{3},{2,3}}④T={%X,{3}}答案：
②
50、设X={23,T=仲,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A={1},那么X的子空间A的拓扑为
〔〕①T=曲{1}}②T={*,A,{1,2}}
③T={*,X,{1},{3},{1,3}}④T={4,X,{1}}答案：
①
51、设X={1,2,3},T={©,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A={2},那么X的子空间A的拓扑
为〔〕①T=a,{2},{1,2}}②T={%A}
52、设X={1,2,3},T={屯X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A={3},那么X的子空间A的拓扑
③T={^X,{3}}④T={屯{3}}答案：
④
53、设R是实数空间,Z是整数集,那么R的子空间Z的拓扑为（）
①T={史Z}②T=P（Z）③T=Z④T={Z}答案：
②
54、设X=X〔MX?
卬|«6是拓扑空间X1,X2,HI,X6的积空间.R是X到X1的投射,那么P1是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
55、设X=X1MX2对卜X6是拓扑空间X1,X2,|||,X6的积空间.P2是X到X2的投射,那么巳是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
56、设X=X1mX2刈卜X6是拓扑空间X1,X2,|||,X6的积空间.P3是X到X3的投射,那么P3是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
57、设X=X/X2N卜X6是拓扑空间X1,X2,|||,X6的积空间.P4是X到X4的投射,那么F4是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
58、设X=X1xX2刈||«6是拓扑空间X1,X2,III,X6的积空间.P5是X到X5的投射,那么P5是
（）
①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
59、设X=X1MX2刃1.6是拓扑空间X1,X2,IM,X6的积空间.品是X到X6的投射,那么后是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
60、设X1和X2是两个拓扑空间,X〔MX2是它们的积空间,AUX〔,BUX2,那么有（）
①AMB#A4②A〉B=A'B③（AmB）.#AMB“④,（AmB）=,（A）H（B）答案：
②
61、有理数集Q是实数空间R的一个（
62、整数集Z是实数空间R的一个〔〕
①不连通子集②连通子集
③开集④以上都不对
答案：
①
63、无理数集是实数空间R的一个〔〕
①不连通子集②连通子集
③开集④以上都不对
答案：
①
那么2为〔〕
64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,假设YuZuY,
①不连通子集②连通子集③闭集④开集
答案：
②
65、设Xi,X2是平庸空间,那么积空间X1MX2是〔〕
①离散空间②不一定是平庸空间
③平庸空间④不连通空间
答案：
③
66、设Xi,X2是离散空间,那么积空间X1MX2是〔〕
①离散空间②不一定是离散空间
③平庸空间④连通空间
答案：
①
67、设X1,X2是连通空间,那么积空间X1Mx2是〔〕
①离散空间②不一定是连通空间
③平庸空间④连通空间
答案：
④
68、实数空间R中的连通子集£为〔〕
①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：
④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集£为〔〕
①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：
③
70、实数空间R中的连通子集£为〔〕
①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案：
④
71、以下表达中正确的个数为〔〕
〔I〕单位圆周S1是连通的；〔H〕R-{0}是连通的
（m）R2-{（0,0）}是连通的（IV）R2和R同胚
①1②2③3④4
答案：
②
二、填空题（每题1分）
1、设X={a,b},那么X的平庸拓扑为；答案：
T={X2}
2、设X={ab},那么X的离散拓扑为；答案：
T={X*,{a},{b}}
3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫；答案：
拓扑不变性质
4、在实数空间R中,有理数集Q的导集是.答案：
R
5、xwd（A）当且仅当对于x的每一邻域U有答案：
Uc（A—{x}）#4
6、设A是有限补空间X中的一个无限子集,那么d（A）二;答案：
X
7、设A是有限补空间X中的一个无限子集,那么A=;答案：
X
8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,那么d（A）二;答案：
X
9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,那么A=;答案：
X
10、设X={1,2,,3X的拓扑T={X.,{2},{2,那么X的子集A={1,2}的内部为;答案：
{2}
11、设X={1,2,,3X的拓扑T={X.,{1},{2那么X的子集A={1,3}的内部为;答案：
{1}
12、设X={1,2,3}X的拓扑T={X*,{1},{2,,那么X的子集A={1,2}的内部为答案：
{1}
13、设X={1,2,,3X的拓扑T={X$,{2},{2,那么X的子集A={1,3}的内部
为;答案：
巾
14、设X={a,b,c},那么X的平庸拓扑为;答案：
T={X*}
15、设X={a,b,c},那么X的离散拓扑为答案:
T={X,*{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}
16、设X={1,2,3}X的拓扑T={X.,{2},{3},{,2那么X的子集A={1,3}的内部
为;答案：
{3}
17、设X={1,2,3}X的拓扑T={X$,{1},{3},{1那么X的子集A={1,2}的内部
为;答案：
{1}
18、f：
XiY是拓扑空间X到Y的一个映射,假设它是一个单射,并且是从X到它的象集f（X）
的一个同胚,那么称映射f是一个^答案：
嵌入
19、f:
XtY是拓扑空间X到Y的一个映射,如果它是一个满射,并且Y的拓扑是对于映射f
而言的商拓扑,那么称f是一个；答案：
商映射
20、设X,Y是两个拓扑空间,f：
XTY是一个映射,假设X中任何一个开集U的象集“⑺是丫中的一个开集,那么称映射f是一个答案：
开映射
21、设X,Y是两个拓扑空间,f：
XTY是一个映射,假设X中任何一个闭集U的象集f（U）是Y中的一个闭集,那么称映射f是一个答案：
闭映射
22、假设拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得AcB=6A,jB=X,那么X是一个;答案：
不连通空间
23、假设拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得AcB=®,A,jB=X,那么X是一
个;答案：
不连通空间
24、假设拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集,那么X是一个答案：
不连通空间
25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,ZUX满足YuZC,那么Z也是X的一
个；答案：
连通子集
26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,那么称这个性质是一个;
答案：
在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,那么称这个性质是一个;答案：
可商性质
28、假设任意n占1个拓扑空间Xi,X2』l「Xn,都具有性质P,那么积空间X-XzMIBXn也具有性质
P,那么性质P称为；答案：
有限可积性质
29、设X是一个拓扑空间,如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A=B=X,那么称X是一个;答案：
不连通空间.
三.判断（每题4分,判断1分,理由3分）
1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（）答案：
理由：
设X是离散空间,Y是拓扑空间,f：
XtY是连续映射,由于对任意a^Y,都有
f」（A）uX,由于X中的任何一个子集都是开集,从而f」（A）是X中的开集,所以f：
XtY是连续的.
2、设Ti,T2是集合X的两个拓扑,那么T〔cT2不一定是集合X的拓扑（）答案：
X
理由：
由于
（1）Ti,T2是X的拓扑,故X*wTi,X,*WT2,从而X,*wt1cT2；
（2）对任意的A,BWT1CT2,那么有A,BwTi且A,BwT2,由于Ti,T2是X的拓扑,故
AcBwTi且AcBWT2,从而AcBwT1CT2；
（3）对任意的TyT1CT2,那么TyT1,TyT2,由于Ti,T2是X的拓扑,从而Uuw「UWTi,
Uuw「UwT2,故UuWtUwT1CT2；
综上有TicT2也是X的拓扑.
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）答案：
理由：
设f：
XTY是任一满足条件的映射,由于Y是平庸空间,它中的开集只有丫,弧易知它
们在f下的原象分别是X*,均为X中的开集,从而f:
XTY连续.
4、设A为离散拓扑空间X的任意子集,那么d（A尸中（）答案：
理由：
设p为X中的任何一点,由于离散空间中每个子集都是开集,
所以｛p｝是X的开子集,且有｛p｝p|（A-｛p｝）=4,即p^d（A）,从而d（A）=M
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集,那么d（A）=4（）答案：
X
理由：
设人=｛丫｝,那么对于任意xwX,x¥y,x有唯一的一个邻域X,且有yWXc（A-X）,从而
Xc（a-x）.4,因此x是A的一个凝聚点,但对于y的唯一的邻域X,有X^（A-y）=®,所以有dA=X-A=.
6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集,那么d（A尸X（）答案：
V
理由：
对于任意xWX,由于A包含多于一点,从而对于x的唯一的邻域X,且有Xc（a-x）="因此x是A的一个凝聚点,即xWd（A）,所以有d（A尸X.
7、设X是一个不连通空间,那么X中存在两个非空的闭子集A,B,使得Acb=%A=B=X（）答案：
V
理由：
设X是一个不连通空间,设A,B是X的两个非空的隔离子集使得AuB=X,显然
Ap|B=4,并且这时有：
B=B-X=（B-A）一（B-B）=B
从而B是X的一个闭子集,同理可证A是X的一个闭子集,这就证实了A,B满足
A-B=,AB=X
8、假设拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集,那么X是一个不连通空间（）V理由：
这是由于假设设A是X中的一个既开又闭的非空真子集,令B=A',那么A,B都是X中的
非空闭子集,它们满足A=B=X,易见A,B是隔离子集,所以拓扑空间X是一个不连通空.
五.简做题（每题4分）
1、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,且AuB.试说明d（A）cd（B）.
答案：
对于任意xwd（A）,设U是x的任何一个邻域,那么有Uc（A—{x}）¥弧由于AuB,从而
Uc（B—{x}）nUc（A—{x}）#弧因此x=d（B）,故d（A）ud（B）.
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:
XtY,g:
YTZ都是连续映射,试说明g.f:
XtZ也是连续映射.
答案：
设W是Z的任意一个开集,由于g：
YTZ是一个连续映射,从而g」（W）是Y的一个开
集,由f：
XTY是连续映射,故f」（g」（W））是X的一开集,因此（g.f）」（W）=f」（g」（W））
是X的开集,所以g.f:
XtZ是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间,AUX.试说明：
假设A是一个闭集,那么A的补集A'是一个开集.
答案：
对于以三A',那么x^A,由于A是一个闭集,从而x有一个邻域U使得Uc（A-{x}）=%
因此Uca=4,即UUA',所以对任何xwA,A'是x的一个邻域,这说明A'是一个开集.
4、设X是一个拓扑空间,AUX.试说明：
假设A的补集A'是一个开集,那么A是一个闭集.
答案：
设x尧A,那么xwA',由于A'是一个开集,所以A'是x的一个邻域,且满足A'ca=®,因此x宓A,从而A二A,即有A=A,这说明A是一个闭集.
5、在实数空间R中给定如下等价关系：
x〜yux,尸（一叼1）或者x,y包1,2）或者x,yW[2,+°0）
设在这个等价关系下得到的商集Y={[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.
答案：
T={,Y,{[0]},{[0],[1]}}
6、在实数空间R中给定如下等价关系：
x〜yux,y=（-°°,1]或者x,yw（1,2]或者x,yw（2,+如）
设在这个等价关系下得到的商集Y={[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T.
答案：
T={丫{[3]},{[2],[3]}}
7、在实数空间R中给定如下等价关系：
x〜yux,yw（-℃,1）或者x,yw[1,2）或者x,yw[2,十g）
设在这个等价关系下得到的商集Y={[-1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.
答案：
T={,Y,{[」]},{[-1],[1]}}
8、在实数空间R中给定如下等价关系：
x〜yux,y€（-9,1）或者x,yw[1,2）或者x,yw[2,+8）
设在这个等价关系下得到的商集Y={[-2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.
答案：
T={,Y,{[-2]},{[-2],[1]}}
升级会员 