1、高一数学竞赛 参考答案2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间:5月11日上午8:3011:00一、选择题每题6分,共36分1集合,假设,那么实数的取值范围为 A B C D【答案】 A 【解答】时,符合要求。时,。由知,。,解得。 的取值范围为。2假设一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,那么该圆锥内切球的体积为 A B C D【答案】 A 【解答】设圆锥底面半径为,母线长为,那么,。又。因此,。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以,其内切球半径,其体积。3函数的值域为 A B C D【答案】 B 【解答】由,知,。 ,。又,因此,。值域为。4给出以下命题:1设,是不同的
2、直线,是一个平面,假设,那么。2,是异面直线,为空间一点,过总能作一个平面与,之一垂直,与另一条平行。3在正四面体中,与平面所成角的余弦值为。4在空间四边形中,各边长均为1,假设,那么的取值范围是。其中正确的命题的个数为 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 C 【解答】1显然正确。2假设存在平面,使得,那么。但,是未必垂直。故不正确。3作于,那么为正三角形的中心,是与平面所成角。设,那么,。故,3正确。4取中点,那么。由、构成三角形知,。故,4正确。5是定义在上的奇函数,且对任意,均有,当时,那么函数在区间上的零点个数为 A6个 B7个 C8个 D9个【答案】 D 【解答】由知,或。 在区
3、间内有唯一零点1。结合为奇函数知,在区间内有唯一零点。又由知,在区间内有唯一零点2;在区间内有唯一零点4;在区间内有唯一零点5。又由,知,。又。 在区间上的零点个数为9。6函数。给出以下四个判断:1的值域是; 2的图像是轴对称图形;3的图像是中心对称图形; 4方程有解。其中正确的判断有 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 B 【解答】设,那么。1 ,与轴不相交即、三点不共线。 等号不成立,的值域是。1不正确。2, ,的图像关于直线对称。或从几何图形上看,当与关于点对称时,。2正确。3显然不正确。假设3正确,那么结合2可得为周期函数,矛盾。4 ,又, 方程有解是方程的解。4正确。二、填空题每
4、题6分,共36分7集合,假设,那么实数的取值范围为 。【答案】 【解答】问题等价于圆在菱形内部不含边界。 ,且圆心到直线的距离。 。8如图,在等腰直角三角形中,、分别为、的中点。将沿折起,使得折起后二面角为。那么折起后四棱锥的体积为 。【答案】 【解答】由条件知,在四棱锥中,。 是二面角的平面角,且。 ,且。作于,那么。由知,为正三角形,。 四棱锥的体积。9函数的图像关于点对称,那么点的坐标为 。【答案】 【解答】由函数定义域为;值域为。猜想点坐标为。下面给出证明: 。 的图像关于点对称。10中,假设,那么面积的最大值为 。【答案】 【解答】以中点为坐标原点,直线为轴建立直角坐标系,那么,。设
5、。那么由,知。整理,得。 点在以为圆心,半径为的圆除与轴的交点上运动。 点到直线即轴距离的最大值为。 面积的最大值为。11二次函数,假设对任意均有成立,那么的最大值为 。【答案】 8【解答】,。 ,当且仅当,即时,等号成立。 的最大值为8。12不等式的解集为 。【答案】 【解答】不等式化为 ;或 。由,得,由于函数为增函数,且。所以,不等式的解为。由,得。设,。如图,在同一坐标系内作函数与的图像,它们有两个交点, ,其中,。所以,的解为。由、可知,不等式的解集为。三、解答题第13、14、15、16题每题16分,第17题14分,总分值78分13此题总分值16分求二次函数在区间上的最小值的表达式。
6、【解答】。当时,在区间上的最小值为。 4分当时,。假设,即时,在区间上的最小值为。 8分假设,即时,在区间上的最小值为。 12分假设,即时,在区间上的最小值为。 。 16分14此题总分值16分两个同心圆:和:,圆上一点。过点作圆的两条切线,切点分别为、。1假设点坐标为,求四边形的面积。2当点在圆上运动时,是否存在定圆恒与直线相切?假设存在,求出定圆的方程;假设不存在,请说明理由。【解答】1依题意,且,。 。 四边形的面积为。 4分2设,那么。当点在圆上运动时,恒有。 点、在以为圆心,为半径的圆上。该圆方程为。 8分又点、在圆:上。联立两圆方程,消二次项,得。即。 直线方程为。 12分 原点到直
7、线的距离为定值。 圆恒与直线相切。 存在定圆恒与直线相切,定圆方程为。 16分注:此题也可以用平面几何方法求解:设与的交点为,那么。 8分在中,由,知。 12分 以为圆心,1为半径的圆恒于直线相切。 存在定圆恒与直线相切,定圆方程为。 16分15 此题总分值16分如图,在中,为的平分线且与交于点,为中点,、为、上的点,且。求证:。【解答】如图,过点作的平行线交直线于点,于点。那么由为中点知,为中点。 4分 平分, 。 ,。结合知,、四点共圆。 8分 。 。 ,。同理,。 12分 ,、四点共圆。 。 16分16此题总分值16分给出5个互不相同的实数,假设这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是
8、有理数,求证:这5个数的平方都是有理数。【解答】设为其中的一个数,依题意,其余的4个数为或的形式,其中为有理数。 4分1假设这4个数中至少有2个为的形式,设它们为,且,。那么由条件知,与中至少有1个成立。当时,成立。当时,成立。 8分2假设这4个数中最多只有1个为的形式,那么至少有3个数为的形式。设这三个数为,互不相同,且,。下面考虑这三个数的和与积。 假设,中至少有两个为有理数。不妨设,为有理数,那么。 ,成立。 12分 假设,中最多只有1个为有理数,那么,中至少有两个为有理数。不妨设,为有理数。那么,。两式相减,得,。 ,成立。由、知,此时成立。综上可得,。因此,这5个数的平方都是有理数。
9、 16分17此题总分值14分1设集合,集合是的子集,且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素?2设集合,集合是的子集,且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素?【解答】1构造的以下13个子集:,中每一个数恰好属于2个子集。由于从中任取7个元素,它们分别属于上述13个子集中的14个子集,由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集,它们的差为6或7。因此,中任意7个元素都不能同时属于集合。即中最多只有6个元素。 4分又中任意两数之差都不等于6或7。集合符合要求。 集合中最多有6个元素。 7分2由1知,任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。由于,因此,集合中最多只有个数满足任意两数之差都不等于6或7。 11分又显然集合是集合的子集,且集合中任意两数之差都不是6或7。集合中有930个元素。 集合中最多有930个元素。 14分
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