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1、概率统计简明教程课后习题答案非常详细版概率统计简明教程课后习题答 案（非常详细版）习题一解答1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A :(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 A =两次出现的面相同； 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A= 分钟内呼叫次数不超过3次； 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A=寿命在2000到2500小时之间。解 ( , ), ( ,一),( 一，)，( 一, 一)， A 二. 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则门-X =k|k =0,1,2, ， A=X =k|k = 0,123.(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位：小时)，贝

2、U；.X (0, ：)， A 二X (2000, 2500).2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A珥取得球的号码是偶数 ,B珥取 得球的号码是奇数， C =取得球的号码小于5，冋下列运算表示什么事件：(1)A B ; (2) AB ; (3) AC ; (4) AC ; (5) AC ; (6) ; (7) A C.解(1) A B是必然事件；(2)AB二是不可能事件；(3)AC =取得球的号码是2，4;(4)AC珂取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10;(5)AC 取得球的号码为奇数，且不小于 5 =取得球的号码为5，7，9;(6)二B C =取得球的号码是不

3、小于5的偶数=取得球的号码为6，8，10;(7)A-C=AC珂取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6，8，103.在区间0,2上任取一数，记A = x1:xW1；a， B =X1兰x兰号卜，求下列事件的表达式:(1)A B ; (2) AB ; (3) AB ; (4) A B .(1)Ab =丿*X10兰x兰丄或1 X兰2b =-X1兰x皐3X1 V X 兰 3 2 42,2：aUb =x2 兰xE3;J 4 2,因为A B，所以AB二.; 1 3AUB = AUx0x 或一vx 兰 24 211 30乞x 或 x空1或 x乞24 2 24.用事件A, B,C的运算关系式表示下列事件

4、:(1)A出现，B,C都不出现(记为E1); A,B都出现，C不出现(记为E2);(3)所有三个事件都出现(记为Ea);(4)三个事件中至少有一个出现(记为 E4); 三个事件都不出现(记为E5);(6)不多于一个事件出现(记为E6);(7)不多于两个事件出现(记为E7);(8)三个事件中至少有两个出现(记为 E8)。解(1) EABC ； (2)E2=abC ；(3) E3 =ABC ; (4) E A B C ;(5)E5 二 ABC ； (6) e ABC aBC Abc ABc ；(7) E7 = ABC 二 A B C ; (8) E AB AC BC .5.一批产品中有合格品和废品

5、，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai表示事件“第i次抽到废品”，i =1,2,3，试用A表示下列事件：(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2)只有第一次抽到废品；(3)三次都抽到废品；(4)至少有一次抽到合格品；(2)只有两次抽到废品。解 (1) Ai A2 ； A| A? A3 ； (3) A1A2A3 ；瓦 A? A3； (5) aa?入 aAX A1a?A3.6.接连进行三次射击，设Ai=第i次射击命中 ,i =123 ,B珂三次射击恰好命中二次 ,C=三 次射击至少命中二次;试用Ai表示B和C。解 b 二 aa?A3 aA?A3 A；AAc 二 aa2 a1 a3 a2

6、a3习题二解答1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。解 这是不放回抽取，样本点总数 n = 50，记求概率的事件为 A，贝U有利于A的样本点数I 丿kP(A)=n45 44 5 3! 995050 49 48 2! 39245.于是k 二解 本题是有放回抽取模式，样本点总数 n = 72 .记(1)(2)(3) 题求概率的事件分别为A,B,C,D . 2257 495 汉2 10kB =5 2，故 P(B) 厂7 4920kc =2 5 2，故 P(C)=497 5 _ 35 _ 572 一 49 一 7 .随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)(

7、i )有利于A的样本点数kA =52，故 P(A)二I二(ii)(iii)(iv)有利于B的样本点数有利于C的样本点数有利于D的样本点数kD =7 5，故 P(D)=3.一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6， 最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率。解 本题是无放回模式，样本点总数 n=6 5.(i )最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3， 2汶3 1利样本点数为2 3，所求概率为 =-.6汇5 5(i )最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为 2汉2 2所求概率为 -.6汉5 154.一个盒子中装有6只晶体管，

8、其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 每次取1只，试求下列事件的概率：(1)2只都合格；(2)1只合格，1只不合格；(3)至少有1只合格。解 分别记题 、(2)、(3)涉及的事件为A, B,C，贝U44因而有2次,P(A)二P(B)二令 6疋5疋2I2丿订八 13I丘丿注意到e = a b ,4 2 2 86 5 15且A与B互斥，因而由概率的可加性知丄 2丄8 14P(C) =P(A) P(B)=5 15 15掷两颗骰子，求下列事件的概率：点数之和为7 ； (2)点数之和不超过5 ； (3)点数之和为偶数。分别记题、(2)、(3)的事件为A, B,C ,样本点总数n = 62(1)

9、解(i ) A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)P(A)=$J66(ii) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)105P(B) 262 18(込)C 含 样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。二 P(C)J36 26 .把甲、乙、丙三名学生随机地分配到

10、5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为5 4 3，所以P(A)二5 4 3 1253 - 25 .总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1)事件A : “其中恰有一位精通英语”；事件B : “其中恰有二位精通英语”；事件C :“其中有人精通英语”。样本点总数为(1)P(A)=创汰1丿*23 1 2 _ 2 3 3! 6 3-；5 4 3 10_ 3 3! = 3_5 4 3 10P(B戸6 因C=A B，且A与B互斥，3 3P(C)二 P(A) P(B) #

11、 -3 =5 10 10设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x + y=1所围成的三角形内，而落在这三因而9角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 解记求概率的事件为A，则Sa为图中阴影部分，而 QL1/2，八2 1 5 5=A.= 2 9 18最后由几何概型的概率计算公式可得P(A)=亘丄业|0| 1/2 99 .(见前面问答题2. 3)y1x =1/3的左边的概率。S10.已知 A B , P(A)=0.4 , P(B)=0.6，求 P(A),P(B); P(A B) ; (3) P(AB); P(BA),P(AB) ; (5) P(AB).解 (1) P(A) =1 P(

12、A) =1 0.4 =0.6, P(B) =1 - P(B) =1 0.6 =0.4 ;(2)P(A B) = P(A) P(B) _ P(AB) = P(A) P(B) _ P(A) = P(B) = 0.6 ;(3)P(AB) =P(A) =0.4 ;(4)P(BA)二 P(A -B)二 P( ) = 0, P(AB)二 P(A_B) =1 - P(A B) = 1 - 0.6 二 0.4;(5)P(AB)二 P(B -A) =0.6 -0.4 二 0.2.11.设 A, B 是两个事件，已知 P(A) =0.5 , P(B) =0.7 , P(A B) =0.8，试求 P(A- B)及

13、P(B - A).解 注意到 P(A B)二 P(A) P(B) - P(AB),因而 P(AB)二 P(A) P(B)-P(A B) =0.5 0.7-0.8 =0.4.于是， P(A - B)二 P(A - AB)二 P( A) - P( AB) =0.5-0.4 = 0.1 ;P(B - A)二 P(B - AB)二 P(B) -P(AB) =0.7 -0.4 =0.3.习题三解答1.已知随机事件A的概率P(A) =0.5，随机事件B的概率P(B)二0.6，条件概率P(B | A)二0.8， 试求 P(AB)及 P(AB).解 P(AB) =P(A)P(B | A) =0.5 0.8 =

14、0.4P(ABH P(A_ ) = 1 _ P(A B) = 1 _ P(A) _ P(B) P(AB)=1 -0.5 -0.6 0.4 =0.32.一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次(每次取一个)，求第三次才取得 正品的概率。10 9 90 81 9100 99 98 99 98 1 0 7 83.某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概 率为0.19(1)已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2)已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？P(B|A鸣-吐 “327.P(A) 0.58P(B) 0.28解 记 A =基金

15、，B =股票，贝U P(A) =0.58, P(B) =0.28, P(AB) =0.19(1)给定P( A)二0.5， P(B)二0.3，P(AB)二0.15，验证下面四个等式:P(A| B) =P(A), P(A| B) =P(A), P(B | A)二 P(B)， P(B | A) =P(B).解P(B) 0.3 2P(B) 1 -P(B) 0.7 0.7P(B|A)二穿 J(B)P(A叭 00.14 15 二学二 p(b)P(A) 1 -P(A) 0.5 0.55 .有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车, 迟到的概率是0.25，若

16、坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是 0.1，若坐飞机则不会 迟到。求他最后可能迟到的概率。解 B =迟到, A =坐火车, A? =坐船 , A3 =坐汽车,乓珂乘飞机，则4B BAi，且按题意P(B|AJ=0.25 , P(B|A2)=0.3 , P(B | A3) = 0.1 , P(B|A4) = 0.由全概率公式有：(1)4P(B) = P(A)P(B | AJ =0.3 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 = 0.145i=1已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；合并两只袋，

17、从中随机取一球，该球是红球。(1)记B =该球是红球，A 珂取自甲袋，A2=取自乙袋，已知P(B| AJ =6/10 ,解P(B| A2) =8/14，所以16 18 41P(B)=P(Ai)P(B|Ai) P(A2)P(B|A2)s 10x =2 14 70每个车间的产量分别占全厂的 25% , 35% , 求该厂产品的次品率。= 0.0125 0.0140 0.008 = 0.0345 = 3.45%8.发报台分别以概率0.6 , 0.4发出和-，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概 率0.8和0.2收到*和-,同样，当发出信号-时，分别以0.9和0.1的概率收到-和。 求(1)收到信号的

18、概率；(2)当收到时，发出的概率。记 B =收到信号 , A=发出信号(1)二 0.6 0.8 0.4 0.1 二 0.48 0.04 二 0.52P(A| B) = P(A)P(B | A) 0.65.8 _ 12P(B) = P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)P(B) 0.52 139 .设某工厂有代B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的 25% , 35% , 40%，各个车间成品中次品的百分比分别为 5% , 4% , 2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是 次品，求它依次是车间A, B,C生产的概率。解 为方便计，记事件A,B,C为代B,C车间生产

19、的产品，事件D珂次品，因此P(D) =P(A)P(D | A) P(B)P(D |B) P(C)P(D | C)= 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 = 0.0125 0.014 0.008 =0.0345P(A)P(D | A)0.25 0.05P(D)-0.0345P(B)P(D | B)0.35 0.04P(D)-0.0345P(C)P(D |C)0.4 0.02P(D)-0.0345P(A|D)P(B|D)P(C| D)= 0.362= 0.406= 0.23210 .设A与B独立，且P(A)二p, P(B)二q，求下列事件的概率：P(A B) , P(A B)

20、,解 P(A B)=P(A) P(B)-P(A)P(B)=p q-pqP(A B) = P(A) P(B) _P(A)P(B) = p 1 _q _ p(1 _q) =1 _q pqP(A B)二 P(AB) =1 _P(A)P(B) =1 _ pq11.已知 A, B 独立，且 P(AB) =1/9, P(AB)二 P(AB)，求 P(A), P(B).解 因P(AB)二P(AB)，由独立性有P(A)P(B)二P(A)P(B)从而 P(A) _P(A)P(B) =P(B) _P(A)P(B)导致 P(A)=P(B) 再由 P(AB) =1/9，有 1/9 =P(A)P(B) =(1 _ P(

21、A)(1 _ P(B) =(1 _ P(A)2 所以 1-P(A)=1/3。最后得到 P(B) =P(A) =2/3.12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1/3，1/2目标被命中的概率。3 解 记B =命中目标，A1 =甲命中，A? =乙命中，A3巩丙命中，贝U B=i =3 2 11 1 8PevPir =1 _p(Ai)p(a2)p(a3)=1 -_=1一 丿 3 2 3 9 9.13.设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为 个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的解记A =通达，Ai =元件 i 通达，i =1,2,

22、345,6则 A 二 A1A2 A3A4 A5A6， 所以P(A) =P(A,A2)P(A3AJ P(A5A6)-P(A2A3A4)-P(A3A4A5A6)- = 3(1 -P)2 -3(1-p)4 (1-p)614.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作,个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生 3次故障的概率。*5 )解 p= (0.2)3(0.8)2 =0.05 1215P(A B).2/3，求Ai，因而p，求这周五.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率3 2+32)-P

23、20.8 (0.2)=0.0 0 8 0.0 9 6 0.1 0 416.设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27 , 求事件A在每次试验中出现的概率P(A).解 记A二A在第i次试验中出现，i =1,2,3. p = P(A)19 f3 、 依假设 一 = PUA =1 -P(AA2A3)=1 -(1 - p)327 2 丿所以,(1-p)= ，此即 p =1/3.17.加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假 设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解 注意到，加工零件为次品，当且仅当 1-3道工

24、序中至少有一道出现次品。记 A珂第i道工序为次品，i =1,2,3.则次品率 _ _P=p U Aj =1P(A1)P(瓦)P(A3) =1 0.98x0.97x0.95 =10.90307 茫 0.097 w丿18.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。解 记A =译出密码， Ai =第i人译出，i =1,2,3.贝U i - 2345 ；4i 1 .(4) |Pi ,i _ 1,2,3,4,5 025解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证Pi是否满足下列二个条件:其一条件为Pi -0,i -1,2/，其二条件

25、为a Pi =1i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2 ）中的数列不是随机变量的分布5 9 4律，因为6” ；（3）中的数列为随机变量的分布律;（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为c2试确定常数c,使P X 二尹i =0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律，并求：PX乞2 ； P 1 : X :-2 2c 4 c解 要使方成为某个随机变量的分布律，必须有 a=1，2i i 2i（2） PX 乞 2 二PX=0 PX=1 PX=21+ 1L2824 3116 仃 +1 =1 + -31（3） P 1 X : - = P X =1 P X =2 二16 1 1 =

26、 12 V2 2 丿 31（2 4 丿 313. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字1 31，1，2这样的数字。从这袋中任 X的分布律与分布函数。, , 1 , 1解 X可能取的值为-3，1，2，且PX -3二-，PX=1二，PX=2二，即X的分布律为3 2 6X-312概率111326X的分布函数F(x)=P(X Mx =x -24. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1 , 2 , 3, 4, 5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表

27、示随机取出的3个球的最大号码为3， 则另两个球的只能为1号，2号，即P X =3二 -;事件X =4：表示随机取出的5、10I3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在112|1、2、3号球中任选，此时 PX=4 二 卩3愛；同理可得1P X =5 = Q 10I3丿X的分布律为x -55次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布函数为011041015.在相同条件下独立地进行X的分布律。X345概率136101010x ：33 - x ： 4具体计算后可得X012345概率324814421616224331256256256256253125解 依题意X服从参数n =5, p =0.6的二项分布，因此，其分布律5P（X =k A _ p.6k0.45=k=0,1,5，k.6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需