概率统计简明教程课后习题答案非常详细版.docx
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概率统计简明教程课后习题答案非常详细版
概率统计简明教程课后习题答案（非常详细版）
习题一解答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:
（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A=｛两次出现的面相同｝；
⑵记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A=｛—分钟内呼叫次数不超过3次｝；⑶从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A=｛寿命在2000到2500小时之间｝。
解⑴'」｛（,）,（,一）,（一，），（一,一）｝，A二.
⑵记X为一分钟内接到的呼叫次数，则
门-｛X=k|k=0,1,2,｝，A=｛X=k|k=0,123｝.
（3）记X为抽到的灯泡的寿命（单位：
小时），贝U
；.」｛X（0,：
：
）｝，A二｛X（2000,2500）｝.
2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A珥取得球的号码是偶数｝,B珥取得球的号码是奇数｝，C=｛取得球的号码小于5｝，冋下列运算表示什么事件：
（1）AB;
（2）AB;（3）AC;（4）AC;（5）AC;（6）;（7）A—C.
解
（1）AB—是必然事件；
（2）AB二'是不可能事件；
（3）AC=｛取得球的号码是2，4｝;
（4）AC珂取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10｝;
（5）AC取得球的号码为奇数，且不小于5｝=｛取得球的号码为5，7，9｝;
（6）二BC=｛取得球的号码是不小于5的偶数｝=｛取得球的号码为6，8，10｝;
（7）A-C=AC珂取得球的号码是不小于5的偶数｝=｛取得球的号码为6，8，10｝
3.在区间［0,2］上任取一数，记A=«x1<:
xW1；a，B=〔X1兰x兰号卜，求下列事件的表达式:
（1）AB;
（2）AB;（3）AB;（4）AB.
（1）
⑵
⑶
Ab=丿
*
X
1
0兰x兰丄或1£X兰2
b=-
-
X
1
兰x皐
3
X
1VX兰3\
2‘
4
2,
2：
aUb=』x2兰xE3》;
J42,
因为AB，所以AB二.;
—13
AUB=AU」x0^x£—或一vx兰2
42
113
0乞x或x空1或x乞2
422
4.
用事件
A,B,C的运算关系式表示下列事件:
（1）A出现，B,C都不出现（记为E1）;
⑵A,B都出现，C不出现（记为E2）;
（3）所有三个事件都出现（记为Ea）;
（4）三个事件中至少有一个出现（记为E4）;
⑸三个事件都不出现（记为E5）;
（6）不多于一个事件出现（记为E6）;
（7）不多于两个事件出现（记为E7）;
（8）三个事件中至少有两个出现（记为E8）。
解
（1）E^ABC；
（2）E2=abC；
（3）E3=ABC;（4）E^ABC;
（5）E5二ABC；（6）e^ABCaBCAbcABc；
（7）E7=ABC二ABC;（8）E^ABACBC.
5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次
抽到废品”，i=1,2,3，试用A表示下列事件：
（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
（2）只有第一次抽到废品；
（3）三次都抽到废品；
（4）至少有一次抽到合格品；
（2）只有两次抽到废品。
解
（1）AiA2；⑵A|A?
A3；（3）A1A2A3；
⑷瓦A?
A3；（5）aa?
入aAXA1a?
A3.
6.接连进行三次射击，设Ai=｛第i次射击命中｝,i=123,B珂三次射击恰好命中二次｝,C=｛三次射击至少命中二次｝;试用Ai表示B和C。
解b二aa?
A3aA?
A3A；AA
c二aa2a1a3a2a3
习题二解答
1•从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取，样本点总数n=50，记求概率的事件为A，贝U有利于A的样本点数
I丿
k
P（A）=
n
454453!
99
50
5049482!
392
'45'
<2>
.于是
k二
解本题是有放回抽取模式，样本点总数n=72.记
（1）
（2）（3）⑷题求概率的事件分别为
A,B,C,D.
」2
25
749
5汉210
kB=52，故P（B）厂
749
20
kc=252，故P（C）=
49
75_35_5
72一49一7.
随机地从这个口袋中取2只球，试求：
（1）
（i）有利于A的样本点数kA=52，故P（A）二I二
（ii）
（iii）
（iv）
有利于B的样本点数
有利于C的样本点数
有利于D的样本点数
kD=75，故P（D）=
3.一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，最小号码是3的概率；
（2）最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数n=65.
（i）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，2汶31
利样本点数为23，所求概率为=-.
6汇55
（i）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2汉22
所求概率为——-.
6汉515
4.一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取每次取1只，试求下列事件的概率：
（1）2只都合格；
（2）1只合格，1只不合格；
（3）至少有1只合格。
解分别记题⑴、
（2）、（3）涉及的事件为A,B,C，贝U
'4^
4
因而有
2次,
P（A）二
P（B）二
'令'6疋5疋2
I
<2丿
订八1」
3
I
丘丿
注意到e=ab,
4228
6515
且A与B互斥，因而由概率的可加性知
丄2丄814
P（C）=P（A）P（B）=
51515
掷两颗骰子，求下列事件的概率：
点数之和为7；
（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。
分别记题⑴、
（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n=62
（1）
解
（i）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）
P（A）=$J
66
（ii）B含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）
105
P（B）2
6218
（込）C含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,
（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。
二P（C）』J
362
6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，
试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为543，所以
P（A）二
54312
53-25.
总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
（1）
⑵
事件A:
“其中恰有一位精通英语”；
事件B:
“其中恰有二位精通英语”；
事件C:
“其中有人精通英语”。
样本点总数为
（1）
P（A）=创
汰1丿
*2『3]
12_233!
63
-；
54310
_33!
=3_
54310
P（B"戸
6因C=AB，且A与B互斥，
33
P（C）二P（A）P（B）#-3=
51010
设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三
因而
9
角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线解记求概率的事件为A，则Sa
为图中阴影部分，而QL1/2，
‘八2155
=—A.—=
2918
最后由几何概型的概率计算公式可得
P（A）=亘丄业」
|0|1/29
9.（见前面问答题2.3）
y1
x=1/3的左边的概率。
S
10.已知AB,P（A）=0.4,P（B）=0.6，求
⑴P（A）,P（B）;⑵P（AB）;（3）P（AB）;⑷P（BA）,P（AB）;（5）P（AB）.
解
（1）P（A）=1—P（A）=1—0.4=0.6,P（B）=1-P（B）=1—0.6=0.4;
（2）P（AB）=P（A）P（B）_P（AB）=P（A）P（B）_P（A）=P（B）=0.6;
（3）P（AB）=P（A）=0.4;
（4）P（BA）二P（A-B）二P（）=0,P（AB）二P（A__B）=1-P（AB）=1-0.6二0.4;
（5）P（AB）二P（B-A）=0.6-0.4二0.2.
11.设A,B是两个事件，已知P（A）=0.5,P（B）=0.7,P（AB）=0.8，试求P（A-B）及P（B-A）.
解注意到P（AB）二P（A）P（B）-P（AB）,因而P（AB）二P（A）P（B）
-P（AB）=0.50.7-0.8=0.4.于是，P（A-B）二P（A-AB）二P（A）-P（AB）=0.5-0.4=0.1;
P（B-A）二P（B-AB）二P（B）-P（AB）=0.7-0.4=0.3.
习题三解答
1.已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）二0.6，条件概率P（B|A）二0.8，试求P（AB）及P（AB）.
解P（AB）=P（A）P（B|A）=0.50.8=0.4
P（ABHP（A__）=1_P（AB）=1_P（A）_P（B）P（AB）
=1-0.5-0.60.4=0.3
2.一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
10990819
100999899981078
3.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
P（B|A"鸣-吐“327.
P（A）0.58
⑵
P（B）0.28
解记A=｛基金｝，B=｛股票｝，贝UP（A）=0.58,P（B）=0.28,P（AB）=0.19
（1）
给定P（A）二0.5，P（B）二0.3，P（AB）二0.15，验证下面四个等式:
P（A|B）=P（A）,P（A|B）=P（A）,P（B|A）二P（B），P（B|A）=P（B）.
解
P（B）0.32
P（B）1-P（B）0.70.7
P（B|A）二穿J（B）]P（A叭0—0.1415二学二p（b）
P（A）1-P（A）0.50.5
5.有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车,迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解B=｛迟到｝,A=｛坐火车｝,A?
=｛坐船｝,A3=｛坐汽车｝,乓珂乘飞机｝，则
4
BBAi，
且按题意
P（B|AJ=0.25,P（B|A2）=0.3,P（B|A3）=0.1,P（B|A4）=0.
由全概率公式有：
（1）
4
P（B）='P（A）P（B|AJ=0.30.250.20.30.10.1=0.145
i=1
已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
（1）记B=｛该球是红球｝，A珂取自甲袋｝，A2=｛取自乙袋｝，已知P（B|AJ=6/10,
⑵
解
P（B|A2）=8/14，所以
161841
P（B）=P（Ai）P（B|Ai）P（A2）P（B|A2）s10
—x—=——
21470
每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,求该厂产品的次品率。
=0.01250.01400.008=0.0345=3.45%
8.发报台分别以概率0.6,0.4发出"・"和"-"，由于通信受到干扰，当发出"•"时，分别以概率0.8和0.2收到"*"和"-",同样，当发出信号"-"时，分别以0.9和0.1的概率收到"-"和"•"。
求
（1）收到信号"•"的概率；
（2）当收到"•"时，发出"•"的概率。
记B=｛收到信号"•"｝,A=｛发出信号"•"｝
（1）
二0.60.80.40.1二0.480.04二0.52
P（A|B）=P（A）P（B|A）0.65.8_12
P（B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）
P（B）0.5213
9.设某工厂有代B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。
解为方便计，记事件A,B,C为代B,C车间生产的产品，事件D珂次品｝，因此
P（D）=P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）
=0.250.050.350.040.40.02=0.01250.0140.008=0.0345
P（A）P（D|A）
0.250.05
P（D）
-0.0345
P（B）P（D|B）
0.350.04
P（D）
-0.0345
P（C）P（D|C）
0.40.02
P（D）
-0.0345
P（A|D）
P（B|D）
P（C|D）
=0.362
=0.406
=0.232
10.设A与B独立，且P（A）二p,P（B）二q，求下列事件的概率：
P（AB）,P（AB）,
解P（AB）=P（A）P（B）-P（A）P（B）=pq-pq
P（AB）=P（A）P（B）_P（A）P（B）=p1_q_p（1_q）=1_qpq
P（AB）二P（AB）=1_P（A）P（B）=1_pq
11.已知A,B独立，且P（AB）=1/9,P（AB）二P（AB），求P（A）,P（B）.
解因P（AB）二P（AB），由独立性有
P（A）P（B）二P（A）P（B）
从而P（A）_P（A）P（B）=P（B）_P（A）P（B）导致P（A）=P（B）再由P（AB）=1/9，有1/9=P（A）P（B）=（1_P（A））（1_P（B））=（1_P（A））2所以1-P（A）=1/3。
最后得到P（B）=P（A）=2/3.
12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2
目标被命中的概率。
3解记B=｛命中目标｝，A1=｛甲命中｝，A?
=｛乙命中｝，A3巩丙命中｝，贝UB=〕
i=
321118
PevPir=1_p（Ai）p（a2）p（a3）=1——-_=1——一丿32399.
13
.设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为个装置通达的概率。
假定各个元件通达与否是相互独立的
解记A=｛通达｝，
Ai=｛元件i通达｝，i=1,2,345,6
则A二A1A2A3A4A5A6，所以
P（A）=P（A,A2）P（A3AJP（A5A6）
-P（"A2A3A4）-P（A3A4A5A6）-=3（1-P）2-3（1-p）4（1-p）6
14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作,
个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
*5）
解p=（0.2）3（0.8）2=0.0512
15
P（AB）.
2/3，求
Ai，因而
p，求这
周五
.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只
有一个坏了的概率
32
+
3
2）
-
P
2
0.8（0.2）=0.0080.0960.104
16.设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P（A）.
解记A二｛A在第i次试验中出现｝，i=1,2,3.p=P（A）
19f3、
依假设一=PUA=1-P（AA2A3）=1-（1-p）3
272丿
所以,（1-p）'=，此即p=1/3.
17.加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记A珂第i道
工序为次品｝，i=1,2,3.则次品率
<3>__
P=pUAj=1—P（A1）P（瓦）P（A3）=1—0.98x0.97x0.95=1—0.90307茫0.097w丿
18.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译
出的概率。
解记A=｛译出密码｝，Ai=｛第i人译出｝，i=1,2,3.贝U
<3\_
p（a）=pUa=1—p（A）p（A）p（A；）2丿
=1-0.750.650.6=1-0.2925=0.7075
19
6
（2）'
k=4
.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？
有4次至6次出现正面的概率是多少?
（1）
⑵
⑶
20.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:
（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;
（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率;
（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率。
1-（1-0.75）4=1-（0.25）4二255
256
4（0.75）2（0.25）2=6況
Z丿
81
256
习题四解答
1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由
（1）1
Pi,i=0,1,2,3,4,5；
15
（2）|
（5-i2）
Pi,i=0,1,2,3；
6
（3）|
1.
pi>i-2>3>4>5；
4
i1.
（4）|
Pi,i_1,2,3,4,50
25
解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证
Pi是否满足下列二个条件:
其一条件为Pi-0,i-1,2/，其二条件为aPi=1
i
依据上面的说明可得
（1）中的数列为随机变量的分布律；
（2）中的数列不是随机变量的分布
5—94
律，因为「6”°；（3）中的数列为随机变量的分布律;
（4）中的数列不是随机变量的
分布律，这是因为
c
2•试确定常数c,使PX"二尹i=0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律，并求：
PX乞2；P1:
:
X:
:
-
22
c4c
解要使方成为某个随机变量的分布律，必须有a〒=1，
2ii^2i
（2）PX乞2二PX=0PX=1PX=2
1+1L28
2431
16仃+1=—1+-
31
（3）P1:
-=PX=1PX=2二1611=12V22丿31（24丿31
3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，
取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字
1
■■■3
1，1，2这样的数字。
从这袋中任X的分布律与分布函数。
,1,1
解X可能取的值为-3，1，2，且PX--3二-，PX=1二—，PX=2二—，即X的分布律为
326
X
-3
1
2
概率
1
1
1
3
2
6
X的分布函数
F（x）=P（XMx=
x-2
4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4,5，从中随机地取3个，以X表示取出的
3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即PX=3二」-;事件〈X=4：
表示随机取出的
'5、10
I
3个球的最大
号码为4，因此另外2个球可在
112|
1、2、3号球中任选，此时PX=4—二卩
3
愛；同理可得
1
PX=5=Q10
I3丿
X的分布律为
x-5
5次射击，每次射击时击中目标的概率为
0.6，求击中目标的次数
X的分布函数为
0
1
10
4
10
1
5.在相同条件下独立地进行
X的分布律。
X
3
4
5
概率
1
3
6
10
10
10
x：
：
3
3-x：
：
4
具体计算后可得
X
0
1
2
3
4
5
概率
32
48
144
216
162
243
3125
625
625
625
625
3125
解依题意X服从参数n=5,p=0.6的二项分布，因此，其分布律
■5
P（X=kA_p.6k0.45=k=0,1,…,5，
6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。
设每次抽取时，各件产品被抽
到的可能性相等。
在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需
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