考研概率例题.docx

1、考研概率例题第一讲随机事件和概率 例1设A , B, C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC=A ； (2)A U BU C=A(3) AB C (4) A BC例2设袋中有大小相同的10个球，其中3个红球，2个黑球，5个白球。 从中无放回地任取2次，每次取1个，如以Ak,Bk,Ck分别表示第k次取到红球、黑球、白球(k=1,2),试用ABkCk表示下列事件：(1)所取的两个球中有黑球；(2)仅取到一个黑球；(3)第二次取到黑球；(4)没取到黑球；(5)最多取到一个黑球；(6)取到的球中有黑球而没有红球；(7)取到的两个球颜色相同。例3设A，B为两事件，且满足条件 AB=AB，则

2、P(A B)= 例4 A，B为任意两事件，则事件(A B) (BC)等于事件 (A) A-C (B) A (B-C)(C) (A _B) _C (D) (A B) _BC1例5 随机事件A，B，满足P(A)二P(B)二和P(A - B) = 1则有 2(A) A B 二 S ( B) AB 二(C) P(A B) =1 (D) P(A-B) =0例 6 设 0 P(A), P(B) 1 且 P(B| A) P(B|A) =1 则必有 (A)P(A|B)二 P(A| B) ( B) P(A|B) = P(A|B)(C) P(AB) = P(A)P(B) ( D) P(AB) = P(A)P(B)

3、例7 ( 06)设A，B为随机事件，且P(B) 0,P(A|B1，则必有(A)P(A B) P( A) (B) P(A B) P(B)(C) P(A B)二 P(A) (D) P(A B)二 P(B)例8试证对任意两个事件A与B,如果P(A) 0，则有P(B | A) _4 P(A)例9有两个盒子，第一个盒中装有 2个红球，1个白球；第二个盒中装一 半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：(1)这个球是红球的概率；(2)若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例10在伯努利试验中，每次试验成功的概率为 p，求在第n次成功之前恰 失败了 m次的概率。例11四

4、封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为 例12 已知A，B，C三事件中A与B相互独立，P(C) = 0，则A,B,C事件 (A )相互独立 (B)两两独立，但不一定相互独立(C)不一定两两独立 (D)定不两两独立例13 10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2 台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为 例14甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取例15 (05)从数1, 2, 3, 4中任取一个数，记为 X，再从1,2,，X中任取一个数记为 丫，则P(Y =2)二 例16 一次掷10颗骰子，

5、已知至少出现一个一点，则至少出现两个一点的 概率是 例 17 设0 P(A) 1,0 ： P(B) 1，若 P(A|B) P(A|B) =1，证明 A 与 B相互独立第二讲随机变量及其概率分布 5典型例题分析例1已知f(x)和f(x) f1(x)均为概率密度函数，则 f,(x)必须满足 (A)f1(x)dx =1, fjx) 一0 ( B) _f1(x)dx = 1, fx) 一 - f(x)(C)二 (x)dx=0, fx) 一0 ( D)二：f1(x)dx=0, fdx) 一-f (x)例3 汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示 时间相等，以X表示汽车所遇红灯个数

6、，求 X的分布及分布函数。例4 设随机变量 X服从正态分布 N(0,1)，对给定的:(0 1)数u满足P(X u_.)二:，若 P(| X 卜：x) = :，则 x 等于 (A)巴(B) u*. ( C) Ul -： (D) ui_：2 2 2例5在区间a,b上任意投掷一点，X为这点坐标，设该点落在a,b中任意小区 间的概率与这小区间长度成正比，求 X的概率密度例6(06)设随机变量X服从正态分布N(r，s2)，丫服从正态分布N(J,二2)且P(| X - 亠卜1) P(|Y- 1)，则必有 (C)亠( D)例7 X的密度函数为f (x) = Aex(-： x )，试求常数A1例8已知X的密度

7、函数为f (x)二-ed：:x ：)，求Y =X2的密度函数2例9设随机变量X的密度函数为f (x)且满足f(-x)=f(x)， F (x)是X的分布函数，则对任意实数3有 1 3(B)F(-a) = - f (x)dx(C)F(-a) =F(a) (D)F(-3)=2F(3)-1例10设随机变量X的分布函数为F(x)，引入函数F1(xHF(3x),F2(xHF 2(x)，F3(x) =1-F(-x)和F4(x)=F(x，3)，则可以确定也是分布函数的为 (A)F1(x),F2(x) ( B)F2(x),F3(x)(C)F3(x)F(x) ( D)F2(x),F4(x)例 11 设 X N (

8、2,二)且 P(2 X 4) = 0.3，贝U P(X 0) = 例12 证明若 X与-X具有相同密度函数，则其分布函数 F(x) 定满足F(x)+F(-x)=1第三讲多维随机变量及其概率分布 7典型例题分析例1、从1, 2, 3三个数字中一次任取两数，第一个数为 X，第二个数为丫，记M二max(X,Y)，试求(X,Y)和(X,M)的分布律及其边缘分布。PXiX2= 0= 1，贝U PXi = X2= 例3、设某班车起点站上车人数x服从参数为 r 0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0 ： P 1)，且他们在中途下车与否是相互独立的，用 丫表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n

9、个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；(2)二维随机向量(X,Y)的概率分布。求(1)常数A ; (2)边缘密度； (2) X,Y是否独立。例5、设随机变量 Xj(i=1,2,3,4)相互独立，均服从分布 b(1,0.5)，求行列式成立1 1(C)P(X Y =0) (D) P(XY=1)= 4 4例9、(06)设两个随机变量X与丫相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布,则 P(max(X,Y)岂1)二 (1) fx(x)和 fY(y)，X,Y 是否独立；(2)fxY(x|y)和 fY|x(y|x)例11、X，Y相互独立，且都服从参数为 r 0)的泊松分布，证明 X Y服从参数为2的泊松分

10、布。例12、(04)设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X = x(0 ： x ： 1)的条件下，随机变量丫在区间(0, x)上服从均匀分布，求:(1)随机变量X和丫的联合概率密度；(2)丫的概率密度；(3)概率P(X Y 1)例 13、 ( 05 ) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=丿1 0 c x c 1,0 y 2x0 其他 ，求:(1) (X,Y)的边缘概率密度fx(x),fY(y) ;( 2) Z=2X-Y的概率密度fz(z);1 1(3)P(Y | X )2 2第四讲 随机变量的数字特征 6典型例题分析例1、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E(X

11、 - 1)(X - 2) = 1，贝卩= 例2、已知N件产品中含有M件次品，从中任意取出n件(n岂N )，设这n件产品中的次品件数为X，试求E(X)例3、(04)设随机变量X服从参数为的指数分布，则P(X.DX) = 例4、设随机变量X的概率密度函数为X2丄丁)的Xf (x) = Ae 2 -:x ： :其中A, B为常数，已知E(X)二D(X)，试求A,B,E(X)例5、( 04)设随机变量Xi，X2,，Xn(n_1)独立同分布，且其方差c 2 0，令nY =二 Xi，贝Ui丄a2 2(A) cov(X1,Y) (B) cov(X1,Y cnn + 2 2 n + 12(C) D(X1 Y)

12、 (D) D(XY)n n例6设随机变量X和丫的联合分布在以点(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的三角 形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+丫勺方差。例7、设随机变量X的概率分布密度为f(x)=亠，-：:x ”： 二2(1)求 X 的 E(X)和 D(X)(2)求X与|X|的协方差，问X与|X|是否相关？(3)问X与|X|是否相互独立？为什么？1X Y例8、已知随机变量(X,Y)服从N (1,0,9,16,-)，设Z = 23 2(1)求Z的E(Z )和D(Z) (2) 求 XZ (3)问乙X是否相互独立？为什么？ 例9、设随机变量(X,Y)在D : x2 yi 1内服从均匀分布

13、，则X和丫的相关系数例10、随机变量X和丫均服从正态分布，则(A) X+Y一定服从正态分布 (B) X和丫不相关与独立等价(C) (X,Y) 一定服从正态分布 (D) (X,-Y)未必服从正态分布例11、在n次独立重复试验中，X和Y分别表示成功和失败的次数，则 X和Y的相关系数等于(A) -1 (B) 0 ( C) 0.5 (D) 1例12、设A和B是两个随机事件，定义两个随机变量如下：证明：X与丫不相关的充分必要条件是 A与B相互独立C例13、已知随机变量X的分布P（X二k） k k =0,1,2,其中C为常数，则2kk!随机变量Y=2X-3的D（Y）= 111例 14、（ 04）设 A,

14、B 为两个随机事件，且 P（A）二，P（B |A）二，P（A|B）二，4 3 2（1）二维随机变量（X,Y）的概率分布；（2）X与丫的相关系数：y（3）Z = X2 Y2的概率分布。例15、（ 06）设二维随机变量（X,Y）的概率分布为X Y-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c为常数，且X的数学期望E（X） =0.2,P（Y乞0|X空0） = 0.5，记Z=X+Y求（1）a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3）P（X二Z）-,一 1 x 0例16、（ 06）设随机变量X的概率密度为fx（x） = J, 0兰x -时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于 例3、（

15、 05）设XX2,，Xn，为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)的指数分布，记：(x)为标准正态分布函数，则nZ Xk _nk(A) limP k- _x =：(x)n n 一.一I Jl n&送 X k - n(C) limP k- _x = ：(x)y InI J第六讲数理统计 5典型例题分析例1、设总体X服从参数为p的0 1Z Xk _ n九(B)lim 兰 x=仕)n 、n I Jn送 Xk -X(D)lim P k- = ： (x)y Jnk jI J分布，则来自总体 X的简单随机样本X X2,Xn的概率分布为 例2、设总体X 7 ()，则来自总体X的样本X X2,Xn的样本

16、均值X的分布律是 例3、( 98)设X!,X2, X3, X4是来自正态总体N(0,22)的样本，已知2 =a(X2X2)2 b(3Xs -4X4)2服从 2(n)分布，其中 a,b为常数，则 n=例4、设随机变量T t(n)，则T2服从的分布及参数为 例5、设X“ X2,，Xn (n 一2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均例6设XN(0,；2)，从总体X中抽样取样本X1, X2/ ,X9，试确定二的值,使得P(V X : 3)为最大，其中X Xi9 iT第二章参数估计 4典型例题分析n_1例1、设X.X2,，Xn为总体N（,；2）的一个样本，已知:?2二（Xi XJ2y为匚2

17、的无偏估计，则常数C等于 例2、（ 05）设X“，X2, X （n 2）为来自总体N（0,；2）的简单随机样本，X为样本均值，斗=Xj X,i =1,2, ,n求：（1）Yi 的方差 DYJ =1,2,，n（2）Y1 与Yn 的协方差 cov%,Yn）（3）若C（YYn）2是二2的无偏估计，求常数C（4）P（Y1 Y 0）例3、从总体X中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别为 X1和X2，且E（X） =tD（X） =：;2，已知T =获1 bX2为丄的无偏估计量，试求（1）常数a和b应满足的条件；（2）使D（T）达到最小值的a和b例4、设X1X, , Xn是来自总体X的样本，已

18、知X -（），证明T二（1 -丄严n是P（X =0）的无偏估计量例5、（04）设随机变量X的分布函数为尸区口严）1 （；）, xx，其中参0, x数:0/ 0，设XX2，Xn为来自总体X的简单随机样本（1）当-=1时，求未知参数1的矩估计量；（2）当=1时，求未知参数1的最大似然估计量；（3）当1 =1时，求未知参数:的最大似然估计量例6设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中，为未知参数，又设X1,X2,，Xn是X的一组观测值，求参数二的最大似然 估计值。例7、设总体X U（0,汨,Xi, X2,Xn是来自总体X的样本，试求：参数二的0 ； x 11岂x岂2，其中二是未知其它最大似然估计量0,例8、（06）设总体X的概率密度为f（x,T） = 1日,0,参数（0：宀：1），Xi,X2，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值Xi,X2, ,Xn中小于1的个数，求（1）二的矩估计； （2） r的最大似然估计3(A)F(-a)=1- f(x)dx