考研概率例题.docx
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考研概率例题
第一讲随机事件和概率例1设A,B,C是随机事件,说明下列关系式的概率意义:
(1)ABC=A;
(2)AUBUC=A
(3)ABC(4)ABC
例2设袋中有大小相同的10个球,其中3个红球,2个黑球,5个白球。
从中无放回地任取2次,每次取1个,如以Ak,Bk,Ck分别表示第k次取到
红球、黑球、白球(k=1,2),试用A^Bk’Ck表示下列事件:
(1)所取的两个球中有黑球;
(2)仅取到一个黑球;
(3)第二次取到黑球;
(4)没取到黑球;
(5)最多取到一个黑球;
(6)取到的球中有黑球而没有红球;
(7)取到的两个球颜色相同。
例3设A,B为两事件,且满足条件AB=AB,则P(AB)=
例4A,B为任意两事件,则事件(A—B)(B—C)等于事件
(A)A-C(B)A(B-C)
(C)(A_B)_C(D)(AB)_BC
1
例5随机事件A,B,满足P(A)二P(B)二—和P(A-B)=1则有
2
(A)AB二S(B)AB二
(C)P(AB)=1(D)P(A-B)=0
例6设0P(A),P(B)1且P(B|A)P(B|A)=1则必有
(A)P(A|B)二P(A|B)(B)P(A|B)=P(A|B)
(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)=P(A)P(B)
例7(06)设A,B为随机事件,且P(B)0,P(A|B^1,则必有
(A)P(AB)P(A)(B)P(AB)P(B)
(C)P(AB)二P(A)(D)P(AB)二P(B)
例8试证对任意两个事件A与B,如果P(A)0,则有
P(B|A)_4P(A)
例9有两个盒子,第一个盒中装有2个红球,1个白球;第二个盒中装一半红球,一半白球,现从两盒中各任取一球放在一起,再从中取一球,问:
(1)这个球是红球的概率;
(2)若发现这个球是红球,问第一盒中取出的球是红球的概率。
例10在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。
例11四封信等可能投入三个邮筒,在已知前两封信放入不同邮筒的条件
下,求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为
例12已知A,B,C三事件中A与B相互独立,P(C)=0,则A,B,C
事件
(A)相互独立(B)两两独立,但不一定相互独立
(C)不一定两两独立(D)—定不两两独立
例1310台洗衣机中有3台二等品,现已售出1台,在余下的9台中任取2台发现均为一等品,则原先售出1台为二等品的概率为
例14甲袋中有2个白球3个黑球,乙袋中全是白球,今从甲袋中任取
例15(05)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,…,X中
任取一个数记为丫,则P(Y=2)二
例16一次掷10颗骰子,已知至少出现一个一点,则至少出现两个一点的概率是
例17设0P(A)1,0:
P(B)1,若P(A|B)P(A|B)=1,证明A与B
相互独立
第二讲随机变量及其概率分布§5典型例题分析
例1已知f(x)和f(x)f1(x)均为概率密度函数,则f,(x)必须满足
(A)」f1(x)dx=1,fjx)一0(B)__f1(x)dx=1,f'x)一-f(x)
(C)二£(x)dx=0,f'x)一0(D)二:
f1(x)dx=0,fdx)一-f(x)
例3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口,各信号灯相互独立,且红绿显示时间相等,以X表示汽车所遇红灯个数,求X的分布及分布函数。
例4设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的:
(01)数u满足
P(X■u_.)二:
•,若P(|X卜:
x)=:
•,则x等于
(A)巴(B)u*.(C)Ul-:
(D)ui_:
~2~2~2~
例5在区间[a,b]上任意投掷一点,X为这点坐标,设该点落在[a,b]中任意小区间的概率与这小区间长度成正比,求X的概率密度
例6(06)设随机变量X服从正态分布N(r,s2),丫服从正态分布N(J,二2)且
P(|X-亠卜1)P(|Y-1),则必有
(C)亠(D)
例7X的密度函数为f(x)=Ae」x(-:
:
x<),试求常数A
1
例8已知X的密度函数为f(x)二-e^d」:
:
:
:
x:
:
:
:
),求Y=X2的密度函数
2
例9设随机变量X的密度函数为f(x)且满足f(-x)=f(x),F(x)是X的分
布函数,则对任意实数3有
13
(B)F(-a)=[-°f(x)dx
(C)F(-a)=F(a)(D)F(-3)=2F(3)-1
例10设随机变量X的分布函数为F(x),引入函数F1(xHF(3x),F2(xHF2(x),
F3(x)=1-F(-x)和F4(x)=F(x,3),则可以确定也是分布函数的为
(A)F1(x),F2(x)(B)F2(x),F3(x)
(C)F3(x)F(x)(D)F2(x),F4(x)
例11设X~N(2,二)且P(2X4)=0.3,贝UP(X0)=
例12证明若X与-X具有相同密度函数,则其分布函数F(x)—定满足
F(x)+F(-x)=1
第三讲多维随机变量及其概率分布
§7典型例题分析
例1、从1,2,3三个数字中一次任取两数,第一个数为X,第二个数为丫,记
M二max(X,Y),试求(X,Y)和(X,M)的分布律及其边缘分布。
P{XiX2=0}=1,贝UP{Xi=X2}=
例3、设某班车起点站上车人数x服从参数为r0)的泊松分布,每位乘客在
中途下车的概率为p(0:
:
:
P1),且他们在中途下车与否是相互独立的,用丫表
示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)
二维随机向量(X,Y)的概率分布。
求
(1)常数A;
(2)边缘密度;
(2)X,Y是否独立。
例5、设随机变量Xj(i=1,2,3,4)相互独立,均服从分布b(1,0.5),求行列式
成立
11
(C)P(XY=0)(D)P(XY=1)=—
44
例9、(06)设两个随机变量X与丫相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,
则P(max(X,Y)岂1)二
(1)fx(x)和fY(y),X,Y是否独立;
(2)fxY(x|y)和fY|x(y|x)
例11、X,Y相互独立,且都服从参数为r0)的泊松分布,证明XY服
从参数为2的泊松分布。
例12、(04)设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在X=x(0:
:
:
x:
:
:
1)的条
件下,随机变量丫在区间(0,x)上服从均匀分布,求:
(1)随机变量X和丫的联合概率密度;
(2)丫的概率密度;(3)概率P(XY1)
例13、(05)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=丿
10cxc1,00其他,求:
(1)(X,Y)的边缘概率密度fx(x),fY(y);
(2)Z=2X-Y的概率密度fz(z);
11
(3)P(Y|X)
22
第四讲随机变量的数字特征
§6典型例题分析
例1、设随机变量X服从参数为'的泊松分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1,
贝卩'=
例2、已知N件产品中含有M件次品,从中任意取出n件(n岂N),设这n件产
品中的次品件数为X,试求E(X)
例3、(04)设随机变量X服从参数为■的指数分布,则P(X….DX)=
例4、设随机变量X的概率密度函数为
X2
丄丁)的X
f(x)=Ae2-:
:
:
x:
:
:
■:
:
其中A,B为常数,已知E(X)二D(X),试求A,B,E(X)
例5、(04)设随机变量Xi,X2,…,Xn(n_1)独立同分布,且其方差c20,令
n
Y=二Xi,贝U
i丄
a22
(A)cov(X1,Y)(B)cov(X1,Y^c
n
n+22n+12
(C)D(X1Y)(D)D(X^Y)
nn
例6设随机变量X和丫的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量U=X+丫勺方差。
例7、设随机变量X的概率分布密度为f(x)=亠」",-:
:
:
:
:
x”:
■二
2
(1)求X的E(X)和D(X)
(2)求X与|X|的协方差,问X与|X|是否相关?
(3)问X与|X|是否相互独立?
为什么?
1XY
例8、已知随机变量(X,Y)服从N(1,0,9,16,--),设Z=—•—
232
(1)求Z的E(Z)和D(Z)
(2)求‘XZ(3)问乙X是否相互独立?
为什么?
例9、设随机变量(X,Y)在D:
x2y^i1内服从均匀分布,则X和丫的相关系数
例10、随机变量X和丫均服从正态分布,则
(A)X+Y一定服从正态分布(B)X和丫不相关与独立等价
(C)(X,Y)一定服从正态分布(D)(X,-Y)未必服从正态分布
例11、在n次独立重复试验中,X和Y分别表示成功和失败的次数,则X和Y
的相关系数等于
(A)-1(B)0(C)0.5(D)1
例12、设A和B是两个随机事件,定义两个随机变量如下:
证明:
X与丫不相关的充分必要条件是A与B相互独立
C
例13、已知随机变量X的分布P(X二k)kk=0,1,2,…其中C为常数,则
2kk!
随机变量Y=2X-3的D(Y)=
111
例14、(04)设A,B为两个随机事件,且P(A)二―,P(B|A)二—,P(A|B)二—,
432
(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(2)X与丫的相关系数:
\y
(3)Z=X2Y2的概率分布。
例15、(06)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
XY
-1
0
1
-1
a
0
0.2
0
0.1
b
0.2
1
0
0.1
c
其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=0.2,P(Y乞0|X空0)=0.5,记Z=X+Y
求
(1)a,b,c的值;
(2)Z的概率分布;(3)P(X二Z)
-,一1例16、(06)设随机变量X的概率密度为fx(x)=J,0兰x<2令Y=X2,F(x,y)
4,其它
为二维随机变量(X,Y)的分布函数,求
1
(1)丫的概率密度fy(y);
(2)cov(X,Y);(3)F(-丄,4)
2
第五讲大数定律和中心极限定理
§4典型例题分析
例1、设随机变量X和丫的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为
0.5,则根据切比雪夫不等式P(|X-Y|_6)=
例2、将一枚骰子重复掷n次,则当n>■■-时,n次掷出点数的算术平均值依概
率收敛于—例3、(05)设X"X2,…,Xn,…为独立同分布的随机变量列,且均服从参数为
(1)的指数分布,记:
(x)为标准正态分布函数,则
n
ZXk_nk
(A)limPk-_x=:
」(x)
n「n
■一.一
IJ
ln
&送Xk-n
(C)limPk-_x=:
」(x)
yIn
IJ
第六讲数理统计
§5典型例题分析
例1、设总体X服从参数为p的0—1
ZXk_n九
(B)lim兰x〉=①仕)
n「、n
■■
IJ
「n
送Xk-X
(D)limPk-=:
(x)
yJnkj
IJ
分布,则来自总体X的简单随机样本
X"X2,…,Xn的概率分布为例2、设总体X~7(),则来自总体X的样本X"X2,…,Xn的样本均值X的分
布律是
例3、(98)设X!
X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本,已知
2=a(X^2X2)2b(3Xs-4X4)2服从2(n)分布,其中a,b为常数,则n=—
例4、设随机变量T~t(n),则T2服从的分布及参数为
例5、设X“X2,…,Xn(n一2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均
例6设X~N(0,;「2),从总体X中抽样取样本X1,X2/,X9,试确定二的值,
使得P(VX:
:
3)为最大,其中XXi
9iT
第二章参数估计§4典型例题分析
n_1
例1、设X.X2,…,Xn为总体N(」,;「2)的一个样本,已知■:
?
2二(Xi—XJ2
y
为匚2的无偏估计,则常数C等于
例2、(05)设X“,X2,X(n>2)为来自总体N(0,;「2)的简单随机样本,X为样
本均值,斗=Xj—X,i=1,2,,n
求:
(1)Yi的方差DYJ=1,2,…,n
(2)Y1与Yn的协方差cov%,Yn)
(3)若C(Y「Yn)2是二2的无偏估计,求常数C(4)P(Y1Y^0)
例3、从总体X中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本,样本均值分别为X1
和X2,且E(X)=tD(X)=:
;2,已知T=获1bX2为丄的无偏估计量,试求
(1)常数a和b应满足的条件;
(2)使D(T)达到最小值的a和b
例4、设X1X,,Xn是来自总体X的样本,已知X~-(),证明T二(1-丄严
n
是P(X=0)的无偏估计量
例5、(04)设随机变量X的分布函数为尸区口严)"1—(;),xx,其中参
[0,x"
数:
0/0,设X「X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本
(1)当-=1时,求未知参数1的矩估计量;
(2)当〉=1时,求未知参数1的
最大似然估计量;(3)当1=1时,求未知参数:
的最大似然估计量
例6设某种元件的使用寿命X的概率密度为
其中,为未知参数,又设X1,X2,…,Xn是X的一组观测值,求参数二的最大似然估计值。
例7、设总体X~U(0,汨,Xi,X2,…,Xn是来自总体X的样本,试求:
参数二的
0;x1
1岂x岂2,其中二是未知
其它
最大似然估计量
0,
例8、(06)设总体X的概率密度为f(x,T)=«1—日,
0,
参数(0:
:
宀:
:
:
1),Xi,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值
Xi,X2,,Xn中小于1的个数,
求
(1)二的矩估计;
(2)r的最大似然估计
3
(A)F(-a)=1-°f(x)dx