圆的基本性质练习含答案.docx

1、圆的基本性质练习含答案圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是 对称图形，又是 对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的 。它的对称中心是 。同 时圆又具有旋转不变性。温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈 及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分 并且平分弦所对的两条_ 。常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 。温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基 本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在 3分左右， 这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它 所用的数学方法或数学思想等，以及

2、常用的辅助线的作法。 在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是 计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三 角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3） 另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要 考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：过圆心；垂直于弦；平分弦； 平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 a ，所对的弦 J2 o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么

3、它们所对的圆心角 13 ，所对的弧 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间 的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 地其余各组量也都相等。温馨提示：(1) 上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中” 这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也 不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心 圆中，所对的弧与弦都不相等。(2)在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧， 要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。考点4 圆周角定理及其推论定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 15 ,都等于这条弧所对的圆心角的 1

4、6 。推论：半圆或直径所对的圆周角是 17 ,90的圆周角所对的弦是 18 。方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用 它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作 出直径就能解决问题。温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦 或等弦”。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个 圆周角互补。VV名题精解例1:如图1,正方形ABCD是O O的内接正方形，点 P在劣弧cd上不同于点C得到任意一点，则/ BPC的度数 是（ ）A .45： B 60： C .75 D 90例2：如图，在LO中，.AOB的度数为m, C是ACB上一点，D, E是AB上不同的两点（不与A，B两点重

5、合），则D，E的度数为（ ）A m B 180-m C . 90m D m2 2 2例3:高速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的 横截面，若它的形状是以 0为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A. 5B. 7C.37训练一、选择题（每题3分，共30分）1. （09年南宁）如图，AB是O O的直径，弦CDLAB于点E， / CDB= 30 , OO的半径为.3cm，则弦CD的长为（ ）A. 3 cm B. 3cm C 2 T3cm D 9cm22.（09年天津市軀如图，缩BC内接于O%题/ OA*28， 则/C的大小为（ ）A. 28 B. 5

6、6 C . 60 D. 623. （09南宁）如图,AB是O O的直径，弦CDL AB于点E,/ CD* 30 , OO的半径为3cm，则弦CD的长为（ ）A fcmB . 3cm C . 2 - 3cm D 9cm4.（09年安徽）如图，弦CD垂直于O O的直径AB,垂足为H 且 CD= 2 2, BD= 3，则 AB 的长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4D. 55.（09 年安徽） ABC中, AB= AC, / A为锐角，CD为 AB边上的高，I ACD的内切圆圆心，则/AIB的度数是（ ） A. 120 B. 125 C. 135 D . 1506.（09年重庆）如图，O0是厶AB

7、C的外接圆，AB是直径.若/ BOC= 80，则/ A等于（ ）A. 60 B . 50 C . 40 D . 307第6（题年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣 弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A. 5米 B . 8米 C . 7米D. 5 3 米8.（09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8米，最深处水 深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A. 0.4 米 B. 0.5 米 C . 0.8 米 D. 1 米9. （09山西省太原市）如图，在 Rt ABC中, Z C= 90，AB= 10,若以点C为圆心，CB长为

8、半径的圆恰好经过 AB的中点D则AC的长等于（ ）A. 5,310.( 09 径，B. 5 C . 52 D. 6BC是直）A.D. 7035 B. 55 C. 65 Bc AB A第 10 第11 第填空题（每小题3分，共30分）年云南省）如图，A D是上的两个点,若/ D = 35 ,则/ OAC勺度数是（11（09年长沙）如图，AB是OO的直径，C是OO上一点,/ BOC= 44，则/ A的度数为 12 . （ 09年长春）如图，点c在以ab为直径的上， AB =10， A =30，贝V BC 的长为 13.（09年福州）如图，AB是O O的直径，点C在O O上，OD/ AC若BD= 1

9、,贝V BC的长为 14. （09年北京市）如图，AB为O O的直径，弦 CDL AB, E 为 bc上一点，若/ CEA= 28，则/ABD= .A第14第15第17B15. （09年山东青岛市）如图，AB为O O的直径，CD为O O的弦，/ ACD= 42,则/ BAD= .16.（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点 C D在以AB为直径的O O上，且 CD平分.ACB，若 AB= 2, / CBA= 15,贝V CD的长为 .17.（09年广东省）已知O O的直径AB = 8cm, C为O O上的一点，/ BAC = 30 则 BC = cm.18. （09年山西省）如图所示，A、B、C、D

10、是圆上的点，4 = 70。，乙A = 40。，则 NC = 度.第 18 第2019.（ 09年上海市）在O O中，弦AB的长为6,它所对应的弦心距为4,那么半径04 .20.（09成都）如图， ABC内接于O O A吐BC / ABC=120, AD为O O的直径，AD= 6,那么 BD= .三、解答题（共60分）21.（本题6分）（09年广西钦州）已知：如图,OO i与坐yxO第图221标轴交于A（ 1, 0）、B（ 5, 0）两点，点0的纵坐标为 頂求OO 1的半径.B D第2222.（本题6分）（09年四川省内江市）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线 AC与BD相交于点E、F在AC

11、上, AB =AD Z BFC=Z BAD= 2Z DFC.求证：（1） CD! DF; （2） BC=I2C第2223.（本题6分）（09年甘肃庆阳）如图，在边长为 2的圆 内接正方形ABC中, AC是对角线，P为边CD的中点, 延长AP交圆于点E.第23Z E= 度；25.（本题7分）（09年株洲市）如图，点a、b、c是U o上 的三点，AB/OC.（1）求证：AC平分.OAB.（2）过点0作OE_AB于 点E， 交AC于点P . 若 AB=2， AOE=30，求 PE 的 长.26.（本题9分）（09年潍坊）如图所示，圆o是abc的外接 圆，.BAC与.ABC的平分线相交于点I，延长AI

12、交圆O于点 D，连结 BD、DC .（1 ）求证：BD = DC = DI ；（2）若圆O的半径为10cm BAC =120，求厶BDC的面积.参考答案基础知识回放轴 中心 对称轴 圆心 弦 弧 弦弧相等相等 C相等 t2相等 13相 等 密相等 15相等 16半仃直角 18直径例1、A例2、B例3、C中考效能测试1.B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系 及垂径定理的应用.因为ZCDB= 30，所以ZCOB = 600,所以在直角/COE中，OE= 1 CO =三,根据勾股7 7 2 2定理可得CE=-，所以CD= 2 CE= 3 cm.22.D【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有

13、关知识。根 据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半，所以/ AOB=Z CoV OA=OB / OABd OBA,又 / OAB=28 , / AOB=124，所以/ C=62 .故选 D.3.B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系 及垂径定理的应用.因为ZCDB= 30，所以ZCOB = 600,所以在直角/COE中，OE = * CO=进,根据勾股 定理可得CE=-，所以CD= 2 CE= 3 cm.4 . B【解析】由垂径定理，可得DH=2，所以BHnFi, 又可得 DHB s ADB.,所以有 BD2 = BH BA,(V3)2 = 1汇 BA, AB =

14、3 .本 题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。5.C【解析】由CD为腰上的高，1 ACD的内心，则/ IAC+/ ICA=-C BAC . BCA) =1(180ADC)(180-900) =45 0 ,2 2 2 所以 ZAIC =180 -0AB +/ICA)=1800 - 450 =135.又可证 AIB = AIC,得/ AIB=/AIC=1350。6.C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆心角是圆周角的两倍，所以/ A是/ BOC的一半， 答案为C.7.B【解析】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心

15、 O并连接OB，延长CD到O,构成直角三角形，利用勾股 定理和垂径定理求出 DO=5，进而得拱高 CD=CO-DO=13-5=8。故选 B。8.D【解析】考查点：本题考查圆的垂径定理和解直角三 角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添 加辅助线得到如下图形：设圆的半径为R,则OA=R ,由垂径定理可得 AC= o.8 = o.4, OC=R-0.2，在 RtQAC 中，利用勾股定理可得：R2=0.42 (R-0.2)2 , 解得R=0.5，故该圆的直径为0.5 2 = 1 (米)。9. A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接 CD VZC =90，D是 AB中点，AB= 10，A C

16、D= !AB= 5，二 BC= 5, 根据勾股定理得AC= 5 3，故选A.10.B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1:在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍, 所以 ZAOC= 2 ZD= 700，而/AOC 中，AO=CO, 所以ZOAC = ZOCA，而 180/AOC= 110，所以 ZOAC= 550.法2:因为EC是直径，所以ZBAC= 90， 则 ZOAC= 900 ZBAO，而/AOB 中，AO=BO, 所以 ZABO = ZBAO，而 ZABO = ZD= 35，从而问题得解。11.22【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。 根据圆周角定理：一

17、条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半，所以本题的答案为440 1 = 220。12.5【解析】因为AB是圆的直径，则它所对的圆周角为 直角，又AB=10, A =30根据在直角三角形中，30度角所对 的直角边等于斜边的一半，则 BC=513.2【解析】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性 质.因为AB是直径，所以它所对的圆周角为直角，再根据两 条直线平行,同位角相等，所以ODL BD,根据垂径定理，可 知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.14.28【解析】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法 及性质。由垂径定理可知弧 AC=弧AD，又根据在同圆或 等圆中相等的弧所对的圆周角也相等

18、的性质可知/ ABD=28 .解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解 答问题，不知从何处入手造成错解。15.48【解析】连接0D，根据同弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半可得， AOD =84。，又因OD=OA ,所以 BAD =/ADO =丄(18O0 _ AOD)=丄(180。_84) = 48。2 216石【解析】本题考查了垂径定理的基本图形.连接OC, 过点O作OE,使OE丄CD，垂足为点E，因为/ ABC=15, OB=OC,所以/ OCB=15，Z OCE=Z BCD- / OBC=45 -15 =30，在 RtAOCE 中，CE=OCXcos30 =1X 所以 CD =

19、3.17.4【解析】本题考察的是圆周角定理根据直径所对 的圆周角为直角可以得到/ C为直角.再根据30度角所对的1直角边等于斜边的一半，所以BC=AB=4cm.18. 30（解析】/仁/ A+Z B, Z B=30 ,又C=Z B=30 .（同弧所对的圆周角相等）本题主要考查同弧所对的圆周 角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同 弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而得到Z C=! Z仁35 .19.5【解析】本题考查垂径定理与勾股定理。如图，在OO 中，AB=6 OCL AB 于 C,贝U AC弓 AB=3 在 Rt AOC中,OA = JOC2 +AC2 = J42 +于=5.20

20、. 3 3【解析】因为 A吐BC Z ABC= 120,则Z CAB=Z ACB=0。，又 AD为O O 的直径，则 Z ABD=9。，又 AD= 6, AB=3 则 BD=33。提炼知识。解：过点O作OC丄AB垂足为C,则有AC= BC.图2由 A (1, 0)、B (5, 0)，得 AB= 4, AC= 2.在Rt AOiC中， O的纵坐标为弱，OC= J5/.o O的半径OA= JOiC2 +AC2 = J(75)2 +22 = 3 22证：(1)设/ DFC= e，则/ BAD= 2 0在厶 ABD中，I AB= AD?/ ABD=Z ADB/ ABD= 12 (180 - / BAD

21、 = 90 - 0又/ FCD=Z ABD= 90 - 0/ FCDk DFC= 90CD DF(2)过 F 作 FGL BC于 G在厶 FGCHA FDC中，/ FCG=Z ADB=Z ABD=Z FCD/ FGC=Z FDC= 90 ,FC= FC FGCA FDC GC= CD且/ GFC=Z DFC又/ BFC= 2/DFC/ GFB=Z GFC BO 2GC 二 BC= 2CD.23解：(1) 45.(2) ACPA DEP理由：/ AED=Z ACD Z APC=Z DPE ACPA DEP(3)方法一： ACPA DEPAPACDP DE又AP =AD2 DP2 = .5 ,AC

22、= AD2 DC2 =2 2 ,DE = no5EE方法二: 如图2,过点D作DF _AE于点F . 在 Rt ADP 中，AP =AD2 DP2 二 5,又：s adpAD_DPAPDF2 2DE罟24. I AB是OO的直径，/ACB= 90又:CDL AB于点D/ BCD= 90/ ABC=Z A=Z F：/ BCD= =Z F,ZFBC=Z CBG2 FBC CBG. If 疇二 BC2 =BG BFOA = OC , 一 C = OAC25. (1) T AB/OC , .I NC =NBAC ； 二 BAC=/OAC 即 AC 平分 OAB.(2 ) ： OE AB AE =BE

23、J AB =12又NAOE = 3O，乂 PEA=90 .INOAE=6O* ZEAP NOAE =30 , .I PE =gpA ，设 PE = x ，贝卩 PA=2x ,根据勾股定理得x2+12=(2x)2，解得x = f (或者用ta nZEAPu )3 AE即PE的长是孑.26(1)证明：7 AI平分BACBAD DAC, BD 二 DC7BI 平分 ABC, ABI CBI7 BAD = DAC, DBC = DAC.NBAD=NDBC，又 N DBI =NDBC+NCBI，乙 DIB =NABI +NBAD DBI - DIB,2 BDI为等腰三角形BD 二 ID, BD 二 DC 二 DI(2)解：当BAC =120时， ABC为钝角三角形,圆心O在厶ABC夕卜,连结 OB、OD、OC ,DOC = BOD =2 BAD =120 ,DBC = DCB =60 , BDC为正三角形.又知 OB =10cm ,2SA BDC.BD =2OBsin60= 2 10 -3 =1O.3cm答： BDC的面积为75、.3cn1