圆的基本性质练习含答案.docx

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圆的基本性质练习含答案

圆的基本性质练习（含答案）

圆的基本性质

考点1对称性

圆既是①对称图形，又是②

对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的③。

它的对称中心是④。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：

轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2垂径定理

定理：

垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦

所对的两条__⑥。

常用推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦

，并且平分弦所对的两条⑧。

温馨提示：

垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：

（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；

（2）常用的辅助线：

连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一

条直线只要满足：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；

考点3圆心角、弧、弦之间的关系

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

⑨，所对的弦也⑩o

常用的还有：

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，

那么它们所对的圆心角—a，所对的弦

J2o

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对

的圆心角13，所对的弧14

方法点拨：

为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

温馨提示：

（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。

否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。

以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。

（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。

考点4圆周角定理及其推论

定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

15,都等于这条弧所对的圆心角的16。

推论：

半圆或直径所对的圆周角是17,

90°的圆周角所对的弦是18。

方法点拨：

定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。

温馨提示：

定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。

因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。

VV名题精解>>

例1:

如图1,正方形ABCD是OO的内接正方形，点P在劣弧cd上不同于点C得到任意一点，则/BPC的度数是（）

A.45：

B・60：

C.75D・90

例2：

如图，在LO中，.AOB的度数为m,C是ACB上一点，

D,E是AB上不同的两点（不与A，B两点重合），则D，E的度

数为（）

A・mB・180-mC.90「mD・m

222

例3:

高速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以0为圆心的圆的一部分，路面

AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）

A.5

B.7

C.

37

训练

一、选择题（每题3分，共30分）

1.（09年南宁）如图，AB是OO的直径，弦CDLAB于点E，/CDB=30°,OO的半径为..3cm，则弦CD的长为（）

A.3cmB.3cmC・2T3cmD・9cm

2

2.（09年天津市軀如图，缩BC内接于O%题/OA*28°，则/C的大小为（）

A.28°B.56°C.60°

D.62

3.（09南宁）如图,

AB是OO的直径，弦CDLAB于点E,

/CD*30°,OO的半径为3cm，则弦CD的长为（）

A・fcm

B.3cmC.2-3cmD・9cm

4.（09年安徽）如图，弦CD垂直于OO的直径AB,垂足为

H且CD=22,BD=3，则AB的长为（）

A.2B.3C.4

D.5

5.（09年安徽）△ABC中,AB=AC,/A为锐角，CD为AB

边上的高，IACD的内切圆圆心，则/AIB的度数是

（）A.120°B.125°

C.135°D.150°

6.（09年重庆）如图，O0是厶ABC的外接圆，AB是直径.若

/BOC=80°，则/A等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

7第6（题年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）

A.5米B.8米C.7米

D.53米

8.（09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横

截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）

A.0.4米B.0.5米C.0.8米D.1米

9.（09山西省太原市）如图，在Rt△ABC中,ZC=90°，

AB=10,若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D则AC的长等于（）

A.5,3

10.（09径，

B.5C.52D.6

BC是直

）

A.

D.70°

35°

B.55°

C.65°

B

cA

BA

第10第11'第

填空题（每小题3分，共30分）

年云南省）如图，AD是上的两个点,

若/D=35°,则/OAC勺度数是（

11・（09年长沙）如图，AB是OO的直径，C是OO上一点,

/BOC=44°，则/A的度数为

12.（09年长春）如图，点c在以ab为直径的上，AB=10，A=30°，贝VBC的长为

13.（09年福州）如图，AB是OO的直径，点C在OO上，

OD//AC若BD=1,贝VBC的长为

14.（09年北京市）如图，AB为OO的直径，弦CDLAB,E为bc上一点，若/CEA=28，则/ABD=—°.

A

第14

第15

第17

B

15.（09年山东青岛市）如图，AB为OO的直径，CD为OO

的弦，/ACD=42°,则/BAD=°.

16.（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点CD在以AB为直径

的OO上，且CD平分.ACB，若AB=2,/CBA=15°,贝VCD的长为.

17.（09年广东省）已知OO的直径AB=8cm,C为OO

上的一点，/BAC=30则BC=cm.

18.（09年山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，

4=70。

，乙A=40。

，则NC=—^度.

第18第20

19.（09年上海市）在OO中，弦AB的长为6,它所对应的

弦心距为4,那么半径04.

20.（09成都）如图，△ABC内接于OOA吐BC/ABC=

120°,AD为OO的直径，AD=6,那么BD=.

三、解答题（共60分）

21.（本题6分）（09年广西钦州）已知：

如图,OOi与坐

y

x

O

第图221

标轴交于A（1,0）、B（5,0）两点，点\0的纵坐标为頂•求OO1的半径.

BD

第22

22.（本题6分）（’09年四川省内江市）如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=ADZBFC=ZBAD=2ZDFC.

求证：

（1）CD!

DF;

（2）BC=I2C

第22

23.（本题6分）（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABC［中,AC是对角线，P为边CD的中点,延长AP交圆于点E.

第23

ZE=度；

25.（本题7分）（09年株洲市）如图，点a、b、c是Uo上的三点，AB//OC.

（1）求证：

AC平分.OAB.

（2）过点0作OE_AB于点E，交AC于点P.若AB=2，AOE=30，求PE的长.

26.（本题9分）（09年潍坊）如图所示，圆o是^abc的外接圆，.BAC与.ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC.

（1）求证：

BD=DC=DI；

（2）若圆O的半径为10cmBAC=120°，求厶BDC的面积.

参考答案

基础知识回放

①轴②中心③对称轴④圆心⑤弦⑥弧⑦弦⑧弧⑨相等⑩相等C相等t2相等13相等密相等15相等16—半仃直角18直径

例1、A例2、B例3、C

中考效能测试

1.B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为ZCDB=30°，所以ZCOB=600,所以在直角/COE中，OE=1CO=三,根据勾股

7722

定理可得CE=-，所以CD=2CE=3cm.

2

2.D【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。

根据圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以/AOB=ZCoVOA=OB•••/OABdOBA,又•••/OAB=28,•••/AOB=124，所以/C=62°.故选D.

3.B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为ZCDB=30°，所以ZCOB=600,所以在直角/COE中，OE=*CO=进,根据勾股定理可得CE=-，所以CD=2CE=3cm.

4.B【解析】由垂径定理，可得DH=2，所以BHn^F^i,又可得△DHBs\ADB.,所以有BD2=BH・BA,（V3）2=1汇BA,AB=3.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。

5.C【解析】由CD为腰上的高，1ACD的内心，则/IAC+

/ICA=-CBAC.BCA）=1（180°ADC）」（180°-900）=450,

222'

所以ZAIC=180°-0AB+/ICA）=1800-450=135°.又可证△AIB=△AIC,得

/AIB=/AIC=1350。

6.C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以/A是/BOC的一半，答案为C.

7.B【解析】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。

因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O,构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。

故选B。

8.D【解析】考查点：

本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。

解题思路：

根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下图形：

设圆的半径为R,则OA=R,由垂径定理可得AC=£o.8=o.4,OC=R-0.2，在RtQAC中，利用勾股定理可得：

R2=0.42（R-0.2）2,解得R=0.5，故该圆的直径为0.52=1（米）。

9.A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CDVZC=90°，D是AB中点，AB=10，ACD=!

AB=5，二BC=5,根据勾股定理得AC=53，故选A.

10.B【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。

法1:

在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍,所以ZAOC=2ZD=700，而/AOC中，AO=CO,所以ZOAC=ZOCA，而180°—/AOC=110°，所以ZOAC=550.法2:

因为EC是直径，所以ZBAC=90°，则ZOAC=900—ZBAO，而/AOB中，AO=BO,所以ZABO=ZBAO，而ZABO=ZD=35°，从而

问题得解。

11.22°【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。

根据圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为4401=220。

12.5【解析】因为AB是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又AB=10,•A=30°根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5

13.2【解析】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径，所以它所对的圆周角为直角，再根据两条直线平行,同位角相等，所以ODLBD,根据垂径定理，可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.

14.28【解析】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。

由垂径定理可知弧AC=弧AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知/ABD=28.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。

15.48【解析】连接0D，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，■AOD=84。

，又因OD=OA,

所以•BAD=/ADO=丄（18O0_■AOD）=丄（180。

_84°）=48°。

22

16•石【解析】本题考查了垂径定理的基本图形.连接OC,过点O作OE,使OE丄CD，垂足为点E，因为/ABC=15°,OB=OC,所以/OCB=

15°，ZOCE=ZBCD-/OBC=45°-15°=30°，在RtA

OCE中，CE=

OCXcos30°=1X所以CD=3.

17.4【解析】本题考察的是圆周角定理•根据直径所对的圆周角为直角可以得到/C为直角.再根据30度角所对的

1

直角边等于斜边的一半，所以BC=AB=4cm.

18.30（解析】/仁/A+ZB,ZB=30°,又C=ZB=30°.

（同弧所对的圆周角相等）本题主要考查同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而得到ZC=!

Z

仁35°.

19.5【解析】本题考查垂径定理与勾股定理。

如图，在O

O中，AB=6OCLAB于C,贝UAC弓AB=3在Rt△AOC中,

OA=JOC2+AC2=J42+于=5.

20.33【解析】因为A吐BCZABC=120°,则ZCAB=

ZACB=0。

，又AD为OO的直径，则ZABD=9。

，又AD=6,AB=3则BD=33。

提炼知识。

解：

过点O作OC丄AB垂足为C,

则有AC=BC.

图2

由A（1,0）、B（5,0），得AB=4,・・・AC=2.

在Rt△AOiC中，•・•O的纵坐标为弱，

「・OC=J5・

/.oO的半径OA=JOiC2+AC2=J（75）2+22=3・

22•证：

（1）设/DFC=e，则/BAD=20

在厶ABD中，IAB=AD?

・•・/ABD=ZADB

/ABD=12（180°-/BAD=90°-0

又/FCD=ZABD=90°-0

・•・/FCDkDFC=90°

・•・CD£DF

（2）过F作FGLBC于G

在厶FGC^HAFDC中，/FCG=ZADB=ZABD=ZFCD

/FGC=ZFDC=90°,FC=FC

・•・△FGC^AFDC

・•・GC=CD且/GFC=ZDFC

又/BFC=2/DFC

・•・/GFB=ZGFC・•・BO2GC二BC=2CD.

23•解：

（1）45.

（2）^ACP^ADEP

理由：

•・•/AED=ZACDZAPC=ZDPE

・△ACP^ADEP

（3）方法一：

•△ACP^ADEP

AP

AC

DPDE

又AP=AD2DP2=.5,

AC=AD2DC2=22,

DE=no

5

E

E

方法二:

如图2,过点D作DF_AE于点F.在Rt△ADP中，AP=AD2DP2二5,

又：

sadp」AD_DP」AP」DF

22

DE"罟

24.IAB是OO的直径，・•・/ACB=90°又:

CDLAB于点D

・•・/BCD=90°—/ABC=ZA=ZF：

/BCD==ZF,Z

FBC=ZCBG2FBC^CBG.If疇

二BC2=BGBF

OA=OC,••一C=•OAC

25.

（1）TAB//OC,.INC=NBAC；二•BAC=/OAC即AC平分OAB.

（2）：

OE—AB

•・AE=BEJAB=1

2

又NAOE=3O°，乂PEA=90°.I

NOAE=6O*•・ZEAP^NOAE=30",.IPE=gpA，设PE=x，贝卩PA=2x,

根据勾股定理得x2+12=（2x）2，解得x=f（或者用tanZEAPu^）

3AE

即PE的长是孑.

26・

（1）证明：

7AI平分BAC

BAD"DAC,BD二DC

7BI平分ABC,ABI"CBI

7BAD=DAC,DBC=DAC

「.NBAD=NDBC，又NDBI=NDBC+NCBI，乙DIB=NABI+NBADDBI-DIB,2BDI为等腰三角形

BD二ID,BD二DC二DI

（2）解：

当BAC=120°时，△ABC为钝角三角形,

圆心O在厶ABC夕卜,

连结OB、OD、OC,

DOC=BOD=2BAD=120°,

DBC=DCB=60°,

△BDC为正三角形.

又知OB=10cm,

2

SABDC

.BD=2OBsin60°=210-3=1O.3cm

答：

△BDC的面积为75、.3cn1・