小学数学北师版五年级下册九连环校本教材.docx

1、小学数学北师版五年级下册九连环校本教材小学数学北师版五年级下册第一课 九连环(一)一、起源与发展 九连环流传千年而不衰，征服了无数中外爱好者，是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠。与七巧板、华容道、鲁班锁并称为我国古代四大智力玩具。九连环在英语里的名称是The Chinese Rings ，或The Chinese Rings Puzzle。其最早可追溯到先秦时代，在战国策齐策中有这样一则故事： 秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：“齐国有不少聪明人，能否解开这玉连环？”这当然是在故意刁难齐国君臣，以显示秦国的强大。王后遍示群臣，竟没有人能解开。最后齐国的王后只好“引椎椎破之”，当然，这

2、种以毁坏性的方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。因关系到两国外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前认输，所以才想出了这么一招。 在明清时期，上至士大夫， 下至贩夫走卒， 大家都很喜欢它。 很多著名文学作品都提到过九连环， 红楼梦中就有林黛玉巧解九连环的记载。图1在国外， 数学家卡尔达诺在公元 1550 年已经提到了九连环。后来，数学家华利斯对九连环做了精辟 的分析。格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。 19世纪的格罗斯经过运算，证明解开九连环共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，

3、也需 6-8 分钟(目前最快纪录可在3分钟左右)。十连环的话，需要682步，20到40分钟才能解开。假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一步不错，一世也解不开它，因为要走57亿步，约需180年才能解开。二、结构与特点九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块木板或圆环相对固定，以解开为胜。图2古代贵族阶层玩的豪华九连环图3 九连环三、功能与特点九连环可以从小就培养青少年对数学的兴趣，寓教其中，让学生理解数学多么奥妙，多么有趣。（一）解九连环还有三大功能：1.培养学生打破思维定势，从多角度多渠道去看事物，容易找

4、出新的解决办法。2.培养学生注意力、耐心、和信心。 3.培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。(二)连环类玩具有三大特点：1.挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。2.规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。3.趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，

5、人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。（三）九连环的妙用1.当作门锁法国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼;英国人则最早于18世纪，用于农舍防盗。2. 应用于魔术表演 魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演。图4 魔术表演 3. 留客 古时候商人们都称“九连环”为“留客计”。 因为九连环游戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的手段。 第二课 九连环(二)一、九连环的具体组成与结构九连环由两部分组成，一部分称作“钗”（杆、柄都可），另一部分主要是由九个环构成的，如下图。这九个环，按照

6、从左到右依次称为第一个到第九个环，或 1 号环到 9 号环。最靠近钗把的那个环叫9号环。 每个环上都又套着一个带环杆的小环，1号环的环杆穿过2号环，2号环的环杆穿过3号环，环杆的另一端通过底板，实际上被连接在一起，从而使9个圆环形成叠错扣连的关系。九连环的奥妙就是由它的这种结构引起的。 钗1环 2环 3环 4环 5环 6环 7环 8环 9环环 底板图5 环与环杆 环杆与底板图6图7二、九连环的基本结构认识按照和钗的关系，每个环都有两个状态：在钗上或在钗下，简称在上和在下。图 8中的九个环都在钗上，而图 9中的九个环都在钗下。我们用九个数字表示九个环的状态， 0 表示在钗下， 1 表示在钗上。如

7、 001100010 表示从左到右第 3 ， 4 ， 8 三个环状钗上，其余的环在钗下。图8九个环都在钗上，表示为111111111 图9九个环都在钗下，表示为000000000 所谓玩九连环，或者说解九连环，就是把原来不在钗上的环套在钗上，我们称为某环“上去”或者“上”某环；或者相反，使原来在钗上的环不再在钗上，我们称为某环“下来”，或者“下”某环。一般玩九连环，就是当九个环都不在钗上时，把九个环都上上去；或者当九个环都在钗上时，把它们都下下来，也就是从在状态 000000000 到状态 111111111 ，或者相反。当然，也可以有其他过程，即从某一个状态到另一个状态。 玩九连环，习惯左手

8、拿环的部分，右手拿钗，如图10。图10 玩九连环，右手在反复往返动作，而左手手指在不停的做着把环套上或卸下的动作，正是活动左手的运动。大家都知道，活动左手可以开发右脑，这也是的九连环的一个作用。 三、九连环的四个规则 试着玩几下，就可以发现九连环有三个基本动作，其中只改变一个环的状态的（每次只能把一个环上或者下）有以下两个动作：1. 基本动作 任何时候可以改变 1 号环的状态，即：当 1 号环在上的时候，可以下 1 号环；当 1 号环在下的时候，可以上 1 号环。注意这两个动作只能进行其一。 下面几图表示了这个动作。 开始状况 0000000001 号环上升把 1 号环从钗中间向上穿过 钗稍后

9、移， 1 号环向下倾斜使钗从 1 号环中穿过 至此， 1 号环上去了，状态变为 100000000 。如果是反过来进行，就是下 1 号环。我们把上或下 1 号环都称作动作P 。2. 基本动作 可以改变”第一个在上的环”的下一个环（指右边的一个环，如果右边没有环，当然不能做此动作）的状态。注意这里“第一个在上的环”并不是“ 1 号环”。例如，当仅有 1 号环在上时即状态 100000000 ，这 1 号环就是第一个在上的环，可以改变它右面即 2 号环的状态：原来在上可以下，原来在下可以上。又如当仅有 5 号环和 8 号环在上时即状态 000010010 ，第一个在上的环就是 5 号环，此时可以改

10、变 6 号环的状态：原来在上可以下，原来在下可以上。操作方法如下图。状态 000010010 ，即仅有 5 号和 8 号环在上6号环升高，从拆中穿过6号环降低,钗前移穿过 5 ，6 号环 至此， 6 号环上去了，状态变为 000011010 。当然，如果是反过来进行，就是下这第二个在上的环。我们把上或下第二个在上的环都称作动作Q 。 注意，所有环都在下的状态 000000000 ，或者仅有最后一个环（第九个环）在上的状态 000000001 ，是不能做动作 Q的，因为前者没有第一个在上的环，后者第一个在上的环右面没有环了。其他状态都可以做这个动作。同时改变两个环的状态，仅有一个动作：3. 简化

11、动作 1 号 2 号环状态相同时可以同时改变状态，即当 1 号 2 号环都在上时可以一次操作同时下来；当 1 号 2 号环都在下时可以一次操作同时上去。操作与仅 1 号环上或下相似，见下面图示。状态 000000000第1 ，2 号环上升由钗中穿过钗后移第 1,2 号环向下倾斜，钗从中穿过，成为状态 110000000同时上或下 1 号 2 号环称作动作 R。当然，如果 1 ， 2 号环有一个在上而另一个在下，不能进行动作 R。 这样，任何状态都可以进行动作P；除了状态 000000000 和 000000001 外，都可进行动作 Q；状态 00* 或 11* 可以进行动作 R。九连环只有这三

12、个基本动作可以一次进行，其他动作都是相继进行这三个动作。 有一个重要的限制。每种动作如果连续进行两次，例如 PP，那就是刚上了 1 号环，又下 1 号环；或者刚下了 1 号环，又上 1 号环。又如 QQ，那就是刚上了第二个在上的环，紧跟着又下这个环；或者是刚下了第二个在上的环，紧跟着又上这个环。再如 RR，是刚下了第 1 ， 2 号环，又上这两个环；或者刚上了第 1 ， 2 号环，又下这两个环。这都是刚刚向目标前进了一步，又原路后退一步，白费了功夫，而九连环的状态没有改变。反之，只要不连续做同一个动作，就不会原路退回。因此，在实际玩九连环时，应该规定：4. 不重复规则动作 P、 Q、 R都不可

13、连续重复做两次。 以上四点，就是九连环的玩法的全部依据，可以称为四个规则。第三课 九连环(三)九连环的解法 掌握了九连环的基本原则以后，我们可以学习九连环的解法了。为此，我们先看一个各环上、下的可能性。 对于1号环，由于没有别的环的环杆约束它，所以可以自由上下，这是没有疑问的。 对于2号环，由于1号环的环杆从其中穿过，受到约束，所以它可以同1号环“随动”，即随同1号环一起上下。如果2号环要单独下，则1号环必须留在钗上，否则的话，由于1号环的杆是穿过2号环的，而1号环已经从钗上脱下，它的环杆已在钗外，这将阻止2号环在左移过柄钗后返回，重新从两根横杆中间落下，也就是说无法下环。因此2号环单独下的必

14、要条件是1号环留在柄钗上。 至于上2号环时，1号环在钗上还是钗下均可，1号环在钗下时由于1号环的环杆是穿过2号环的，在2号环上时，将连带着把1号环也带到内侧横杠上方“浮”着，只要把它推过钗端即可。对于3号环的下，我们看到，若1，2号环同时在钗上，则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗，而若1，2号环均在钗下，则2号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗从两个横杠中落下，都是无法实现的，因此，只有当1号环在钗下，而2号环在钗上是，3号环才能下。反之亦然。往下，对4号环、5号环的上下，就都同3号环类似了，也就是，只有当它前面紧邻的一个环在钗上，再前面的所有环都在柄下时，这个环才有可能上下。用数学方法表达的话

15、，其规则是：如果只有n号环在钗上，则n+1号环就可以从钗上取下或装上。因此，如果想要取下9号环，则8号环必须在钗上，而1-7号环又都必须在钗下；如果取下7号环，则6号环必须在钗上，而小于6号的环都应先取下；如果取下5号环，则4号环必须在钗上而先要将1-3号环取下这样，在玩九连环时要把9个环都从钗上取下，第一步应取下1号环，而不可将1、2号环同时取下。总结：九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：(一)第n-1个环在架上；(二)n-1个环前面的环全部不在架上。 一句话概括： 后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻 的那个环。 解法的本质：解n连环，就是先解一个n-2连环，再解最后一个环，再上n-2连环，再解n-1连环；每一个环的上法：从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入；每一个环的下法：从杆的顶端解套并从手柄的中间下放。下面，给出取下九连环的全过程。其中12上、12下指的是1号环和2号环同时上下，这算一步。基本练习（一）第1环：自由上下（1上1下）1