小学数学北师版五年级下册九连环校本教材.docx

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小学数学北师版五年级下册九连环校本教材

小学数学北师版五年级下册

第一课九连环

（一）

一、起源与发展

九连环流传千年而不衰，征服了无数中外爱好者，是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠。

与七巧板、华容道、鲁班锁并称为我国古代四大智力玩具。

九连环在英语里的名称是TheChineseRings，或TheChineseRingsPuzzle。

其最早可追溯到先秦时代，在《战国策·齐策》中有这样一则故事：

秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：

“齐国有不少聪明人，能否解开这玉连环？

”这当然是在故意刁难齐国君臣，以显示秦国的强大。

王后遍示群臣，竟没有人能解开。

最后齐国的王后只好“引椎椎破之”，当然，这种以毁坏性的方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。

因关系到两国外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前认输，所以才想出了这么一招。

在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。

很多著名文学作品都提到过九连环，《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的记载。

图1

在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。

后来，数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。

格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。

19世纪的格罗斯经过运算，证明解开九连环共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。

解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也需6-8分钟（目前最快纪录可在3分钟左右）。

十连环的话，需要682步，20到40分钟才能解开。

假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一步不错，一世也解不开它，因为要走57亿步，约需180年才能解开。

二、结构与特点

九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：

每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块木板或圆环相对固定，以解开为胜。

图2古代贵族阶层玩的豪华九连环

图3九连环

三、功能与特点

九连环可以从小就培养青少年对数学的兴趣，寓教其中，让学生理解数学多么奥妙，多么有趣。

（一）解九连环还有三大功能：

1.培养学生打破思维定势，从多角度多渠道去看事物，容易找出新的

解决办法。

2.培养学生注意力、耐心、和信心。

3.培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。

（二）连环类玩具有三大特点：

1.挑战性。

任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。

因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。

2.规律性。

智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。

3.趣味性。

伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。

苏霍姆林斯基说：

“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。

而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。

”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。

挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。

（三）九连环的妙用

1.当作门锁

法国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼;英国人则最早于18世纪，用于农舍防盗。

2.应用于魔术表演

魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演。

图4魔术表演

3.留客

古时候商人们都称“九连环”为“留客计”。

因为九连环游戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的手段。

第二课九连环

（二）

一、九连环的具体组成与结构

九连环由两部分组成，一部分称作“钗”（杆、柄都可

）， 另一部分主要是由九个环构成的，如下图。

这九个环，按照从左到右依次称为第一个到第九个环，或1号环到9号环。

最靠近钗把的那个环叫9号环。

每个环上都又套着一个带环杆的小环，1号环的环杆穿过2号环，2号环的环杆穿过3号环，……环杆的另一端通过底板，实际上被连接在一起，从而使9个圆环形成叠错扣连的关系。

九连环的奥妙就是由它的这种结构引起的。

钗

1环2环3环4环5环6环7环8环9环

环底板

图5

环与环杆环杆与底板

图6

图7

二、九连环的基本结构认识

按照和钗的关系，每个环都有两个状态：

在钗上或在钗下，简称在上和在下。

图8中的九个环都在钗上，而图9中的九个环都在钗下。

我们用九个数字表示九个环的状态，0表示在钗下，1表示在钗上。

如001100010表示从左到右第3，4，8三个环状钗上，其余的环在钗下。

图8九个环都在钗上，表示为111111111

图9九个环都在钗下，表示为000000000

 所谓玩九连环，或者说解九连环，就是把原来不在钗上的环套在钗上，我们称为某环“上去”或者“上”某环；或者相反，使原来在钗上的环不再在钗上，我们称为某环“下来”，或者“下”某环。

一般玩九连环，就是当九个环都不在钗上时，把九个环都上上去；或者当九个环都在钗上时，把它们都下下来，也就是从在状态000000000到状态111111111，或者相反。

当然，也可以有其他过程，即从某一个状态到另一个状态。

  玩九连环，习惯左手拿环的部分，右手拿钗，如图10。

图10

玩九连环，右手在反复往返动作，而左手手指在不停的做着把环套上或卸下的动作，正是活动左手的运动。

大家都知道，活动左手可以开发右脑，这也是的九连环的一个作用。

三、九连环的四个规则  

试着玩几下，就可以发现九连环有三个基本动作，其中只改变一个环的状态的（每次只能把一个环上或者下）有以下两个动作：

1.基本动作①．

任何时候可以改变1号环的状态，即：

当1号环在上的时候，可以下1号环；当1号环在下的时候，可以上1号环。

注意这两个动作只能进行其一。

  下面几图表示了这个动作。

开始状况000000000

1号环上升

把1号环从钗中间向上穿过

钗稍后移，1号环向下倾斜

使钗从1号环中穿过

至此，1号环上去了，状态变为100000000。

如果是反过来进行，就是下1号环。

我们把上或下1号环都称作动作P。

2.基本动作②．

可以改变”第一个在上的环”的下一个环（指右边的一个环，如果右边没有环，当然不能做此动作）的状态。

注意这里“第一个在上的环”并不是“1号环”。

例如，当仅有1号环在上时即状态100000000，这1号环就是第一个在上的环，可以改变它右面即2号环的状态：

原来在上可以下，原来在下可以上。

又如当仅有5号环和8号环在上时即状态000010010，第一个在上的环就是5号环，此时可以改变6号环的状态：

原来在上可以下，原来在下可以上。

操作方法如下图。

状态000010010，即仅有5号和8号环在上

6号环升高，从拆中穿过

6号环降低,钗前移穿过5，6号环

至此，6号环上去了，状态变为000011010。

当然，如果是反过来进行，就是下这第二个在上的环。

我们把上或下第二个在上的环都称作动作Q。

 注意，所有环都在下的状态000000000，或者仅有最后一个环（第九个环）在上的状态000000001，是不能做动作Q的，因为前者没有第一个在上的环，后者第一个在上的环右面没有环了。

其他状态都可以做这个动作。

同时改变两个环的状态，仅有一个动作：

3.简化动作  1号2号环状态相同时可以同时改变状态，即当1号2号环都在上时可以一次操作同时下来；当1号2号环都在下时可以一次操作同时上去。

操作与仅1号环上或下相似，见下面图示。

状态000000000

第1，2号环上升由钗中穿过

钗后移

第1,2号环向下倾斜，钗从中穿过，成为状态110000000

同时上或下1号2号环称作动作R。

当然，如果1，2号环有一个在上而另一个在下，不能进行动作R。

 这样，任何状态都可以进行动作P；除了状态000000000和000000001外，都可进行动作Q；状态00*******或11*******可以进行动作R。

九连环只有这三个基本动作可以一次进行，其他动作都是相继进行这三个动作。

  有一个重要的限制。

每种动作如果连续进行两次，例如PP，那就是刚上了1号环，又下1号环；或者刚下了1号环，又上1号环。

又如QQ，那就是刚上了第二个在上的环，紧跟着又下这个环；或者是刚下了第二个在上的环，紧跟着又上这个环。

再如RR，是刚下了第1，2号环，又上这两个环；或者刚上了第1，2号环，又下这两个环。

这都是刚刚向目标前进了一步，又原路后退一步，白费了功夫，而九连环的状态没有改变。

反之，只要不连续做同一个动作，就不会原路退回。

因此，在实际玩九连环时，应该规定：

4.不重复规则  动作P、Q、R都不可连续重复做两次。

以上四点，就是九连环的玩法的全部依据，可以称为四个规则。

第三课九连环（三）

九连环的解法

掌握了九连环的基本原则以后，我们可以学习九连环的解法了。

为此，我们先看一个各环上、下的可能性。

对于1号环，由于没有别的环的环杆约束它，所以可以自由上下，这是没有疑问的。

对于2号环，由于1号环的环杆从其中穿过，受到约束，所以它可以同1号环“随动”，即随同1号环一起上下。

如果2号环要单独下，则1号环必须留在钗上，否则的话，由于1号环的杆是穿过2号环的，而1号环已经从钗上脱下，它的环杆已在钗外，这将阻止2号环在左移过柄钗后返回，重新从两根横杆中间落下，也就是说无法下环。

因此2号环单独下的必要条件是1号环留在柄钗上。

至于上2号环时，1号环在钗上还是钗下均可，1号环在钗下时由于1号环的环杆是穿过2号环的，在2号环上时，将连带着把1号环也带到内侧横杠上方“浮”着，只要把它推过钗端即可。

对于3号环的下，我们看到，若1，2号环同时在钗上，则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗，而若1，2号环均在钗下，则2号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗从两个横杠中落下，都是无法实现的，因此，只有当1号环在钗下，而2号环在钗上是，3号环才能下。

反之亦然。

往下， 对4号环、5号环……的上下，就都同3号环类似了，也就是，只有当它前面紧邻的一个环在钗上，再前面的所有环都在柄下时，这个环才有可能上下。

用数学方法表达的话，其规则是：

如果只有n号环在钗上，则n+1号环就可以从钗上取下或装上。

因此，如果想要取下9号环，则8号环必须在钗上，而1-7号环又都必须在钗下；如果取下7号环，则6号环必须在钗上，而小于6号的环都应先取下；如果取下5号环，则4号环必须在钗上而先要将1-3号环取下……这样，在玩九连环时要把9个环都从钗上取下，第一步应取下1号环，而不可将1、2号环同时取下。

总结：

九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。

要想下/上第n个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：

（一）第n-1个环在架上；

（二）n-1个环前面的环全部不在架上。

一句话概括：

后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻的那个环。

解法的本质：

解n连环，就是先解一个n-2连环，再解最后一个环，再上n-2连环，再解n-1连环；

每一个环的上法：

从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入；

每一个环的下法：

从杆的顶端解套并从手柄的中间下放。

下面，给出取下九连环的全过程。

其中12上、12下指的是1号环和2号环同时上下，这算一步。

基本练习

（一）

第1环：

自由上下（1上1下）

1～