完整数值分析学期期末考试试题与答案A推荐文档.docx

1、完整数值分析学期期末考试试题与答案A推荐文档期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业1000 11.用计算机求 11000 时，应按照 n 从小到大的顺序相加。n1n2.为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2 进行计算。 ( )2001 19993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 ( )4.采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高， 数值解越精确。( )5.用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。 ( )二、

2、填空题(每空2 分，共 36 分)1. 已知数a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 ，相对误差限为 _10 1 02. 设 A02 1 ,x 5 ,则 A 1 _， x 2 ， Ax13 0 13. 已知 f (x) 2x5 4x3 5x,则 f 1,1,0 , f 3, 2, 1,1,2,3 .14. 为使求积公式 f (x)dx A1f ( 3) A2f (0) A3f ( 3 )的代数精度尽量高，应使1 3 3A1 ， A2 ， A3 ，此时公式具有 次的代数精度。5. n阶方阵 A的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B时，使

3、迭代公式 X(k 1) MX(k) N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列 X (k) 收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组 AX B时，系数矩阵 A可以分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵U 的乘积，即 A LU. 若采用高斯消元法解 AX B，其中 A 4 2 ，则21L ，U ；若使用克劳特消元法解 AX B ，则u11 ；若使用平方根方法解 AX B，则 l11与 u11的大小关系为 （选填： ，=，不一定）。y x y8. 以步长为 1 的二阶泰勒级数法求解初值问题 的数值解，其迭代公式为y（0） 1三、计算题（第 13、 6小题每题 8 分，第 4、5 小题每题

4、 7 分，共 46 分）31. 以 x0 2为初值用牛顿迭代法求方程 f （x） x3 3x 1 0在区间 （1,2） 内的根，要求 （1 ） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算 x1,x2, 计算结果取到小数点后 4 位）。2. 给定线性方程组x1 0.4x2 0.4x3 10.4x1 x2 0.8x3 20.4x1 0.8x2 x3 31 ) 分别写出用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；2) 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3. 已知函数 y f (x) 在如下节点处的函数值x-1012y

5、14301) 建立以上数据的差分表；2) 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式 P2(x)，并计算 y(1.1) 的近似值；3) 采用事后估计法计算( 2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数) 。4. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y12505. 已知函数 y f ( x)在以下节点处的函数值，利用差商表求 f (3)和 f (3) 的近似值。x134y2186.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列 常微分方程的数值解。(0 x 1, h 0.2)22 y x2 y2 y(0) 0四、(8 分)已知 n+1个数据点

6、 (xi, yi)(i 0,1,2,L , n) ，请用多种方法建立这些数据点之间 的函数关系，并说明各种函数的适用条件。期末考试答案及评分标准（ A 卷）2007 学年第二学期考试科目： 数值分析一、判断题：1. 2.每小题 2 分，共 10 分） 3.4. 5. 二、填空题：每空 2 分，共 36 分）1.0.005或 0.510 2 ，0.52.5, 26,153.0,24.1,0,1,35.(A)6.10427.1, 1,10228.yn1 yn1(xn yn ) 12(1xn yn) 或 yn 1 1.5xn 2.5yn 0.5,三、解答题（第1 4 小题每题 8分，第 5、6小题每

7、题 7分，共 46 分）1.（1）证明：f (x) x3 3x1，由于a)f (1)3 0, f(2) 10,b)f (x)3x2 3 0(x (1,2),c)f (x)6x 0 (x(1,2), 即 f (x)在 (1,2)上不变号，d)对于初值 x0 2 ，满足f (2) f (2) 0,(M)n 0,1,2,L所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。4分2）解：牛顿迭代法的迭代公式为xn 1xnf(xn)f (xn)xn3 3xn 1 xn 3xn2 32分取初值 x0 2 进行迭代，得x11.8889,2. 解：（1） Jacobi 迭代公式为x21.8795.(k 1)x10.4x2(k

8、)0.4x3(k)(k 1)x20.4 x 1( k)0.8 x3(k )(k 1)x30.4 x 1( k)0.8 x2(k )Gauss-Seidel 迭代公式为(k 1)x10.4 x(2k )0.4 x(3k )(k 1)x20.4 x1( k 1)0.8 x 3( k )(k 1)x30.4 x1( k 1)0.8 x 2( k（ 2 ） Jacobi 迭 代 矩 阵的特征方程为1231230.41)0.40.40.80.40.80，展3 0.960.256 0 ，即 ( 0.8)( 0.40.505)(0.4 0.505)0，从而得 1-1.0928, 2 0.8000, 3 0.

9、2928或由单调性易判断必有一个大于的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于所以Jacobi 迭代法发散。2分Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.80.40.80，展开得( 2 0.832 0.128) 0 ，解得 10, 20.628,3 0.204, 迭代矩阵的谱半径小于 1，所以 Gauss-Seidel 迭代法收敛。2分3. 解：（1 ）建立差分表xyy2y3y113041421332202分(2)建立牛顿后插公式为32P2(x) 0 1!(x 2) 2!(x 2)(x 1)3(x 2) (x 2)(x 1)x2 4则所求近似值为P2 (1.1) 2.

10、79 3 分(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为(1) 1 4P2(1)(x) 3 1!(x 1) 2!(x 1)x3 (x 1) 2x(x 1)2x2 x 4 则 P2(1)(1.1) 2.68根据事后误差估计法R2(x) x 2 P2 (0.9) P2(1) ( 0.9)x1 故截断误差0.9 R2(1.1) (2.79 2.68) 0.04712.1 3 分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x)a0 a1xa2x . 根据已知数据，得1111a01002M,Aa1 ,Y1115a21240则2分4268MM268 ,M Y468186 1 分建立法方程组为426a0 826

11、8a1 46818a2 6 2 分 解得a0 3.5, a1 1.5, a21.5. 1 分从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)3.521.5x 1.5x2.1分5. 解：设 P2(x) 为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：xy一阶差商二阶差商14333281P2(3)P2(3)27 P23, 3 P23, 352 P24,3,3 P23,3,3 2 分 因为二次多项式的二阶差商为常数，又 P2(x)是 f(x) 的插值函数，故有5P24,3,3 P23,3,3 2 2 分因此得9P23, 3 2 ，1分由于f (k)(x) k!Pn1x,4x4,2x,L443,x，k1从

12、而得9f (3) P23,3 2,f (3) 2!P23,3,3 5. 2 分6. 解：前进欧拉公式： yn 1yn h f (xn,yn)yn20.2xn220.2 yn2 1分后退欧拉公式： yn 1 ynh f (xn 1,yn 1)yn20.2 xn2 120.2 yn2 1 1 分预估时采用欧拉公式* 2 2 yn* 1 yn 0.2xn2 0.2yn21分校正时采用后退欧拉公式yn 12yn 0.2xn 1*20.2 yn* 1由初值 x0 0,y0 0,h0.2知，节点分别为xi 0.2i, (i 1,2,3, 4,5) 1 分当 x1 0.2,y12y0 0.2x020.2y0

13、20,y1 y020.2x12 0.2*2 y1*0.008 ， 1 分当 x2 0.4,* 2 2y*2 y1 0.2x12 0.2 y12 0.0160,四、(8 分)答： 1、可以建立插值函数：( 1 ) Newton 基本差商公式Pn(x) f (x0) (x x0)fx1,x0 (x x0)(x x1)fx2,x1,x0L (x x0)(x x1)L (x xn 1)fxn,L ,x1,x0 1 分 ( 2)Lagrange 插值多项式Ln(x) a0f (x0) a1f (x1) L ai f (xi) L anf (xn) (x x0)L (x xi 1)(x xi 1)L (x xn)(xi x0)L (xi xi 1)(xi xi 1)L (xi xn ) 1 分 这两类插值函数的适用条件是： n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。 2 分2、可以建立拟合函数：Pm(x)a0 a1xa2x2 Lmamx1分其中系数 a0,a1,a2,L ,an 满足法方程组M MA1x02x02Kmx0ma0M1x12x12Kmx11 ,Aa11 ,YKKKKKL1xn2 xnKm xnamMY,f(x0) f (x1) Lf (xn)y0y1 L yn1分拟合函数的适用条件是：数据点本身的误差较大。n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知2分