完整数值分析学期期末考试试题与答案A推荐文档.docx
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完整数值分析学期期末考试试题与答案A推荐文档
期末考试试卷（A卷）
2007学年第二学期考试科目：
数值分析考试时间：
120分钟
学号姓名年级专业
10001
1.用计算机求11000时，应按照n从小到大的顺序相加。
n1n
2.为了减少误差,应将表达式20011999改写为2进行计算。
（）
20011999
3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（）
4.采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（）
5.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有
关，与常数项无关。
（）
二、填空题（
每空
2分，共36分）
1.已知数
a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为
，相对误差限为_
1
010
2.设A
0
21,x5,则A1
_，x2，Ax
1
301
3.已知f（x）2x54x35x,则f[1,1,0],f[3,2,1,1,2,3].
1
4.为使求积公式f（x）dxA1f（3）A2f（0）A3f（3）的代数精度尽量高，应使
133
A1，A2，A3，此时公式具有次的代数精度。
5.n阶方阵A的谱半径（A）与它的任意一种范数A的关系是.
6.用迭代法解线性方程组AXB时，使迭代公式X（k1）MX（k）N（k0,1,2,K）产生的向量序列X（k）收敛的充分必要条件是.
7.使用消元法解线性方程组AXB时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L和上三角矩
阵U的乘积，即ALU.若采用高斯消元法解AXB，其中A42，则
21
L，U；若使用克劳特消元法解AXB，则
u11；若使用平方根方法解AXB，则l11与u11的大小关系为（选填：
＞，
＜，=，不一定）。
yxy
8.以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为
y（0）1
三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）
3
1.以x02为初值用牛顿迭代法求方程f（x）x33x10在区间（1,2）内的根，要求
（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；
（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算x1,x2,计算结果
取到小数点后4位）。
2.给定线性方程组
x10.4x20.4x31
0.4x1x20.8x32
0.4x10.8x2x33
1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；
2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3.已知函数yf（x）在如下节点处的函数值
x
-1
0
1
2
y
1
4
3
0
1）建立以上数据的差分表；
2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2（x），并计算y（1.1）的近似值；
3）采用事后估计法计算
（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。
4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
x
-1
0
1
2
y
1
2
5
0
5.已知函数yf（x）在以下节点处的函数值，利用差商表求f（3）和f（3）的近似值。
x
1
3
4
y
2
1
8
6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。
（0x1,h0.2）
22yx2y2y（0）0
四、（8分）已知n+1个数据点（xi,yi）（i0,1,2,L,n），请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
期末考试答案及评分标准（A卷）
2007学年第二学期
考试科目：
数值分析
一、判断题：
1.×2.
每小题2分，共10分）√3.
4.×
5.×
二、填空题：
每空2分，
共36分）
1.
0.005或0.5
102，
0.5
2.
5,26,15
3.
0,2
4.
1,0,1,3
5.
（A）
6.
10
42
7.
1
1,
1
02
2
8.
yn
1yn
1
（xnyn）12（1
xnyn）或yn11.5xn2.5yn0.5,
三、
解答题（第
1～4小题每题8
分，第5、6小题每题7分，共46分）
1.
（1）证明：
f（x）x33x
1，由于
a）
f
（1）
30,f
（2）1
0,
b）
f（x）
3x230
（x（1,2））,
c）
f（x）
6x0（x
（1,2））,即f（x）在（1,2）上不变号，
d）
对于初值x02，满足
f
（2）f
（2）0,
（M）
n0,1,2,L
所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
4分
2）解：
牛顿迭代法的迭代公式为
xn1
xn
f（xn）
f（xn）
xn33xn1xn3xn23
2分
取初值x02进行迭代，得
x1
1.8889,
2.解：
（1）Jacobi迭代公式为
x2
1.8795.
（k1）
x1
0.4x2（k）
0.4x3（k）
（k1）
x2
0.4x1（k）
0.8x3（k）
（k1）
x3
0.4x1（k）
0.8x2（k）
Gauss-Seidel迭代公式为
（k1）
x1
0.4x（2k）
0.4x（3k）
（k1）
x2
0.4x1（k1）
0.8x3（k）
（k1）
x3
0.4x1（k1）
0.8x2（k
（2）Jacobi迭代矩阵
的特征
方程为
1
2
3
1
2
3
0.4
1）
0.4
0.4
0.8
0.4
0.8
0，展
30.96
0.2560，即（0.8）（0.4
0.505）（
0.40.505）
0，
从而得1
-1.0928,20.8000,30.2928
或由单调性易判断必有一个大于
的特征根，）
因此迭代矩阵的谱半径等于必大于
所以
Jacobi迭代法发散。
2分
Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为
0.4
0.4
0.4
0.8
0.4
0.8
0，展开得
（20.8320.128）0，解得1
0,2
0.628,
30.204,迭代矩阵的谱半径
小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收敛。
2分
3.解：
（1）建立差分表
x
y
y
2
y
3
y
1
1
3
0
4
1
4
2
1
3
3
2
2
0
2分
（2）建立牛顿后插公式为
32
P2（x）01!
（x2）2!
（x2）（x1）
3（x2）（x2）（x1）
x24
则所求近似值为
P2（1.1）2.79⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为
（1）14
P2
（1）（x）31!
（x1）2!
（x1）x
3（x1）2x（x1）
2x2x4则P2
（1）（1.1）2.68
根据事后误差估计法
R2（x）x2P2（0.9）P2
（1）（0.9）
x1故截断误差
0.9R2（1.1）（2.792.68）0.0471
2.1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
4.解：
设所求二次最小平方逼近多项式为
P2（x）
a0a1x
a2x.根据已知数据，得
1
1
1
1
a0
1
0
0
2
M
A
a1,Y
1
1
1
5
a2
1
2
4
0
则
2分
4
2
6
8
MM
2
6
8,MY
4
6
8
18
6
⋯⋯⋯⋯1分
建立法方程组为
4
2
6
a08
2
6
8
a14
6
8
18
a26
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分解得
a03.5,a11.5,a2
1.5.
⋯⋯⋯1分
从而得所求一次最小平方逼近多项式为
P1（x）
3.5
2
1.5x1.5x2.
1分
5.解：
设P2（x）为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表：
x
y
一阶差商
二阶差商
1
4
3
3
3
2
8
1
P2（3）
P2（3）
2
7P2[3,3]P2[3,3]
5
2P2[4,3,3]P2[3,3,3]
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2（x）是f（x）的插值函数，故有
5
P2[4,3,3]P2[3,3,3]2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
因此得
9
P2[3,3]2，
1分
由于
f（k）（x）k!
Pn[1x,4x4,2x,L443,x]，
k1
从而得
9
f（3）P2[3,3]2,
f（3）2!
P2[3,3,3]5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
6.解：
前进欧拉公式：
yn1
ynhf（xn,yn）
yn
2
0.2xn2
2
0.2yn2⋯⋯⋯
⋯1分
后退欧拉公式：
yn1yn
hf（xn1,yn1）
yn
2
0.2xn21
2
0.2yn21⋯
⋯1分
预估时采用欧拉公式
*22yn*1yn0.2xn20.2yn2
1分
校正时采用后退欧拉公式
yn1
2
yn0.2xn1
*2
0.2yn*1
由初值x00,y00,h
0.2知，
节点分别为
xi0.2i,（i1,2,3,4,5）
⋯1分
当x10.2,
y1
2
y00.2x0
2
0.2y02
0,
y1y0
2
0.2x120.2
*2y1*
0.008，
⋯⋯⋯1分
当x20.4,
*22
y*2y10.2x120.2y120.0160,
四、（8分）
答：
1、可以建立插值函数：
（1）Newton基本差商公式
Pn（x）f（x0）（xx0）f[x1,x0]（xx0）（xx1）f[x2,x1,x0]
L（xx0）（xx1）L（xxn1）f[xn,L,x1,x0]
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
（2）Lagrange插值多项式
Ln（x）a0f（x0）a1f（x1）Laif（xi）Lanf（xn）
（xx0）L（xxi1）（xxi1）L（xxn）
（xix0）L（xixi1）（xixi1）L（xixn）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分这两类插值函数的适用条件是：
n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
2、可以建立拟合函数：
Pm（x）
a0a1x
a2x2L
m
amx
1分
其中系数a0,a1,a2,L,an满足法方程组
MMA
1
x0
2
x02
K
m
x0m
a0
M
1
x1
2
x12
K
m
x1
1,A
a1
1,Y
K
K
K
K
K
L
1
xn
2xn
K
mxn
am
MY,
f（x0）f（x1）L
f（xn）
y0
y1Lyn
1分
拟合函数的适用条件是：
数据点本身的误差较大。
n比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知
2分
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