概率论与数理统计习题集及答案.docx

1、概率论与数理统计习题集及答案概率论与数理统计作业集及答案第1章概率论的基本概念 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S ;(2)枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= ;2.(1) 丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= ; B:数点大于2，则B=(2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，则 A= ;B:两次出现同一面，则 = ; C :至少有一次出现正面，则 C= 1 .2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件，用 A B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生，

2、而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为： .(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B C中至少二个发生表示为： .(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设 S x:0 x 5, A x: 1 x 3, B x: 2 4:贝U(1) AB,(2) AB,(3) Ab(4)AB =(5) AB =o 1.3概率的定义和性质1.已知 P(A B)0.8, P(A)0.5, P(B) 0.6，贝U(1)P(AB),(2)(P(A B)= ,P(A B)2.已知 P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则 P(AB)= . 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8

3、个女同学，随机地选10个，求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率 . 1 .5条件概率与乘法公式1 丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7，则其中一颗为1的概率是 。2.已知 P(A) 1/4, P(B | A) 1/3, P(A| B) 1/2，则 P(A B) 。 1 .6 全概率公式1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有 5个红球5个白球，随机地取

4、一盒，从中随机地取一个球，求取 到红球的概率。 1 .7贝叶斯公式1某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求(1 )该厂产品能出厂的概率，(2)任取一出厂产品，求未经调试的概率。2将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时， A被误收作B的概率为0.02 ,B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为 3 : 2 ，若接收站收到的信息是 A,问原发信息是A的概率是多少？ 1 .8随机事件的独立性1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 的概率。Bp,求L与R为通2.路（用T表示）

5、ALC D 1 .1 1: (1) S HHH ,HHT ,HTH ,THH , HTT,THT,TTH ,TII；(2) S 0, 1,2, 32: (1) A 1, 3,5 B 3, 4, 5, 6;甲，乙丙三人向同一目标各射击一次， 命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中,（1）恰好命中一次,（2）至少命中一次。第1章作业答案(2)，B相互独立，求下列概率： 1 .2 1:(1)ABC ; (2)ABC；(3) ABC ; (4) A B C ; (5)ABACBC ;(6)A BACB C或 ABC A BC ABC A BC ;2:(1) A Bx:1x4 ; (2) AB x

6、:2x 3 ; (3) ABx：3 x4;(4 /AB x:0x 1 或 2 x 5;(5)Ab x：1x4。 1 .3 1:(1)P(AB) =0.3, (2)P(A B) = 0.2, (3)P(A B) = 0.7. 2:P(AB) )=0.4正正，正反正正，反反, C 正正，正反，反正。c8cJ2)/c30.（1）c；c；2/c30,（2）（c20 c8c；2 c；c；2）/c3； ,（3）1-（ c；01 .41:2： P43 /43.1 .51 .61: . 2/6; 2: 1/4。1:设A表示第一人“中”，则P(A) = 2/10设 B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)

7、P(B|A) + P( A)P(B| A)1 .71 .8.= z 1 旦？10 9 10 9两人抽“中的概率相同，与先后次序无关。2: 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是p = 0.5 X 0.4 + 0.51: (1 / 94% (2 / 70/94;1 : 用A,B,C,D表示开关闭合，于从而，由概率的性质及 A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)=P(A)P(B) + P(C)P(D) - P(A)P(B)P(C)P(D)2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0

8、.6=0.38(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.100.5，所求概率为:X 0.5 = 0.452: 0.993;是 T = AB U CD,第2章随机变量及其分布 2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球，从中随机地取 3个，用X表示取出的3个球 中的最大号码，试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是 0.4，次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X表示射击的次数，试写出X的分布律。 2.2 0 1分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X是服从入=4的泊松分布，求(1)每

9、分钟恰有1次呼叫的概率； 每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量 X有分布律：X 2 3 , Y n (X), 试求：p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y w 2); (2)P(Y w 2); (3)已知 Y 1)，(2)写出 X 的分布律。Ax2设随机变量X的分布函数是：F(x) = 1 :0 2.5 连续型随机变量1设连续型随机变量 X的密度函数为：f(x)(1)求常数k的值；(2)求X的分布函数(3)用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).2,求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2假设打一次电话所用时间(单位：分) X服从

10、 0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；(2)10分钟 到20分钟的概率。 2.7 正态分布1 随机变量 X N (3, 4), 求 P(2X 5) , P(-4X 2), P(X3);(2)确定 c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2某产品的质量指标 X服从正态分布，卩=160,若要求P(120X0.80，试问最多取多大？2(1 x) 0 x 1 2.8 随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为；X012p0.30.40.3Y = 2X -1,求随机变量X的分布律。Y X2 ；求随机变量Y的密度函数。3.设随机变量X服从(0,1) 上的均匀

11、分布，Y2ln X，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案 2.1 1: X3 45P0.1 0.30.62:X 12 3452设随机变量X的密度函数为：f(X)p 0.4 0.6 8.4 0.6 E.6 4 0.6 6 为.6 &4 0.6 &6 为.6 E.6 X 2.2 1: (1) P(X = 1) = P(X 1) -P(X 2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,(2)P(X 1) = 0.981684,(3)P(X 2) = 1 -0.908422 = 0.0915782: (1)由乘法公式：2 小 2 小 2 2P(X=2,Y W2) = P(X=

12、2) P(Y W2 | X=2)= 0.4 (ex 2e 2e )= 2e(2)由全概率公式： P(Y W 2) = P(X=2) P(Y W 2 | X=2) + P(X=3) P(Y W 2 | X=3)2 17 3=0.4 5e + 0.6 8 e = 0.27067 + 0.25391 = 0.524582(3)由贝叶斯公式：P(X=2|Y W 2)=尸必 习 0.27067 0.516P(Y 2) 0.52458 2.3 1：设X表示在同一时刻被使用的台数，则 XB(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = C(0.620.43 (2) P(X 3 ) = C；0.630.4

13、2 C；0.640.4 0.65 P(X w 3 ) = 1 - C；0.640.4 0.65 (4)P(X 1 ) = 1 - 0.452:至少必须进行11次独立射击1 = 0.5 ; P(X 1) = 0.5, 2.4 1: (1) P(X w 0 )=0.5 ; P 0 X(2) X的分布律为:X-11P0.50.52： (1) A = 1, (2) P 1 X 2 =1/60 x 0 2.5 1:( 1) k 2, (2) F(x) x2 0 x 1 ；1 x 10.5(3) P(- 0.5X0.5)=0.5f(x)dx0dx0.50.52xdx或=F(0,5)-1F(-0.5) =

14、- 041o4:(1)1/x 1 x e2f(x)0 其他(2) P(X 2)1 In 2 2.61: 3/522:(1) e (2)2 4e e 2.71 : (1) 0.5328,0.9996, 0.6977, 0.5 ； (2) c = 3 , 2:cW 31.25o 2.81 : Y-1 1 3P0.3 0.4 0.302： fY(y)1 -(1 .y) 0 y 1 .y0 其 他fY(y)-ey/2 y 02 ；第3章多维随机变量 3.1 二维离散型随机变量1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取的白球个数，写出 (X, Y)的联合分布律及边缘分布律。3个，用X表示取

15、到的红球个数，用Y表示取到2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:试根据下列条件分别求 a和b的值；(1) P(X 1) 0.6 ；xy 00 0.11 0.10.2 ab 0.2 P(X 1 |Y 2) 0.5 ； 设 F(x)是 Y 的分布函数，F(1.5) 0.5。 3.2 二维连续型随机变量1. (X、Y)的联合密度函数为： f (x, y)k(x y) 0 x 1,0 y 10 其 他求(1)常数 k ；( 2)P(X1/2,Y1/2)；(3) P(X+Y1) ； (4) P(X1/2)。2. (X、Y)的联合密度函数为： f (x,y)kxy 0 x 1,0 y x0 其 他求

16、(1)常数 k ； (2) P(X+Y1) ； (3) P(X1/2)。 3.3 边缘密度函数1.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求2.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 3.4 随机变量的独立性1. (X, Y)的联合分布律如下，试根据下列条件分别求 a和b的值；(1) P(Y 1) 1/3 ；x y123片11/61/91/18X与Y的边缘密度函数。X与丫的边缘密度函数。2ab1/92.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数 c,并讨论X与Y是否相互独立?* 3.5 多个随机变量的函数的分布* 3.6 几种特殊随机变量函数的分布第3章作业答案 3.1 1 :入Y1210.40.3

17、0.720.30.0.30.70.31 3.2 1： (1) k = 1 ； (2) P(X1/2, Y1/2) = 1/82： (1) a=0.1 b=0.3(2)a=0.2 b=0.2(3)a=0.3 b=0.1；(3) P(X+Y1) = 1/3 ；(4) P(X1/2) = 3/82： (1) k = 8 ； (2) P(X+Y1) = 1/6 ； (3) P(X1/2) = 1/16。 3.3 1：fx (X)2(1x2)(12(1 x2)fY(y)2(12 dxx2)(1 y2) (1y2)yX xex0e yy02： fx(X)c； fY(y);0x00y0 3.4 1： (1)

18、 a=1/6b=7/18 ;(2) a=4/9 b=1/9;(3)a =1/3, b = 2/9。2： c = 6, X与Y相互独立。第4章随机变量的数字特征 4.1 数学期望1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取 3个，用X表示取到的红球的个数，则 EX是:(A) 1； ( B) 1.2 ;(C) 1.5 ;3x22x42.设X有密度函数：f(x)8其他0(D) 2.1求E(X), E(2X 1), E(V),并求X大于数学期望XE(X)的概率。3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：Xy012已知 E(XY) 0.65,00.10.2a则a和b的值是：10.1b0.2(A) a=0.

19、1, b=0.3 ; (B) a=0.3, b=0.1 ; (C) a=0.2, b=0.2 ; (D) a=0.15, b=0.25。4设随机变量(X, Y)的联合密度函数如下：求 EX, EY, E(XY 1)。 4.2 数学期望的性质1 设X有分布律： X 0 1 2 3 则E(X2 2X 3)是：p 0.1 0.2 0.3 0.4(A) 1； (B) 2; ( C) 3; ( D) 4.52设(X,Y)有 f(x,y)4yxy 1，试验证 E(XY) E(X)E(Y)，但 X 与Y不0其丿、他相互独立。 4.3 方差丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求 EX, DX .(x 1)/4 0

20、 x 2 亠X有密度函数：f(x) 0 其他，求 D(X). 4.4 常见的几种随机变量的期望与方差2Y)的值分别是:设 X (2) ,Y B(3, 0.6)，相互独立，则 E(X 2Y), D(X(A) -1.6 和 4.88 ；(B) -1 和 4；(C) 1.6 和 4.88 ； ( D)1.6 和-4.88.设XU(a, b), Y N(4, 3)，X与Y有相同的期望和方差，求 a, b的值。(A) 0 和 8； ( B) 1 和 7； ( C)2 和 6； ( D) 3 和 5. 4.5 协方差与相关系数X 丫-10100.20.1010.10.30.3随机变量(X,Y)的联合分布律

21、如下：试求协方差 Cov(X,Y)和相关系数 xy设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试求协方差Cov(X,Y)和相关系数 xy， 4.6 独立性与不相关性 矩下列结论不正确的是( )(A)X与Y相互独立，则X与Y不相关；(B)X与Y相关，则X与Y不相互独立；(C)E(XY) E(X)E(Y)，则 X 与Y 相互独立;(D)f(x,y) fx(x)fY(y)，则 X 与丫不相关;若 COV(X,Y) 0,则不正确的是( )(A)E(XY) E(X)E(Y) ；( B)E(X Y)E(X) E(Y)；(C) D(XY)D(X)D(Y) ；( D)D(X Y)D(X) D(Y)；X XY-1

22、01 .-11/81/81/801/801/811/81/81/8(X,Y )有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。2.1 .2.1 .2.1 .2.1 .2.3.4.E(XY) E(X)E(Y)是X与丫不相关的( )(A )必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。5.E(XY) E(X)E(Y)是X与丫相互独立的( )(A) 必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D )既不必要，也不充分。6.设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试验证 X与Y不相关，但不独立。 第4章作业答案 4.1 1： B ； 2 : 3/2, 2, 3/4, 37/64

23、 ； 3 : D ； 4 : 2/3，4/3，17/9 ； 4.2 1 : D ； 4.3 1： 7/2, 35/12 ； 2： 11/36； 4.4 1 : A； 2 : B ； 4.5 1: 0.2， 0.355； 2:- 1/144, 1/11 ； 4.6 1: C ； 2: C； 3: X与Y不相关，但 X与Y不相互独立；4: C ； 5: A ；第5章极限定理* 5.1 大数定理 5.2 中心极限定理1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为 0.004的指数分布，现有元件 30只，一只在用，其余 29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，禾U用中心极限定理求 30只元件至少能

24、使用一年(8760小时)的近似概率。2.某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功” 6次的概率的近似值。第5章作业答案 5.2 2: 0.1788 ； 3: 0.889, 0.841；第6章数理统计基础 6.1 数理统计中的几个概念1 .有 n=10 的样本；1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4，则样本均值 X = 样本均方差S ，样本方差S2 2 设总体方差为b2有样本X1,X2, ,Xn，样本均值为 X，则Cov(XX) 。 6.2 数理统计中常用的三个分布21.查有关的

25、附表，下列分位点的值： Z0.9= , 0.1(5)= , to.9(10)= 2设 X1,X2, ,Xn是总体 2(m)的样本，求 E(X), D(X)。 6.3 一个正态总体的三个统计量的分布1设总体X N( , 2)，样本X1,X2, ,Xn,样本均值X，样本方差S2，贝U2 (Xii 1L (Xi X)2i 1* 6.4 二个正态总体的三个统计量的分布第6章作业答案 6.1 1. x 1.57, s 0.254, s2 0.0646 ； 2. Cov(XX) b2 /n ； 6.2 1 . -1.29, 9.236, -1.3722; 2. E(X) m, D(X) 2m/ n ; 6.3 1. N(0, 1), t(n 1), 2(n 1), 2(n)；第7章参数估计 7.1 矩估计法和顺序统计量法x 1 0 x 11.设总体X的密度函数为：f(x) ，有样本X1,X2, ,Xn,求未知参数 的矩估计。0 其 他2.每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ()，为估计的值,在实地随机地调查了 20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6量数：试求的一阶矩估计和二阶矩估计。 7.2 极大似然估计1.设总体X的密度函数为：f (x)1)x，有样本X1,X2, ,Xn，求未知参数 的极大似然估计。 7.3估计量的评价标准1.设总体X服从区间(a, 1)上的均匀分布,