概率论与数理统计习题集及答案.docx
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概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
（1）一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：
S;
（2）—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：
S=;
2.
（1）丢一颗骰子.A:
出现奇数点，贝UA=;B:
数点大于2，则B=
（2）一枚硬币连丢2次，A:
第一次出现正面，则A=;
B:
两次出现同一面，则=;C:
至少有一次出现正面，则C=
§1.2随机事件的运算
1.设A、B、C为三事件，用AB、C的运算关系表示下列各事件：
（1）A、BC都不发生表示为：
.
（2）A与B都发生，而C不发生表示为：
（3）A与B都不发生，而C发生表示为：
.（4）A、BC中最多二个发生表示为：
（5）A、BC中至少二个发生表示为：
.（6）A、BC中不多于一个发生表示为：
2.设S{x:
0x5},A{x:
1x3},B{x:
24}:
贝U
（1）A
B
（2）AB
（3）Ab
（4）
A
B=
（5）AB=
o
§1
.3
概率的定义和性质
1.已知P（AB）
0.8,P（A）
0.5,P（B）0.6，贝U
（1）
P（AB）
（2）（
P（AB））=,⑶
P（AB）
2.已知P（A）0.7,P（AB）0.3,则P（AB）=.
§1.4古典概型
1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个，求:
（1）正好有2个女同学的概率，
（2）最多有2个女同学的概率,（3）至少有2个女同学的概率.
2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.
§1.5条件概率与乘法公式
1•丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7，则其中一颗为1的概率是。
2.已知P（A）1/4,P（B|A）1/3,P（A|B）1/2，则P（AB）。
§1.6全概率公式
1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中
'的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。
§1.7贝叶斯公式
1•某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求
（1）该厂产品能出厂
的概率，
（2）任取一出厂产品，求未经调试的概率。
2•将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2，若接收站收到的信息是A,问原发
信息是A的概率是多少？
§1.8随机事件的独立性
1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为的概率。
B
p,求L与R为通
2.
路（用T表示）
A
L
CD
§1.11:
（1）S{HHH,
HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,T
II}；
（2）S{0,1,
2,3}
2:
（1）A{1,3,
5}B{3,4,5,6};
甲，乙丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中,
（1）恰好命中一次,
（2）至少命中一次。
第1章作业答案
（2）
}，B
相互独立，求下列概率：
§1.21:
（1）
ABC;
（2）
ABC
；（3）ABC;（4）ABC;（5）
AB
AC
BC;
（6）
AB
AC
BC
或ABCAB
CABCAB
C;
2:
（1）AB
{x:
1
x
4};
（2）AB{x:
2
x3};（3）AB
{x：
3x
4};
（4/
A
B{x
:
0
x1或2x5}
;（5）Ab{x：
1
x
4}。
§1.31:
（1）
P（AB）=0.3,
（2）
P（AB）=0.2,（3）
P（AB）=0.7.2
:
P（AB））=0.4
｛正正，正反
｛正正，反反
｝,C｛正正，正反，反正｝。
§
c8cJ2）/c30.
（1）c；c；2/c30,
（2）（（c20c8c；2c；c；2）/c3；,（3）1-（c；0
1.4
1:
2：
P43/43.
1.5
1.6
1:
.2/6;2:
1/4。
1:
设A表示第一人“中”，则P（A）=2/10
设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）
1.7
1.8.
=z1旦？
109109
两人抽“中‘的概率相同，与先后次序无关。
2:
随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是
p=0.5X0.4+0.5
1:
（1/94%（2/70/94;
1:
用A,B,C,D表示开关闭合，于
从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）
=P（A）P（B）+P（C）P（D）-P（A）P（B）P（C）P（D）
2:
（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38
（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.
10
0.5，所求概率为:
X0.5=0.45
2:
0.993;
是T=ABUCD,
第2章随机变量及其分布
§2.1随机变量的概念，离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码•，试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，—次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的
次数，试写出X的分布律。
§2.201分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求
（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；⑵每分钟只少有1次呼叫的概率；
（3）每分钟最多有1次呼叫的概率；
2设随机变量X有分布律：
X23,Y〜n（X）,试求：
p0.40.6
（1）P（X=2,Yw2）;
（2）P（Yw2）;（3）已知Y<2,求X=2的概率。
§2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独
立，问在同一时刻
（1）恰有2台计算机被使用的概率是多少？
（2）至少有3台计算机被使用的概率是多少？
（3）至多有3台计算机被使用的概率是多少？
（4）至少有1台计算机被使用的概率是多少？
2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？
§2.4随机变量的分布函数
0
x
1
1设随机变量X的分布函数是：
F（x）=
0.5
1
x1
1
x1
（1）求P（Xw0）；P0X1;P（X>1），
（2）写出X的分布律。
Ax
2设随机变量X的分布函数是：
F（x）=1:
0
§2.5连续型随机变量
1设连续型随机变量X的密度函数为：
f（x）
（1）求常数k的值；
（2）求X的分布函数
（3）用二种方法计算P（-0.52设连续型随机变量x0的分布函数为：
F（x）=
（1）求X的密度函数f（x），画出f（x）的图形
§2.6均匀分布和指数分布
1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布
x0
求
（1）常数A,⑵P1X2
x0
kx0x1
0其他
F（x），画出F（x）的图形，
0x1
Inx1xe
1xe
（2）并用二种方法计算P（X>0.5）.
2
求方程4x+4Kx+K+2=0
有实根的概率。
2假设打一次电话所用时间（单位：
分）X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你
等待：
（1）超过10分钟的概率；
（2）10分钟到20分钟的概率。
§2.7正态分布
1随机变量X〜N（3,4）,⑴求P（22）,P（X>3）;
（2）确定c,使得P（X>c）=P（X2某产品的质量指标X服从正态分布，卩=160,若要求P（1200.80，试问最多取多大？
2（1x）0x1
§2.8随机变量函数的分布
1设随机变量X的分布律为；
X
0
1
2
p
0.3
0.4
0.3
Y=2X-1,求随机变量X的分布律。
YX2；求随机变量Y的密度函数。
3.设随机变量
X服从（0,
1）上的均匀分布，Y
2lnX
，求随机变量Y的密度函数。
第2章作业答案
§2.11:
X
34
5
P
0.10.3
0.6
2:
X1
23
4
5
2设随机变量X的密度函数为：
f（X）
p0.40.68.40.6E.6@40.6@6为.6&40.6&6为.6E.6X§2.21:
（1）P（X=1）=P（X>1）-P（X>2）=0.981684-0.908422=0.073262,
（2）P（X>1）=0.981684,
（3）P（X<1）=1-P（X>2）=1-0.908422=0.091578
2:
（1）由乘法公式：
2小2小22
P（X=2,YW2）=P（X=2）P（YW2|X=2）=0.4（ex2e2e）=2e
（2）由全概率公式：
P（YW2）=P（X=2）P（YW2|X=2）+P（X=3）P（YW2|X=3）
2173
=0.45e+0.68e=0.27067+0.25391=0.52458
2
（3）由贝叶斯公式：
P（X=2|YW2）=尸必习0.270670.516
P（Y2）0.52458
§2.31：
设X表示在同一时刻被使用的台数，则X〜B（5,0.6）,
（1）P（X=2）=C（0.620.43
（2）P（X>3）=C；0.630.42C；0.640.40.65
⑶P（Xw3）=1-C；0.640.40.65（4）P（X>1）=1-0.45
2:
至少必须进行11次独立射击
1=0.5;P（X>1）=0.5,
§2.41:
（1）P（Xw0）=0.5;P0X
（2）X的分布律为:
X
-1
1
P
0.5
0.5
2：
（1）A=1,
（2）P1X2=1/6
0x0
§2.51:
（1）k2,
（2）F（x）x20x1；
1x1
0.5
（3）P（-0.50.5
f（x）dx
0dx
0.5
0.5
2xdx
或=F（0,5）-
1
F（-0.5）=-0
4
1
o
4
:
（1）
1/x1xe
2
f（x）
0其他
（2）P（X2）
1In2
§2.6
1:
3/5
2
2
:
（1）e
（2）
24
ee
§2.7
1:
（1）0.5328,
0.9996,0.6977,0.5；
（2）c=3,2:
cW31.25o
§2.8
1:
Y
-113
P
0.30.40.3
0
2：
fY（y）
1—
-（1.y）0y1.y
0其他
fY（y）
-ey/2y0
2；
第3章多维随机变量
§3.1二维离散型随机变量
1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取
的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。
3个，用X表示取到的红球个数，用
Y表示取到
2.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为:
试根据下列条件分别求a和b的值；
（1）P（X1）0.6；
x\y0
00.1
10.1
0.2a
b0.2
⑵P（X1|Y2）0.5；⑶设F（x）是Y的分布函数，F（1.5）0.5。
§3.2二维连续型随机变量
1.（X、Y）的联合密度函数为：
f（x,y）
k（xy）0x1,0y1
0其他
求
（1）常数k；
（2）P（X<1/2,Y<1/2）；
（3）P（X+Y<1）；（4）P（X<1/2）。
2.（X、Y）的联合密度函数为：
f（x,y）
kxy0x1,0yx
0其他
求
（1）常数k；
（2）P（X+Y<1）；（3）P（X<1/2）。
§3.3边缘密度函数
1.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求
2.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求
§3.4随机变量的独立性
1.（X,Y）的联合分布律如下，
试根据下列条件分别求a和b的值；
（1）P（Y1）1/3；
x\y
1
2
3
片
1
1/6
1/9
1/18
X与Y的边缘密度函数。
X与丫的边缘密度函数。
2
a
b
1/9
2.（X,Y）的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与Y是否相互独立?
*§3.5多个随机变量的函数的分布
*§3.6几种特殊随机变量函数的分布
第3章作业答案
§3.11:
入Y
1
2
1
0.4
0.3
0.7
2
0.3
0.
0.3
0.7
0.3
1
§3.21：
（1）k=1；
（2）P（X<1/2,Y<1/2）=1/8
2：
（1）a=0.1b=0.3
（2）a=0.2b=0.2
（3）a=0.3b=0.1
；（3）P（X+Y<1）=1/3；
（4）P（X<1/2）=3/8
2：
（1）k=8；
（2）P（X+Y<1）=1/6；（3）P（X<1/2）=1/16。
§3.31：
fx（X）
2（1
x2）（1
2
（1x2）
fY（y）
2（1
—2dx
x2）（1y2）（1
y2）
y
Xxe
x
0
ey
y
0
2：
fx（X）
c；fY（y）
;
0
x
0
0
y
0
§3.41：
（1）a=1/6
b=7/18;
（2）a=4/9b=1/9;
（3）
a=
1/3,b=2/9。
2：
c=6,X与Y相互独立。
第4章随机变量的数字特征
§4.1数学期望
1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是:
（A）1；（B）1.2;
（C）1.5;
3x2
2x4
2.设X有密度函数：
f（x）
8
其他
0
（D）2.
1
求E（X）,E（2X1）,E（V）,并求X大于数学期望
X
E（X）的概率。
3.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：
X\y
0
1
2
已知E（XY）0.65,
0
0.1
0.2
a
则a和b的值是：
1
0.1
b
0.2
（A）a=0.1,b=0.3;（B）a=0.3,b=0.1;（C）a=0.2,b=0.2;（D）a=0.15,b=0.25。
4•设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下：
求EX,EY,E（XY1）。
§4.2数学期望的性质
1•设X有分布律：
X0123则E（X22X3）是：
p0.10.20.30.4
（A）1；（B）2;（C）3;（D）4.
5
2
设（X,Y）有f（x,y）
4y
x
y1，试验证E（XY）E（X）E（Y），但X与Y不
0
其
丿、
他
相互独立。
§4.3方差
丢一颗均匀的骰子，用
X表示点数，
求EX,DX.
（x1）/40x2亠
X有密度函数：
f（x）0其他，求D（X）.
§4.4常见的几种随机变量的期望与方差
2Y）的值分别是:
设X~
（2）,Y~B（3,0.6），相互独立，则E（X2Y）,D（X
（A）-1.6和4.88；
（B）-1和4；
（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.
设X~U（a,b）,Y~N（4,3），X与Y有相同的期望和方差，求a,b的值。
（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.
§4.5协方差与相关系数
X\丫
-1
0
1
0
0.2
0.1
0
1
0.1
0.3
0.3
随机变量（X,Y）的联合分布律如下：
试求协方差Cov（X,Y）和相关系数xy
设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：
试求协方差
Cov（X,Y）和相关系数xy，
§4.6独立性与不相关性矩
下列结论不正确的是（）
（A）X与Y相互独立，则X与Y不相关；
（B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；
（C）E（XY）E（X）E（Y），则X与Y相互独立;
（D）f（x,y）fx（x）fY（y），则X与丫不相关;
若COV（X,Y）0,则不正确的是（）
（A）E（XY）E（X）E（Y）；（B）E（XY）
E（X）E（Y）；
（C）D（XY）
D（X）D（Y）；（D）D（XY）
D（X）D（Y）；
XXY
-1
0
1.
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
（X,Y）有联合分布律如下，试分析
X与Y的相关性和独立性。
2.
1.
2.
1.
2.
1.
2.
1.
2.
3.
4.
E（XY）E（X）E（Y）是X与丫不相关的（）
（A）必要条件；（B）充分条件：
（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。
5.E（XY）E（X）E（Y）是X与丫相互独立的（）
（A）必要条件；（B）充分条件：
（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。
6.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：
试验证X与Y不相关，但不独立。
第4章作业答案
§4.11：
B；2:
3/2,2,3/4,37/64；3:
D；4:
2/3，4/3，17/9；
§4.21:
D；
§4.31：
7/2,35/12；2：
11/36；
§4.41:
A；2:
B；
§4.51:
0.2，0.355；2:
-1/144,—1/11；
§4.61:
C；2:
C；3:
X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4:
C；5:
A；
第5章极限定理
*§5.1大数定理
§5.2中心极限定理
1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，
当使用的一只损坏时，立即换上备用件，禾U用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近
似概率。
2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6
次的概率的近似值。
第5章作业答案
§5.22:
0.1788；3:
0.889,0.841；
第6章数理统计基础
§6.1数理统计中的几个概念
1.有n=10的样本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4，则样本均值X=
样本均方差S，样本方差S2
2•设总体方差为b2有样本X1,X2,,Xn，样本均值为X，则Cov（X「X）。
§6.2数理统计中常用的三个分布
2
1.查有关的附表，下列分位点的值：
Z0.9=,0.1（5）=,to.9（10）=
2•设X1,X2,,Xn是总体2（m）的样本，求E（X）,D（X）。
§6.3一个正态总体的三个统计量的分布
1•设总体X~N（,2），样本X1,X2,,Xn,样本均值X，样本方差S2，贝U
2（Xi
i1
L（XiX）2
i1
*§6.4二个正态总体的三个统计量的分布
第6章作业答案
§6.11.x1.57,s0.254,s20.0646；2.Cov（X「X）b2/n；
§6.21.-1.29,9.236,-1.3722;2.E（X）m,D（X）2m/n;
§6.31.N（0,1）,t（n1）,2（n1）,2（n）；
第7章参数估计
§7.1矩估计法和顺序统计量法
x10x1
1.设总体X的密度函数为：
f（x）'，有样本X1,X2,,Xn,求未知参数的矩估计。
0其他
2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~（），为估计
的值,
在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如
下：
次数：
23456
量数：
试求的一阶矩估计和二阶矩估计。
§7.2极大似然估计
1.设总体X的密度函数为：
f（x）
1）x
，有样本X1,X2,,Xn，求未知参数的极大
似然估计。
§7.3
估计量的评价标准
1.设总体
X服从区间（a,1）上的均匀分布,
升级会员 