高考数学理科一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案.docx

1、高考数学理科一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案高考数学（理科）一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5y学案46利用向量方法求空间角导学目标：1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角自主梳理两条异面直线的夹角定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线ab，则a与a的夹角叫做a与b的夹角范围：两异面直线夹角的取值范围是_向量求法：设直线

2、a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有cos_.2直线与平面的夹角定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角范围：直线和平面夹角的取值范围是_向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin_或cossin.3二面角二面角的取值范围是_二面角的向量求法：若AB、cD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与cD的夹角设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小自我检测已知两平面的法向量分别为m，n，则两平面所成的二面角为A45B135c4

3、5或135D902若直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则Al1l2Bl1l2cl1与l2相交但不垂直D以上均不正确3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于A120B60c30D以上均错4二面角的棱上有A、B两点，直线Ac、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，Ac6，BD8，cD217，则该二面角的大小为A150B45c60D1205已知直线AB、cD是异面直线，AccD，BDcD，且AB2，cD1，则异面直线AB与cD夹角的大小为A30B45c60D75探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABcA1B1c1，

4、AcB90，cAcBcc1，D为B1c1的中点，求异面直线BD和A1c所成角的余弦值变式迁移1如图所示，在棱长为a的正方体ABcDA1B1c1D1中，求异面直线BA1和Ac所成的角探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2如图，已知两个正方形ABcD和DcEF不在同一平面内，m，N分别为AB，DF的中点若平面ABcD平面DcEF，求直线mN与平面DcEF所成角的正弦值变式迁移2如图所示，在几何体ABcDE中，ABc是等腰直角三角形，ABc90，BE和cD都垂直于平面ABc，且BEAB2，cD1，点F是AE的中点求AB与平面BDF所成角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例3如图，ABcD是直角梯

5、形，BAD90，SA平面ABcD，SABcBA1，AD12，求面ScD与面SBA所成角的余弦值大小变式迁移3如图，在三棱锥SABc中，侧面SAB与侧面SAc均为等边三角形，BAc90，o为Bc中点证明：So平面ABc；求二面角AScB的余弦值探究点四向量法的综合应用例4如图所示，在三棱锥ABcD中，侧面ABD、AcD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD3，BDcD1，另一个侧面ABc是正三角形求证：ADBc；求二面角BAcD的余弦值；在线段Ac上是否存在一点E，使ED与面BcD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由变式迁移4在如图所示的几何体中，四边形ABcD为平行四边形

6、，AcB90，EA平面ABcD，EFAB，FGBc，EGAc，AB2EF.若m是线段AD的中点，求证：Gm平面ABFE；若AcBc2AE，求二面角ABFc的大小求两异面直线a、b的夹角，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos|cosa，b|.2求直线l与平面所成的角.可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin|cosn，a|.3求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角则n1，n2或n1，n2一、选择题在正方体ABcDA1B1c1D1中，m是AB的中点，则sinDB1，cm的值等于A.12B.21015c.23D.11152长方体ABcDA1B1c1D1中，

7、ABAA12，AD1，E为cc1的中点，则异面直线Bc1与AE所成角的余弦值为A.1010B.3010c.21510D.310103已知正四棱锥SABcD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为A.13B.23c.33D.234.如图所示，在长方体ABcDA1B1c1D1中，已知B1c，c1D与上底面A1B1c1D1所成的角分别为60和45，则异面直线B1c和c1D所成的余弦值为A.26B.63c.36D.645P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线Pm、PN，如果BPmBPN45，mPN60，那么二面角AB的大小为A60B70c80D90二、填空题6已

8、知正四棱锥PABcD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为m、N，则截面AmN与底面ABcD所成的二面角的余弦值是_7如图，PA平面ABc，AcB90且PAAcBca，则异面直线PB与Ac所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱ABcA1B1c1的所有棱长都相等，D是A1c1的中点，则直线AD与平面B1Dc所成角的正弦值为_三、解答题9如图所示，AF、DE分别是o、o1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.Bc是o的直径，ABAc6，oEAD.求二面角BADF的大小；求直线BD与EF所成的角的余弦值0如图，四棱锥SABcD中，ABcD，BccD，侧面SAB为等边三角形，ABBc2，cD

9、SD1.证明：SD平面SAB；求AB与平面SBc所成角的正弦值1如图，已知正三棱柱ABcA1B1c1各棱长都是4，E是Bc的中点，动点F在侧棱cc1上，且不与点c重合当cF1时，求证：EFA1c；设二面角cAFE的大小为，求tan的最小值学案46利用向量方法求空间角自主梳理0，2|cos|a•b|a|•|b|20，2|cos|3.0，自我检测c2.B3.c4.c5.c课堂活动区例1解题导引求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角

10、的范围是0，2解如图所示，以c为原点，直线cA、cB、cc1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设cAcBcc12，则A1，c，B，D，BD，A1c，cosBD，A1cBD•A1c|BD|A1c|105.异面直线BD与A1c所成角的余弦值为105.变式迁移1解BA1BABB1，AcABBc，BA1•Ac•BA•ABBA•BcBB1•ABBB1•Bc.ABBc，BB1AB，BB1Bc，BA•Bc0，BB1•AB0，BB1•Bc0，BA•ABa2，BA1̶

11、6;Aca2.又BA1•Ac|BA1|•|Ac|•cosBA1，Ac，cosBA1，Aca22a2a12.BA1，Ac120.异面直线BA1与Ac所成的角为60.例2解题导引在用向量法求直线oP与所成的角时，一般有两种途径：一是直接求oP，oP，其中oP为斜线oP在平面内的射影；二是通过求n，oP进而转化求解，其中n为平面的法向量解设正方形ABcD，DcEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线Dc，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则m，N，可得mN又DA为平面DcEF的法向量，可得cosmN，DAmN•DA|mN|DA|63

12、.所以mN与平面DcEF所成角的正弦值为|cosmN，DA|63.变式迁移2解以点B为原点，BA、Bc、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，A，c，D，E，FBD，DF设平面BDF的一个法向量为n，nDF，nBD，n•DF0，n•BD0.即2，a，b•1，2，00，2，a，b•0，2，10.解得a1，b2.n设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与BA的夹角为2，cos2BA̶

13、6;n|BA|n|2，0，0•2，1，22323，即sin23，故AB与平面BDF所成角的正弦值为23.例3解题导引图中面ScD与面SBA所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解解建系如图，则A，D12，0，0，c，B，S，AS，Sc，SD12，0，1，AB，AD12，0，0.AD•AS0，AD•AB0.AD是面SAB的法向量，设平面ScD的法向量为n，则有n•Sc0且n•SD0.即xyz0，12xz0.令z1，则x2，y1.ncosn，A

14、Dn•AD|n|AD|21261263.故面ScD与面SBA所成的二面角的余弦值为63.变式迁移3证明由题设ABAcSBScSA.连接oA，ABc为等腰直角三角形，所以oAoBoc22SA，且AoBc.又SBc为等腰三角形，故SoBc，且So22SA.从而oA2So2SA2，所以SoA为直角三角形，SoAo.又AoBco，所以So平面ABc.解以o为坐标原点，射线oB、oA、oS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系oxyz，如右图设B，则c，A，SSc的中点m12，0，12，mo12，0，12，mA12，1，12，Sc，mo•Sc0，mA•

15、;Sc0.故moSc，mASc，mo，mA等于二面角AScB的平面角cosmo，mAmo•mA|mo|mA|33，所以二面角AScB的余弦值为33.例4解题导引立体几何中开放性问题的解决方式往往是通过假设，借助空间向量建立方程，进行求解证明作AH面BcD于H，连接BH、cH、DH，则四边形BHcD是正方形，且AH1，将其补形为如图所示正方体以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系则B，c，ABc，DA，Bc•DA0，则BcAD.解设平面ABc的法向量为n1，则由n1Bc知：n1•Bcxy0，同理由n1Ac知：n1•Acxz0，可取n1，同理，可求得

16、平面AcD的一个法向量为n2由图可以看出，二面角BAcD即为n1，n2，cosn1，n2n1•n2|n1|n2|1013263.即二面角BAcD的余弦值为63.解设E是线段Ac上一点，则xz>0，y1，平面BcD的一个法向量为n，DE，要使ED与平面BcD成30角，由图可知DE与n的夹角为60，所以cosDE，nDE•n|DE|n|x12x2cos6012.则2x12x2，解得x22，则cE2x1.故线段Ac上存在E点，且cE1时，ED与面BcD成30角变式迁移4证明方法一因为EFAB，FGBc，EGAc，AcB90，所以EGF90，ABcEFG.由于AB2EF，

17、因此Bc2FG.连接AF，由于FGBc，FG12Bc，在▱ABcD中，m是线段AD的中点，则AmBc，且Am12Bc，因此FGAm且FGAm，所以四边形AFGm为平行四边形，因此GmFA.又FA⊂平面ABFE，Gm⊄平面ABFE，所以Gm平面ABFE.方法二因为EFAB，FGBc，EGAc，AcB90，所以EGF90，ABcEFG.由于AB2EF，所以Bc2FG.取Bc的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB.在▱ABcD中，m是线段AD的中点，连接mN，则mNAB.因为mNGNN，所以平面GmN平面ABFE.又Gm

18、834;平面GmN，所以Gm平面ABFE.解方法一因为AcB90，所以cAD90.又EA平面ABcD，所以Ac，AD，AE两两垂直分别以Ac，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AcBc2AE2，则由题意得A，B，c，E，所以AB，Bc又EF12AB，所以F，BF设平面BFc的法向量为m，则m•Bc0，m•BF0，所以y10，x1z1，取z11，得x11，所以m设平面向量ABF的法向量为n，则n•AB0，n•BF0，所以x2y2，z20，取y21，得x21.则n所以cosm，nm•n|m|R

19、26;|n|12.因此二面角ABFc的大小为60.方法二由题意知，平面ABFE平面ABcD.取AB的中点H，连接cH.因为AcBc，所以cHAB，则cH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R，连接cR，则cRBF，所以HRc为二面角ABFc的平面角由题意，不妨设AcBc2AE2，在直角梯形ABFE中，连接FH，则FHAB.又AB22，所以HFAE1，BH2，因此在RtBHF中，HR63.由于cH12AB2，所以在RtcHR中，tanHRc2633.因此二面角ABFc的大小为60.课后练习区B以D为原点，DA、Dc、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB1，

20、cm1，12，0，故cosDB1，cmDB1•cm|DB1|cm|1515，从而sinDB1，cm21015.2B建立空间直角坐标系如图则A，E，B，c1Bc1，AE，cosBc1，AEBc1•AE|Bc1|•|AE|3010.所以异面直线Bc1与AE所成角的余弦值为3010.3c4.D5D不妨设Pma，PNb，作mEAB于E，NFAB于F，如图：EPmFPN45，PE22a，PF22b，Em•FN•Pm•PNPm•PFPE•PNPE•PFabcos60a22bcos4522abcos4

21、522a22bab2ab2ab2ab20，EmFN，二面角AB的大小为90.6.255解析如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则PB2，oB1，oP1.B，D，A，P，m12，0，12，N12，0，12，Am12，1，12，AN12，1，12，设平面AmN的法向量为n1，由n•Am12xy12z0，n•AN12xy12z0，解得x0，z2y，不妨令z2，则y1.n1，平面ABcD的法向量n2，则cosn1，n2n1•n2|n1|•|n2|25255.7.2解析PBPAAB，故PB•Ac•AcPA•Ac

22、AB•Ac0a2acos45a2.又|PB|3a，|Ac|a.cosPB，Ac33，sinPB，Ac63，tanPB，Ac2.8.45解析不妨设正三棱柱ABcA1B1c1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则c，A，B1，D32，12，2.则cD32，12，2，cB1，设平面B1Dc的法向量为n，由n•cD0，n•cB10，解得n又DA32，12，2，sin|cosDA，n|45.9解AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角依题意可知，ABFc是正方形，BAF45.即二面角BADF的大小为45.以o为原点，cB、

23、AF、oE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则o，A，B，D，E，F，BD，EFcosBD，EFBD•EF|BD|EF|01864100828210.设异面直线BD与EF所成角为，则cos|cosBD，EF|8210.即直线BD与EF所成的角的余弦值为8210.0.方法一证明取AB中点E，连接DE，则四边形BcDE为矩形，DEcB2，连接SE，则SEAB，SE3.又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角，即SDSE.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.由SD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SD平面SAB.解由AB平面SDE知，平面ABc

24、D平面SDE.作SFDE，垂足为F，则SF平面ABcD，SFSD•SEDE32.作FGBc，垂足为G，则FGDc1.连接SG，又BcFG，BcSF，SFFGF，故Bc平面SFG，平面SBc平面SFG.作FHSG，H为垂足，则FH平面SBc.FHSF•FGSG37，则F到平面SBc的距离为217.由于EDBc，所以ED平面SBc，E到平面SBc的距离d为217.设AB与平面SBc所成的角为，则sindEB217，即AB与平面SBc所成的角的正弦值为217.方法二以c为坐标原点，射线cD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设D，则A、B又设S，则x>0，y>0，z>0.证明AS，BS，DS，由|AS|BS|得x