高中数学第二章圆锥曲线与方程23双曲线232双曲线的简单性质北师大版11.docx

1、高中数学第二章圆锥曲线与方程23双曲线232双曲线的简单性质北师大版112.3.2双曲线的简单性质学习目标1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.知识点一双曲线的简单性质思考类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些性质？答案范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a，

2、0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？答案将方程1(a0，b0)右边的“1”换成“0”，即由0得0，如图，作直线0，在双曲线1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线.思考2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理双曲线的焦距与实轴长的

3、比，叫作双曲线的离心率，其取值范围是(1，).e越大，双曲线的张口越大.知识点三双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是yx.类型一由双曲线方程研究其性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3，0)，(3，0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.反思与感悟由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.(2)由标

4、准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质.跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0，5)；离心率e；渐近线方程为yx.类型二由双曲线的简单性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程.解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由

5、题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0).当0时，a24，2a26；当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0).将点(2，2)代入双曲线方程，得(2)22，双曲线的标准方程为1.反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程.(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1

6、或1.将(3，9)代入，得k161，与k0矛盾，无解；将(3，9)代入，得k9.故所求双曲线方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则. A(2，3)在双曲线上，1. 联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则. A(2，3)在双曲线上，1. 联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0).A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.类型三与双曲线有关的离心率问题命题角度1求双曲线离心率的值例3设F1，F2分别

7、为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.3答案B解析考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(负值舍去).该双曲线的离心率e .引申探究例3条件“|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab”改为“若PF1PF2，且PF1F230”，结果如何？解作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF1PF2及PF1F230，求出a，c的关系式.设点P在双曲线右

8、支上.PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230，|PF2|c，|PF1|c.又点P在双曲线的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.反思与感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e 求解.跟踪训练3双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.求双曲线的离心率.解依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b

9、23a40，321030，解得或3.又0a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围.解由C与l相交于两个不同点，知方程组有两组不同的实根，消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20. 所以解得0a且e.即离心率e的取值范围为(，)(，).反思与感悟求离心率的取值范围技巧(1)根据条件建立a，b，c的不等式.(2)通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围.跟踪训练4已知F1，F2是双曲线1(a，b0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A.(1，) B.(1，)C.(

10、1，1) D.(1，)答案B解析由题设条件可知ABF2为等腰三角形，又直线AB与x轴垂直，所以|AF2|BF2|，故AF2B为钝角.所以有2c，即2acc2a2，解得e(1，).故选B.1.双曲线y21与椭圆1的()A.焦点相同 B.顶点相同C.实轴与长轴相同 D.短轴与虚轴相同答案A解析y21的焦点是(4，0)，1的焦点为(4，0)，故选A.2.设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A.4 B.3 C.2 D.1答案A解析方程表示双曲线，a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A. B.2C. D.3答案B解析由题意知tan

11、 60，即2bc，则4b23c2可得4c24a23c2，()24，e2.4.等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析等轴双曲线的焦点为(6，0)，c6，2a236，a218.双曲线的标准方程为1.5.设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析由条件知2b2，2c2，b1，c，a2c2b22，即a.双曲线的渐近线方程为yxx.1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结

12、合其他条件求得就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.40分钟课时作业一、选择题1.双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A.2 B.2 C. D.1答案B解析双曲线1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为yx，点F(4，0)到xy0的距离为2.2.已知双曲线x21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()A.4 B.C. D.4答案D解析双曲线x21的虚轴长和实轴长分别为2和2，24，m4.3.已知双曲线C

13、：1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析双曲线C的渐近线方程为0，点P(2，1)在渐近线上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故选A.4.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A.4x3y0 B.3x4y0C.4x5y0 D.5x4y0答案A解析由椭圆1知，长轴端点分别为(5，0)和(5，0)，焦点是(3，0)，(3，0)，由此可知，双曲线的焦点为(5，0)，(5，0)，顶点为(3，0)，(3，0)，所以双曲线方程为1，所以渐近线方程为4x3y0.5.若

14、在双曲线1 (a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A.e B.1e2 D.1e0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足a，即2，得e2.6.点P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面积是9，则ab的值等于()A.4 B.5 C.6 D.7答案D解析设|PF1|m，|PF2|n，则|mn|2a， 又因为PF1PF2，所以m2n24c2， 2得2mn4a24c2，所以mn2a22c2.又因为F1PF2的面积是9，所以mn9，所以c2

15、a29.又因为双曲线的离心率，所以c5，a4，所以b3，所以ab7.二、填空题7.已知双曲线1的离心率e(1，2)，则m的取值范围是_.答案(12，0)解析e .e(1，2)，110，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_.答案1解析顶点(a，0)到渐近线的距离为1，1，解得a2.，b.双曲线方程为1.9.如图，F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左，右两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为_.答案1解析易知A点坐标为，又点A在双曲线上，将点A的坐标代入双曲线方程，得1.

16、又b2c2a2， 由，得e1.10.设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐行线交于点B，则AFB的面积为_.答案解析双曲线1的右顶点为A(3，0)，右焦点为F(5，0)，其渐近线方程为yx，由双曲线的对称性，不妨取与yx平行的直线，则FB所在直线的方程为y(x5)，联立方程解得SAFB|(53).三、解答题11.已知圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆C：1有相同的焦点，且双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.解椭圆C：1的两焦点为F1(5，0)，F2(5，0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a

17、0，b0)，则G的渐近线方程为yx，即bxay0，且a2b225.圆M的圆心为(0，5)，半径为r3.3a3，b4.双曲线G的方程为1.12.求两条渐近线为x2y0且截直线xy30所得的弦长为的双曲线方程.解设双曲线方程为x24y2(0).联立方程组得消去y得，3x224x360.设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以|AB| .解得4，符合0，所以所求双曲线方程是y21.13.双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc.求双曲线的离心率e的取值范围.解直线l的方程为1，即bxayab0，可得点(1，0)到直线l的距离d1，同理得到点(1，0)到直线l的距离d2.所以sd1d2.由sc，得c，即5a2c2，于是得52e2，即4e425e2250，解不等式得e25.由于e1，所以e的取值范围是，.