高中数学第二章圆锥曲线与方程23双曲线232双曲线的简单性质北师大版11.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程23双曲线232双曲线的简单性质北师大版11
2.3.2 双曲线的简单性质
学习目标
1.了解双曲线的简单性质（对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等）.2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.
知识点一 双曲线的简单性质
思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线
－＝1（a>0，b>0）的哪些性质？
答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
梳理
标准方程
－＝1（a＞0，b＞0）
－＝1（a＞0，b＞0）
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：
坐标轴
对称中心：
原点
对称轴：
坐标轴
对称中心：
原点
顶点坐标
A1（－a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞）
知识点二 双曲线的离心率
思考1 如何求双曲线的渐近线方程？
答案 将方程－＝1（a>0，b>0）右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线.
思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？
答案 双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.
梳理 双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，其取值范围是（1，＋∞）.e越大，双曲线的张口越大.
知识点三 双曲线的相关概念
1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心.
2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
类型一 由双曲线方程研究其性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
解 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为（－3，0），（3，0）；
焦点坐标为（－，0），（，0）；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
（3）由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质.
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是（0，－5），（0，5）；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
类型二 由双曲线的简单性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）虚轴长为12，离心率为；
（2）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
（3）求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）的双曲线方程.
解
（1）设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1（a>0，b>0）.
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
（2）设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ（λ≠0）.
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6⇒λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
（3）设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ（λ≠0）.
将点（2，－2）代入双曲线方程，
得λ＝－（－2）2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟
（1）求双曲线的标准方程的步骤
①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；
②设双曲线的标准方程；
③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；
④求出a，b，写出方程.
（2）①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1（λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）.
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一个焦点为（0，13），且离心率为；
（2）双曲线过点（3，9），离心率e＝；
（3）渐近线方程为y＝±x，且经过点A（2，－3）.
解
（1）依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，
∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）由e2＝，得＝，
设a2＝9k（k>0），
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1.②
将（3，9）代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将（3，9）代入②，得k＝9.
故所求双曲线方程为－＝1.
（3）方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），则＝.①
∵A（2，－3）在双曲线上，
∴－＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），则＝.③
∵A（2，－3）在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ（λ≠0）.
∵A（2，－3）在双曲线上，
∴－（－3）2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型三 与双曲线有关的离心率问题
命题角度1 求双曲线离心率的值
例3 设F1，F2分别为双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.
C.D.3
答案 B
解析 考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，
两式等号左右两边平方后相减，得
|PF1|·|PF2|＝.
又已知|PF1|·|PF2|＝ab，
∴ab＝，得＝（负值舍去）.
∴该双曲线的离心率
e＝＝＝＝.
引申探究
例3条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？
解
作出满足题意的几何图形（如图），利用PF1⊥PF2及∠PF1F2＝30°，求出a，c的关系式.
设点P在双曲线右支上.
∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，
且∠PF1F2＝30°，
∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.
又点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝（－1）c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法
（1）依据条件求出a，c，再计算e＝.
（2）依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝求解.
跟踪训练3 双曲线－＝1（0解 依题意，直线l：
bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，
即ab＝c2，
∴16a2b2＝3（a2＋b2）2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0，
解得＝或＝3.
又∵0∴e＝＝2.
命题角度2 求双曲线离心率的取值范围
例4 设双曲线C：
－y2＝1（a>0）与直线l：
x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围.
解 由C与l相交于两个不同点，
知方程组有两组不同的实根，
消去y并整理得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.①
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>且e≠.
即离心率e的取值范围为（，）∪（，＋∞）.
反思与感悟 求离心率的取值范围技巧
（1）根据条件建立a，b，c的不等式.
（2）通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围.
跟踪训练4 已知F1，F2是双曲线－＝1（a，b>0）的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A.（1，＋∞）B.（＋1，＋∞）
C.（1，＋1）D.（1，）
答案 B
解析 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，
又直线AB与x轴垂直，所以|AF2|＝|BF2|，
故∠AF2B为钝角.
所以有>2c，即2ac解得e∈（1＋，＋∞）.
故选B.
1.双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的（ ）
A.焦点相同B.顶点相同
C.实轴与长轴相同D.短轴与虚轴相同
答案 A
解析 －y2＝1的焦点是（±4，0），＋＝1的焦点为（±4，0），故选A.
2.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为（ ）
A.－4B.－3C.2D.1
答案 A
解析 ∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝±x，
∴＝，
解得a＝－4.
3.设F1和F2为双曲线－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.2
C.D.3
答案 B
解析 由题意知tan60°＝，
即2b＝c，
则4b2＝3c2可得4c2－4a2＝3c2，
∴（）2＝4，
∴e＝2.
4.等轴双曲线的一个焦点是F1（－6，0），则其标准方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
答案 D
解析 ∵等轴双曲线的焦点为（－6，0），
∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
5.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 由条件知2b＝2，2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，
即a＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1（a>0，b>0）右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.
2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.
40分钟课时作业
一、选择题
1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A.2B.2C.D.1
答案 B
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F（4，0），其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F（4，0）到x－y＝0的距离为＝2.
2.已知双曲线x2－＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是（ ）
A.－4B.
C.－D.4
答案 D
解析 ∵双曲线x2－＝1的虚轴长和实轴长分别为2和2，∴2＝4，∴m＝4.
3.已知双曲线C：
－＝1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
答案 A
解析 双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P（2，1）在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
4.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.4x±3y＝0B.3x±4y＝0
C.4x±5y＝0D.5x±4y＝0
答案 A
解析 由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为（－5，0）和（5，0），焦点是（－3，0），（3，0），
由此可知，双曲线的焦点为（－5，0），（5，0），
顶点为（－3，0），（3，0），所以双曲线方程为－＝1，
所以渐近线方程为4x±3y＝0.
5.若在双曲线－＝1（a>0，b>0）的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.e>B.1C.e>2D.1答案 C
解析 由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意，在双曲线－＝1（a>0，b>0）的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
6.点P是双曲线－＝1（a>0，b>0）上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于（ ）
A.4B.5C.6D.7
答案 D
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，所以mn＝9，
所以c2－a2＝9.又因为双曲线的离心率＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
二、填空题
7.已知双曲线＋＝1的离心率e∈（1，2），则m的取值范围是________.
答案 （－12，0）
解析 e＝＝.
∵e∈（1，2），∴1<1－<4，即m∈（－12，0）.
8.已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________.
答案 －＝1
解析 ∵顶点（±a，0）到渐近线的距离为1，
∴＝1，解得a＝2.
∵＝，∴b＝.
∴双曲线方程为－＝1.
9.如图，F1，F2分别是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左，右两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________.
答案 ＋1
解析 易知A点坐标为，
又点A在双曲线上，将点A的坐标代入双曲线方程，
得－＝1.①
又∵b2＝c2－a2，②
由①②，得e＝＋1.
10.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐行线交于点B，则△AFB的面积为________.
答案
解析 双曲线－＝1的右顶点为A（3，0），
右焦点为F（5，0），其渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的对称性，不妨取与y＝x平行的直线，
则FB所在直线的方程为y＝（x－5），
联立方程解得
∴S△AFB＝×|－|×（5－3）＝.
三、解答题
11.已知圆M：
x2＋（y－5）2＝9，双曲线G与椭圆C：
＋＝1有相同的焦点，且双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
解 椭圆C：
＋＝1的两焦点为F1（－5，0），F2（5，0），
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1（a>0，b>0），则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为（0，5），半径为r＝3.
∴＝3⇒a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
12.求两条渐近线为x±2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为的双曲线方程.
解 设双曲线方程为x2－4y2＝λ（λ≠0）.
联立方程组得
消去y得，3x2－24x＋36＋λ＝0.
设直线被双曲线截得的弦为AB，
且A（x1，y1），B（x2，y2），则
所以|AB|＝
＝＝＝.
解得λ＝4，符合Δ>0，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
13.双曲线－＝1（a>1，b>0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.
解 直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
可得点（1，0）到直线l的距离d1＝，
同理得到点（－1，0）到直线l的距离d2＝.
所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，
于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解不等式得≤e2≤5.
由于e>1，所以e的取值范围是[，].
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