全等三角形压轴题及其详解.docx

1、全等三角形压轴题及其详解 全等三角形压轴题1.在ABC中，AB=AC，BAC=（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC=45，求的值【分析】（1）求出ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，DBC=60，求出ABD=EBC=30，且BCD为等边三角形，证ABDACD，推出BAD=CAD=BAC=，求出BEC=BAD，证ABDEBC，推出AB=BE即可；（3）求出DCE=9

2、0，DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出EBC=15，得出方程30=15，求出即可【解答】（1）解：AB=AC，A=，ABC=ACB=（180A）=90，ABD=ABCDBC，DBC=60，即ABD=30；（2）ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，线段BC绕B逆时针旋转60得到线段BD，则BC=BD，DBC=60，ABE=60，ABD=60DBE=EBC=30，且BCD为等边三角形，在ABD与ACD中ABDACD（SSS），BAD=CAD=BAC=，BCE=150，BEC=180（30）150=BAD，在ABD和EBC中ABDEBC（AAS），AB=BE，ABE是等边

3、三角形；（3）解：BCD=60，BCE=150，DCE=15060=90，DEC=45，DEC为等腰直角三角形，DC=CE=BC，BCE=150，EBC=（180150）=15，EBC=30=15，=30【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等2.已知，RtABC中，ACB=90，CAB=30分别以AB、AC为边，向三角形外作等边ABD和等边ACE（1）如图1，连接线段BE、CD求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB

4、于点F求证：F为DE中点【解答】证明：（1）ABD和ACE是等边三角形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE，在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），DC=BE；（2）如图，作DGAE，交AB于点G，由EAC=60，CAB=30得：FAE=EAC+CAB=90，DGF=FAE=90，又ACB=90，CAB=30，ABC=60，又ABD为等边三角形，DBG=60，DB=AB，DBG=ABC=60，在DGB和ACB中，DGBACB（AAS），DG=AC，又AEC为等边三角形，AE=AC，DG=AE，在DGF和EAF中，DGFEAF（AA

5、S），DF=EF，即F为DE中点3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流原问题：如图1，已知ABC，ACB=90，ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE，且DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是ABC=30，ADB=BEC=60度小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

6、（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=BEC=2ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想【解答】解：（1）DF=EF（2）猜想：DF=FE证明：过点D作DGAB于G，则DGB=90度DA=DB，ADB=60度AG=BG，D

7、BA是等边三角形DB=BAACB=90，ABC=30，AC=AB=BG在RtDBG和RtBAC中RtDBGRtBAC（HL）DG=BCBE=EC，BEC=60，EBC是等边三角形BC=BE，CBE=60度DG=BE，ABE=ABC+CBE=90DFG=EFB，DGF=EBF，在DFG和EFB中DFGEFB（AAS）DF=EF（3）猜想：DF=FE证法一：过点D作DHAB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则DHB=90度DA=DB，AH=BH，1=HDBACB=90，HC=HB在HBE和HCE中HBEHCE（SSS）2=3，4=BEHHKBCBKE=903+ABC=90ADB=BEC=2AB

8、C，HDB=BEH=ABCDBC=DBH+ABC=DBH+HDB=90，3=DBHEBH=EBK+ABC=EBK+BEK=90=DHB又HB是公共边，所以DBHEHBDH=BE同理可以证明DHFEBFDF=EF4.已知，点P是RtABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是

9、否成立？请画出图形并给予证明【分析】（1）根据AAS推出AEQBFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出AEQBDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出AEQBDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：Q为AB的中点，AQ=BQ，AECQ，BFCQ，AEBF，AEQ=BFQ=90，在AEQ和BFQ中AEQBFQ，QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF；

10、（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，由（1）知：AEBF，AEQ=BDQ，在AEQ和BDQ中AEQBDQ，EQ=DQ，BFE=90，QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，由（1）知：AEBF，AEQ=BDQ，在AEQ和BDQ中AEQBDQ，EQ=DQ，BFE=90，QE=QF5.在ABC中，AB=AC，BAC=60，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE当点D在线段BC上时，如图，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图、图，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系

11、？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明【分析】图中，论：BD+AE=AB，作EMAB交BC于M，先证明EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明ABDDEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论图中，结论：BDAE=AB，证明方法类似【解答】解；如图中，结论：BD+AE=AB理由：作EMAB交BC于M，ABC是等边三角形，ABC=C=BAC=60，AB=BC=AC，CEM=CAB=60，CME=CBA=60，CME是等边三角形，CE=CM=EM，EMC=60，AE=BM，DA=DE，DAE=DEA，BAC+DAB=C+EDM，DAB=EDM，ABD=180ABC=120，EMD=180E

12、MC=120，ABD=DME，在ABD和DEM中，ABDDEM，DB=EM=CM，DB+AE=CM+BM=BC=AB如图中，结论：BDAE=AB理由：作EMAB交BC于M，ABC是等边三角形，ABC=C=BAC=60，AB=BC=AC，CEM=CAB=60，CME=CBA=60，CME是等边三角形，CE=CM=EM，EMC=MEC=60，AE=BM，DA=DE，DAE=DEA，C+ADC=MEC+EDDEM，ADB=DEM，ABD=180ABC=120，EMD=180EMC=120，ABD=DME，在ABD和DEM中，ABDDME，DB=EM=CM，DBAE=CMBM=BC=AB【点评】本题考

13、查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且ADB+BCA=180，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形（1）如图2，在等腰ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：ABD=BAC=AEB（2）如图3，在非等腰ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问ABD=BAC=AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【分析】（1）根据等边对等角可得EAB=EBA，根据四边形ABCD是互补等对边

14、四边形，可得AD=BC，根据SAS可证ABDBAC，根据全等三角形的性质可得ABD=BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明AGDBFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以ABCBAF，得到ABD=BAC，根据ADB+BCA=180，得到EDB+ECA=180，进而得到AEB+DHC=180，由DHC+BHC=180，所以AEB=BHC因为BHC=BAC+ABD，ABD=BAC，所以ABD=BAC=AEB【解答】解：（1）AE=BE，EAB=EBA，四边形ABCD是互补等对边四边形，AD=BC，

15、在ABD和BAC中，ABDBAC（SAS），ADB=BCA，又ADB+BCA=180，ADB=BCA=90，在ABE中，EAB=EBA=90AEB，ABD=90EAB=90（90AEB）=AEB，同理：BAC=AEB，ABD=BAC=AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，四边形ABCD是互补等对边四边形，AD=BC，ADB+BCA=180，又ADB+ADG=180，BCA=ADC，又AGBD，BFAC，AGD=BFC=90，在AGD和BFC中，AGDBFC，AG=BF，在ABG和BAF中，ABGBAF，ABD=BAC，ADB+B

16、CA=180，EDB+ECA=180，AEB+DHC=180，DHC+BHC=180，AEB=BHCBHC=BAC+ABD，ABD=BAC，ABD=BAC=AEB【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明ABDBAC7.已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CE，AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存

17、在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出ABDACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出ABDACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CECD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出ABDACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CDCE【解答】解：（1）ABC和ADE都是等边三角形，AB=AC=BC，AD=AE，BAC=DAE=60BACCAD=DAECAD，即BAD=C

18、AE在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CEBC=BD+CD，AC=BC，AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CECD理由：ABC和ADE都是等边三角形，AB=AC=BC，AD=AE，BAC=DAE=60BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE 在ABD和ACE中，ABDACE（SAS） BD=CE CECD=BDCD=BC=AC，AC=CECD； （3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CDCE理由：ABC和ADE都是等边三角形，AB=AC=BC，AD=AE，BAC=DAE=60BACBAE

19、=DAEBAE，BAD=CAE 在ABD和ACE中，ABDACE（SAS） BD=CEBC=CDBD，BC=CDCE，AC=CDCE【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键8.如图，已知ABC，分别以AB、AC为边作ABD和ACE，且AD=AB，AC=AE，DAB=CAE，连接DC与BEG、F分别是DC与BE的中点（1）求证：DC=BE；（2）当DAB=80，求AFG的度数；（3）若DAB=，则AFG与的数量关系是【分析】（1）根据等式的性质就可以得出DAC=BAE就可以得出ADCABE就可以得出DC=BE；（2）连接

20、AG，根据条件就可以得出ADGABF，就可以求出AG=AF，GAF=DAB，由等腰三角形的性质就可以求出AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出ADGABF，就可以求出AG=AF，GAF=DAB，由等腰三角形的性质就可以表示AFG与a的关系【解答】解：（1）DAB=CAE，DAB+BAC=CAE+BAC，DAC=BAE在ADC和ABE中，ADCABE（SAS），DC=BE；（2）连接AGADCABE，ADC=ABEAD=ABG、F分别是DC与BE的中点，DG=DC，BF=BE，DG=BF在ADG和ABF中，ADGABF（SAS），AG=AF，DAG=BAF，AGF=AFG，DAGBAG=

21、BAFBAG，DAB=GAFDAB=80，GAF=80GAF+AFG+AGF=180，AFG=50答：AFG=50；（3）DAB=，GAF=GAF+AFG+AGF=180，+2AFG=180，AFG=90故答案为：AFG=50，90【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键9.ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，AFD=60（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：AHC=60；（

22、3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，BAC=C=ABE=60，根据SAS推出ABEBCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用CEM=ACE+CAE=60+CAE，CGN=AFH+CAE=60+CAE，得出CEM=CGN，然后根据AAS证得ECMGCN，得出CG=CE，EM=GN，ECM=GCN，进而证得AMCHNC，得出ACM=HCN，AC=HC，从而证得ACH是等边三角形，证得AHC=60；（3）在FH上截取FK=FC，得出FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，ACF=HCK，证得AF

23、CHKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出=2，再由AF+FC=9求得【解答】解：（1）如图1，ABC是等边三角形，B=ACE=60BC=AC，AFD=CAE+ACD=60BCD+ACD=ACB=60，BCD=CAE，在ABE和BCD中，ABEBCD（ASA），BD=CE；（2）如图2，作CMAE交AE的延长线于M，作CNHF于N，EFC=AFD=60AFC=120，FG为AFC的角平分线，CFH=AFH=60，CFH=CFE=60，CMAE，CNHF，CM=CN，CEM=ACE+CAE=60+CAE，CGN

24、=AFH+CAE=60+CAE，CEM=CGN，在ECM和GCN中ECMGCN（AAS），CE=CG，EM=GN，ECM=GCN，MCN=ECG=60，ABEBCD，AE=CD，HG=CD，AE=HG，AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在AMC和HNC中AMCHNC（SAS），ACM=HCN，AC=HC，ACMECM=HCNGCN，即ACE=HCG=60，ACH是等边三角形，AHC=60；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，HFC=60，FCK是等边三角形，FKC=60，FC=KC=FK，ACH=60，ACF=HCK，在AFC和HKC中AFCHKC（SAS），AF=HK，HF=AF+FC

25、=9，AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，AG=2CG，=，作GWAE于W，GQDC于Q，FG为AFC的角平分线，GW=GQ，=，AF=2CF，AF=6【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键10.如图1，ABE是等腰三角形，AB=AE，BAE=45，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分BAE；（3）如图2，将CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由【分析】（1）利用SAS证明BCEACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE（2）根据BCEACD，得到EBC=DAC，由BDP=ADC，得到BPD=DCA=90，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分BAE；（3）ADBE不发生变化由BCEACD，得到EBC=DAC，由对顶角相等得到BFP=ACF，根据三角形内角和为180，所以BPF=ACF=90，即ADBE【解答】解：（1）BCAE，BAE=45，CBA=CAB，BC=CA，在BCE和ACD中，BCEACD，AD=BE