概率论与数理统计(文科)吴传生3.3节.ppt

1、3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性 将事件独立性推广到 r.v.设(X,Y)为二维 r.v.若对任何则称 r.v.X 和Y 相互独立 两个两个 r.v.的相互独立性的相互独立性实数 x,y 都有3.3定义94由定义知二维 r.v.(X,Y)相互独立95X与Y 独立即连续型二维随机变量二维随机变量 (X,Y)相互独立相互独立,则边缘分布完全确定联合分布则边缘分布完全确定联合分布对一切 i,j 有离散型X与Y 独立对任何 x,y 有96二维连续二维连续 r.v.(X,Y)相互独立相互独立97例例1 1 已知(X,Y)的联合 d.f.为(1)(2)讨论X,Y 是否独立？例198解解(1)由图知

2、边缘 d.f.为11显然，故 X,Y 相互独立99(2)由图知边缘 d.f.为显然，故 X,Y 不独立11100判连续型判连续型 r.v.相互独立的有关命题相互独立的有关命题设f(x,y)是连续二维 r.v.(X,Y)的联合d.f.r(x),g(y)为非负可积函数,且则 X,Y 相互独立且 101利用此结果,不需计算即可得出(1)中的 r.v.X 与Y 是相互独立的.再如,服从矩形域(x,y)|axb,cyd上均匀分布的二维 r.v.(X,Y),X,Y 是独立,且其边缘分布也是均匀分布102若则X,Y 是相互独立的,且其边缘分布为103若则X,Y 是相互独立的,且其边缘分布为104对于分布函数

3、也有类似结果 设F(x,y)是二维连续 r.v.(X,Y)的联合分布函数,则(X,Y)相互独立的充要条件为且105判断独立的一个重要命题个重要命题 设 X,Y 为相互独立的 r.v.u(x),v(y)为连续函数,则 U=u(X),V=v(Y)也相互独立.即独立 r.v.的连续函数仍独立.下面予以证明.106设 X 与Y 的 d.f.分别为 f X(x),f Y(y),则因此，事实上事实上,107若 X,Y 为相互独立的 r.v.则aX+b,cY+d 也相互独立；X 2,Y 2 也相互独立；随机变量相互独立的概念随机变量相互独立的概念可以推广到可以推广到 n n 维随机变量维随机变量若则称 r.v.X 1,X 2,X n 相互独立由命题知由命题知108 若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X,Y 相互独立，则X-1 1-1 10.25 0.25Y pij0.25 0.25故不能说 X=Y.注意注意由左表易得：109作业 P75 习题3 4 习题110