对角互补模型+培优练习.docx

1、对角互补模型+培优练习对角互补+角平分线模型已知，四边形 ABCD, ZB+ZD=180, AC 平分二BCD结论二AB=AD结论二的证明有三种方法1四点共圆 2双垂法 3旋补法其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。下面, 我介绍双垂法和旋补法。方法一：双垂法证明：分别过A作CD和CB得垂线AM和AN二AC 平分二BCD ZAM=AN又二二 B+二 D=180。二二 ABN=CD二二 ABN二二ADMZAB=AD方法二：旋补法证明：延长CD到E,作等腰二ACE匚 AC=AE,匚AEC=二ACE=二ACB 又口 二 B+匚 D=180。二 B=CZADE匚二A

2、BC二二ADE匚 AB=AD其实 匚二B一二D二180。二AC 平分二BCD二AB=AD 只要给出其中任意俩个条件，必定能推出第三个, 大家可以自己用双垂法试试。已知，四边形ABCD,匚B+二D=180。，AC平分二 BCD结论二 BC+CD=2ACcose证明：过A作AF二CD由结论匚可知：二ACE为等腰三角形，且BC=DE二 BC+CD=CE=2CF又二 CF=ACcosBZBC+CD=2CF=2ACcos0已知，四边形 ABCD, ZB+ZD=180, AC 平分二BCD 结论二四边形ABCD的面积二等腰三角形ACE的面积=AC到nOcos。黄会绿，把黄割补到绿的位置四边形ABCD的面积

3、=等腰三角形ACE的面积VACE 的面积=AF*CF(其中 4.4F=ACsin0,CF=ACcos0)四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC2sinecose特别地，当二BCD=120。时，BC+CD=2ACcos60=AC 四边形ABCD而积=正三角形ACE面积特别地，当二BCD=90。时，BC+CD=2ACcos45= AC四边形ABCD而积=等腰直角三角形ACE而积对角互补专题探究（一）基本图形：如图1，在四边形FBDE中，：:石。尸 +匚E8F=180。，旋转NFBE得到NHSL求证： 4FBHs EBI;如图 2,在四边形 F8QE 中，二EDF十二EBF=180,连接

4、助，/DBE=/CBF,若4BCD 为等边三角形，探究：线段DE、DF、应）之间的数量关系:如图3,在四边形FBDE中，二皮F+匚E8F=180。，连接BD, /DBE=/CBF,若 BDDCZDCB=30探究：线段QE、DF、助之间的数量关系:例1.已知直角梯形一空8.1D二3c，二,4=90。，二E8尸=二。.当.10X5=1:8,二。=60。时，如图 1 所示，求证：DE+DF =BC;.当=1:1,匚。=45。时，如图2所示，则线段DE、DF、BC之间的数量关系（3）.在Q）的条件，如图3所示，若AB=2时，3A%=MC,连接AF. FM,若AF与BE交于点N, 当二小初=45。时,求

5、线段NF的长度.变式训练:1.已知直角梯形乂BCD ,m二3。,4。=.铝二4=90。,二。=60。/二8。于 HJP 为 BC 上一点, 作二“尸=60。,此角的两边分别交功于瓦 交8于F.11).如图1，当点尸在点B处时，求证：2 AE+CF=2CH-.如图2,当点尸在点H处时，线段J、CF、CH的数量关系为:.在(2)的条件下，连接尸8、石产,用与切交于点K,若乂3=2、后为产=&1,求线段用的2.已知平行四边形.1BCD二。=60。，点从产分别为 D 8上两点二比厂=二。.(1).如图1,当铝=8C时，求证：CF+AE=BC：(2).如图2,当.=8。时，线段：CEzlE、8c三者之间

6、有何数量关系: 7例2.已知：二45C中，匚&C3=90。，二8=30。点P为边AB上的一点,匚石尸F=90。.尸尸与边,4。交于点EPE与边3c交于点E设.4PPB=k(D如图1,当女=1时，则： ”+ be=Lab； 3 2(2).如图2,当=1时，线段JF、43的数量关系为:(3).在(2)的条件下，如|冬13,连接CPKF交于点K,将尸尸沿着EF对称，对称后与CP交于点 连接若工。=3,当ME二FP时，求的值.变式训练:1.等边二43c中，8H为边上的高，点尸为,二边中点，匚F=90。,此角的两边与,4C边 交于点E与高交于点E如图1,求证:附、行班、45;2(2)如图2,则线段FH、

7、BE、之间满足的关系式为:(3)如图3,在(2)的条件下，连接EF,直线EF与BC交于点、N,将EV沿着抄对称，对称后与乂8交于点M若KC=4、与呸=13时，求8N长度.对角互补专题探究（二）1.直线，点 3分别在直线泄、上，且点乂在点5的右侧.点尸在直线胴上，.出连接BP、以PB为一边在PB右侧作等边45尸C,连接XC过点P作PDLn于点D.（1）当点尸在月的右侧时（如图1）,求证：BDAC（2）当点尸在,4的左侧时（如图2）,线段8。与,4。之间的数量关系为.（3）在的条件下，设尸。交,43于点N, PC交于点河（如图3）,若的面积为下， 求线段MN的长.图32.如图，直线产-史6+4左(

8、左0)与x轴交于反与y轴交于。，点。与点C是关于直线助 3对称，连接8C,若,4C=4、Q.求上的值：(2)点尸为。8的中点，动点E从点B出发，每秒1单位速度沿向点4运动，过点尸做 PE的垂线交AC于点E当点尸与点。重合时点E停止运动.设运动时间为t秒，4PHF 面积为S,写出S与，点函数关系式，并直接写出自变量，的取值范围.()连接H7,是否存在，值，使得s”NFPH= 若存在请求，值，若不存在，说明理由.7对角互补专题探究（三）例1.己知：四边形H3CQ中，二3C, 匚&山二二10。，点石在CQ边上运动（点E与C、。两点不重合），二1E尸为直角三角形，ZJEP=90,二产=30。，过点E作

9、 EM二 BC 交 AF 于点、M.（1）若二及0=120。（如图 1）,求证：BF+DE=EM；（2）若二8m=90。（如图2）,则线段3尸、DE、EW的数量关系为.（3）在（1）的条件下，若JD： BF=3： 2, EM=7,求CE的长.变式训练:1.已知：矩形乂38中吆=k，点从尸分别在 8、C3上运动，且/E4/（角a为锐 48 一角），过石作EMBC交工F于点M,探究BF、DE. ME之间的数量关系为(1)当 K=JJ, q=45。时， (2)当斤 J5, q=60。时， (3)当 &=5，a =30。时， 2.如图：已知四过形.138 中22 =长、/9州=/88=90。，点E、尸

10、分别在C。、CB上运 AB 一动，且/E4/=。（角a为锐角），过E作EA/5。交乂尸于点M,探究3尸、DE、ME之 间的数量关系为.对角互补专题探究（四）例2.已知:四边形，488, 乂3三切，二8=匚。=90。,二E4尸二30。,过下作RMZ3C交乂石于（1）当匚A1D=6O。时（如图1所示），求证：BE+FD=FM：（2）当匚AD=90。时（如图2所示），则线段。产,枚的数量关系为；（3）在（1）的条件下（如图3所示），连接交于点G,交AF于点、K,交.MF于点、N, 若 BG:DK=3,5, EW44 时，KV 的长.变式训练：1.已知四边形W5CD中，.IDQSC, 二BADADC,

11、点尸在 8 边上运动（点石与C、。两点不重合）（1）若二瓦。=90。（如图/）, JD=2zl3,二E1F=45,求证：DF+2BE=FG（2 ）若二8JZM50。（如图 2）, AB=AD,二E4F=3O。,则 DF、BE、FG 的数量关系 为.（3）在（1）的条件下（如图3） 直线WF交直线8G于点H,求GH的长.2.己知：四边形乂88 中，红）二3CU3=CQ=九4。、二式但二）C,点E在CQ边上运动（点、E 与C、。两点不重合）,将AE绕点.4顺时针旋转30。后与BC边交于点尸，过点E作EMZBC 交&尸于点若 QL 二A4g20。（如图 1）,求证2（2）若上L二840=90。（如图

12、2）,则线段DE、3A ME的数量关系为 .2（3）在（1）的条件下，若CE=2,.花=2近,求ME的长.对角互补专题探究(五)例3.如图1,正方形H8CQ中，尸为边8C延长线上的一点，E为。尸的中点，0P的垂直平 分线交边DC于初，交边BC于Q,交边，3的延长线于N.(1)求证。P=MV：若PC：尸8=1:3,那么线段。E与QN的数量关系为: (3)如图2,连接绕着点P旋转JCPM,角的两边分别交边A3、AD于点H K, 交边CQ于点R,当四边形。的而枳为24, MR： RC=1： 2时，求.变式训练：L已知：在正方形43CZ)中，P为直线,打上一点，连接5尸，以8尸为底边作等腰直角三角形

13、二 PBE,连接&E(1)如图1，当点尸在线段上时，求证：JI HE;(2)如图2,当点尸在线段的延长线上时，线段43、XP、，4E的数量关系是(3)在(2)的条件下，过点,4作zLF二产瓦4产交3c的延长线于尸，过点C作二。CF的平分线，交于点H若.43=4四边形尸8E4的面积为5,求线段CH的长.2.已知等边三角形,48C.点。为3c的中点，二VDM=120。两边分别交直线铝分别于 点林M(1)如图 1,求证：2(2)如图2,线段MC、，宓、AV的数量关系是；(3)在(2)的条件下，将:NDM的两边DM、ON分别反向延长，交.48、HC的延长线分 别于点尸,连接E尸若即三1, CM=2,求的长.