对角互补模型+培优练习.docx
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对角互补模型+培优练习
对角互补+角平分线模型
已知，四边形ABCD,ZB+ZD=180°,AC平分二BCD
结论二AB=AD
结论二的证明有三种方法
1四点共圆2双垂法3旋补法
其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。
下面,我介绍双垂法和旋补法。
方法一：
双垂法
证明：
分别过A作CD和CB得垂线AM和AN
二AC平分二BCDZAM=AN
又二二B+二D=180。
二二ABN=CD
二二ABN二二ADM
ZAB=AD
方法二：
旋补法
证明：
延长CD到E,作等腰二ACE
匚AC=AE,匚AEC=二ACE=二ACB又口二B+匚D=180。
□二B=CZADE
匚二ABC二二ADE
匚AB=AD
其实匚二B一二D二180。
二AC平分二BCD二AB=AD只要给出其中任意俩个条件，必定能推出第三个,大家可以自己用双垂法试试。
已知，四边形ABCD,匚B+二D=180。
，AC平分二BCD
结论二BC+CD=2ACcose
证明：
过A作AF二CD
由结论匚可知：
二ACE为等腰三角形，且BC=DE
二BC+CD=CE=2CF
又二CF=ACcosB
ZBC+CD=2CF=2ACcos0
已知，四边形ABCD,ZB+ZD=180°,AC平分二BCD结论二四边形ABCD的面积二等腰三角形ACE的面积=AC到nOcos。
•••黄会绿，把黄割补到绿的位置
・•・四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积
VACE的面积=AF*CF
（其中4.4F=ACsin0,CF=ACcos0）
•••四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC2sinecose
特别地，当二BCD=120。
时，BC+CD=2ACcos60°=AC四边形ABCD而积=正三角形ACE面积
特别地，当二BCD=90。
时，BC+CD=2ACcos45°=AC
四边形ABCD而积=等腰直角三角形ACE而积
对角互补专题探究
（一）
基本图形：
如图1，在四边形FBDE中，：
:
石。
尸+匚E8F=180。
，旋转NFBE得到NHSL求证：
4FBHs△EBI;
如图2,在四边形F8QE中，二EDF十二EBF=180°,连接助，/DBE=/CBF,若4BCD为等边三角形，探究：
线段DE、DF、应）之间的数量关系:
如图3,在四边形FBDE中，二皮F+匚E8F=180。
，连接BD,/DBE=/CBF,若BD±DCZDCB=30°
探究：
线段QE、DF、助之间的数量关系:
例1.已知直角梯形一空8..1D二3c，二,4=90。
，二E8尸=二。
.
⑴当.10X5=1:
8,二。
=60。
时，如图1所示，求证：
DE+DF=BC;
⑵.当"=1:
1,匚。
=45。
时，如图2所示，则线段DE、DF、BC之间的数量关系
（3）.在Q）的条件，如图3所示，若AB=2时，3A%=MC,连接AF.FM,若AF与BE交于点N,当二小初=45。
时,求线段NF的长度.
变式训练:
1.已知直角梯形乂BCD,m二3。
4。
=".铝二4=90。
二。
=60。
"/二8。
于HJP为BC上一点,作二“尸=60。
此角的两边分别交功于瓦交8于F.
11）.如图1，当点尸在点B处时，求证：
2AE+CF=2CH-
⑵.如图2,当点尸在点H处时，线段J£、CF、CH的数量关系为:
⑶.在
（2）的条件下，连接尸8、石产,用与切交于点K,若乂3=2、后为产=&1,求线段用的
2.已知平行四边形.1BCD二。
=60。
，点从产分别为D8上两点二比厂=二。
.
（1）.如图1,当•铝=8C时，求证：
CF+AE=BC：
（2）
.如图2,当."=£8。
时，线段：
CEzlE、8c三者之间有何数量关系:
7
例2.已知：
二45C中，匚&C3=90。
，二8=30。
点P为边AB上的一点,匚石尸F=90。
.尸尸与边,4。
交于点EPE与边3c交于点E设.4PPB=k
（D如图1,当女=1时，则：
”+be=Lab；32
（2）.如图2,当％=1时，线段JF、43的数量关系为:
（3）
.在
（2）的条件下，如|冬13,连接CPKF交于点K,将尸尸沿着EF对称，对称后与CP交于点连接若工。
=3,当ME二FP时，求的值.
变式训练:
1.等边二43c中，8H为边上的高，点尸为,二边中点，匚"F=90。
此角的两边与,4C边交于点E与高交于点E
⑴如图1,求证:
附■、行班＞、45;
2
（2）如图2,则线段FH、BE、之间满足的关系式为:
（3）如图3,在
（2）的条件下，连接EF,直线EF与BC交于点、N,将EV沿着抄对称，对称
后与乂8交于点M若KC=4、与呸=13时，求8N长度.
对角互补专题探究
（二）
1.直线，〃〃〃，点£3分别在直线泄、"上，且点乂在点5的右侧.点尸在直线胴上，
.出连接BP、
以PB为一边在PB右侧作等边45尸C,连接XC过点P作PDLn于点D.
（1）当点尸在月的右侧时（如图1）,求证：
BD^AC
（2）当点尸在,4的左侧时（如图2）,线段8。
与,4。
之间的数量关系为.
（3）在⑵的条件下，设尸。
交,43于点N,PC交于点河（如图3）,若的面积为下，求线段MN的长.
图3
2.如图，直线产-史6+4左（左＞0）与x轴交于反与y轴交于。
，点。
与点C是关于直线助3
对称，连接8C,若,4C=4、Q.
⑴求上的值：
（2）点尸为。
8的中点，动点E从点B出发，每秒1单位速度沿向点4运动，过点尸做PE的垂线交AC于点E当点尸与点。
重合时点E停止运动.设运动时间为t秒，4PHF面积为S,写出S与，点函数关系式，并直接写出自变量，的取值范围.
（）连接H7,是否存在，值，使得s”NFPH=±若存在请求，值，若不存在，说明理由.
7
对角互补专题探究（三）
例1.己知：
四边形H3CQ中，二3C,匚&山二二10。
，点石在CQ边上运
动（点E与C、。
两点不重合），二1E尸为直角三角形，ZJEP=90°,二产=30。
，过点E作EM二BC交AF于点、M.
（1）若二及0=120。
（如图1）,求证：
BF+DE=EM；
（2）若二8m=90。
（如图2）,则线段3尸、DE、EW的数量关系为.
（3）在
（1）的条件下，若JD：
BF=3：
2,EM=7,求CE的长.
变式训练:
1.已知：
矩形乂38中吆=k，点从尸分别在8、C3上运动，且/E4/（角a为锐48一
角），过石作EM〃BC交工F于点M,探究BF、DE.ME之间的数量关系为
（1）当K=JJ,q=45。
时，
（2）当斤J5,q=60。
时，
（3）当&=5，a=30。
时，
2.如图：
已知四过形.138中22=长、/9州=/88=90。
，点E、尸分别在C。
、CB上运AB一
动，且/E4/=。
（角a为锐角），过E作EA/〃5。
交乂尸于点M,探究3尸、DE、ME之间的数量关系为.
对角互补专题探究（四）
例2.已知:
四边形，488,乂3三切，二8=匚。
=90。
二E4尸二30。
过下作RMZ3C交乂石于
（1）当匚A1D=6O。
时（如图1所示），求证：
BE+FD=FM：
（2）当匚A£D=90。
时（如图2所示），则线段。
产,枚的数量关系为；
（3）在
（1）的条件下（如图3所示），连接交于点G,交AF于点、K,交.MF于点、N,若BG:
DK=3,5,EW44时，KV的长.
变式训练：
1.已知四边形W5CD中，.IDQSC,二BAD^ADC,点尸在8边上运动（点石与
C、。
两点不重合）
（1）若二瓦。
=90。
（如图/）,JD=2zl3,二E1F=45°,求证：
DF+2BE=FG
（2）若二8JZM50。
（如图2）,AB=AD,二E4F=3O。
则DF、BE、FG的数量关系为.
（3）在
（1）的条件下（如图3）直线WF交直线8G于点H,求GH的长.
2.己知：
四边形乂88中，，红）二3CU3=CQ=九4。
、二式但二〃）C,点E在CQ边上运动（点、E与C、。
两点不重合）,将AE绕点.4顺时针旋转30。
后与BC边交于点尸，过点E作EMZBC交&尸于点
⑴若QL二A4g20。
（如图1）,求证
2
（2）若上L二840=90。
（如图2）,则线段DE、3AME的数量关系为.
2
（3）在
（1）的条件下，若CE=2,.花=2近,求ME的长.
对角互补专题探究（五）
例3.如图1,正方形H8CQ中，尸为边8C延长线上的一点，E为。
尸的中点，0P的垂直平分线交边DC于初，交边BC于Q,交边，3的延长线于N.
（1）求证。
P=MV：
⑵若PC：
尸8=1:
3,那么线段。
E与QN的数量关系为:
（3）如图2,连接绕着点P旋转JCPM,角的两边分别交边A3、AD于点HK,交边CQ于点R,当四边形。
的而枳为24,MR：
RC=1：
2时，求.
变式训练：
L已知：
在正方形43CZ）中，P为直线,打上一点，连接5尸，以8尸为底边作等腰直角三角形二PBE,
连接&E
（1）如图1，当点尸在线段上时，求证：
JIHE;
（2）如图2,当点尸在线段的延长线上时，线段43、XP、，4E的数量关系是
（3）在
（2）的条件下，过点,4作zLF二产瓦4产交3c的延长线于尸，过点C作二。
CF的平分
线，交于点H若.43=4四边形尸8E4的面积为5,求线段CH的长.
2.已知等边三角形,48C.点。
为3c的中点，二VDM=120。
两边分别交直线•铝分别于点林M
（1）如图1,求证：
2
（2）如图2,线段MC、，宓、AV的数量关系是；
（3）在
（2）的条件下，将:
:
NDM的两边DM、ON分别反向延长，交.48、HC的延长线分别于点尸,连接E尸若即三1,CM=2,求"的长.
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