1、二次函数旋转折叠二次函数综合训练(折叠,旋转,对称,平移)1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)将OAB绕点A顺时针旋转90后,将B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足NBB1的面积是ND D1面积的2倍,求点N的坐标2、如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=m x2+2mx+n上(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,若四边形A
2、ABB为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)试求出菱形AABB的对称中心点M的坐标 3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a角,旋转后的矩形记为矩形EDCF在旋转过程中,(1)如图,当点E在射线CB上时,E点坐标为 ;(2)当CBD是等边三角形时,旋转角a的度数是 (a为锐角时);(3)如图,设EF与BC交于点C,当EC=CG时,求点G的坐标;(4)如图,当旋转角a=90时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上4、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1)将矩形OABC绕原点逆时针旋转90,
3、得到矩形OABC设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C、M、N解答下列问题:(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;(2)将MON沿直线BB翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式5、在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),ABx轴,ABC是直角三角形,ACB=90(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;(2)将ABC直线AB翻折,得到ABC1,再将ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到AB1
4、C2请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围6、如图抛物线y=a x2+ax+c(a0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y轴交于C,若抛物线过点E(-1,2)(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴的下方是否存在一点P使得PBC的面积为3?若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;(3)若D为原点关于A点的对称点,F点坐标为(0,1.5),将CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位
5、置)?请指出并证明你的结论7、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连接AB(1)现将AOB绕点O按逆时针方向旋转90,得到COD,(点A落到点C处),请画出COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由8、在
6、平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲(1)当=60时,请猜测ABF的形状,并对你的猜测加以证明(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式(3)当=90时,如图乙请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由9、在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2将矩形OABC绕点O顺时针旋转90,得到矩形DEFG(如图1)(1)若抛物线y=- x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;(2)将矩形DE
7、FG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示图2中,在0t1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;在0t3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的RtPFB与RtAOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索)10、如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点,点的
8、对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点(1)判断点是否在轴上,并说明理由;(2)求抛物线的函数表达式;(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由11.已知如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD.(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;(2)将BCH绕点B按顺时针旋转90后 再沿x轴对折得到BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q. 问是否存
9、在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为13两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. 二次函数综合训练(折叠,旋转,对称,平移)答案1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)将OAB绕点A顺时针旋转90后,将B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足NBB1的面积是NDD1面积的2倍,求点N的坐标解析 (1)利用待定系数法,将点A,B的坐标代入解析式即可求得;(2)根据旋转的知识可得:A(
10、1,0),B(0,2),OA=1,OB=2,可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2)将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;(3)首先求得B1,D1的坐标,根据图形分别求得即可,要注意利用方程思想2、如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,若四边形AABB为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)试求出菱形AABB的对称中心点M的坐标【解析】(1)本题需先根
11、据题意把A (-2,4)和点B (1,0)代入抛物线y=mx2+2mx+n中,解出m、n的值即可(2)本题需先根据四边形AABB为菱形得出y的解析式,再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式(3)本题需根据平移与菱形的性质,得到A、B的坐标,再过点A作AHx轴,得出BH和AH的值,再设菱形AABB的中心点M,作MGx轴,根据中位线性质得到MG、BG的值,最后求出点M的坐标3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a角,旋转后的矩形记为矩形EDCF在旋转过程中,(1)如图,当点E在射线CB上时,E点坐标为 ;(2)当CBD是等边三角形时,旋转
12、角a的度数是 (a为锐角时);(3)如图,设EF与BC交于点C,当EC=CG时,求点G的坐标;(4)如图,当旋转角a=90时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上【解析】(1)依题意得点E在射线CB上,横坐标为4,纵坐标根据勾股定理可得点E(2)已知BCD=60,BCF=30,然后可得=60(3)设CG=x,则EG=x,FG=6-x,根据勾股定理求出CG的值(4)设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a(x-4)2,把点A的坐标代入求出a值当x=7时代入函数解析式可得解4、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1)将矩形OABC绕原点逆时
13、针旋转90,得到矩形OABC设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N解答下列问题:(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;(2)将MON沿直线BB翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式【解析】(1)根据四边形OABC是矩形,A(3,0),C(0,1)求出B的坐标,设直线BB的解析式为y=mx+n,利用待定系数法即可求出此直线的解析式,进而可得出M、N两点的坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把CMN三点的坐
14、标代入此解析式即可求出二次函数的解析式;(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,由对称的性质可得出OPMN,OE=PE,PM=OM=5,再由勾股定理求出MN的长,由三角形的面积公式得出OE的长,利用两点间的距离公式求出x、y的值,把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可;(3)由于抛物线移动的方向不能确定,故应分三种情况进行讨论【解答】(3)在上下方向上平移时,根据开口大小不变,对称轴不变,所以,二次项系数和一次项系数不变,根据它过原点,把(0,0)这个点代入得常数项为0,新解析式就为:y=-12x2+2x;在左右方向平移时,开口大小不变,二次项系数不变,为-12,这时根据已经求出的C(
15、-1,0),M(5,0),可知它与X轴的两个交点的距离还是为6,所以有两种情况,向左移5个单位,此时M与原点重合,另一点经过(-6,0),代入解出解析式为y=-12x2-3x;当它向右移时要移一个单位C与原点重合,此时另一点过(6,0),所以解出解析式为y=-12x2+3x5、在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),ABx轴,ABC是直角三角形,ACB=90(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;(2)将ABC直线AB翻折,得到ABC1,再将ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到AB1C2请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;(3)将
16、题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围【解析】(1)过C作CDAB于D,根据A、C的坐标,易求得AD、CD的长,在RtACB中,CDAB,利用射影定理可求得BD的长(也可利用相似三角形得到),由此求得点B的坐标,进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式;(2)根据ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上,可过C2作C2D1AB1,根据ACDAC2D1得AD1、CD1的长,从而求出点C2的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可;(3)在(1)题中求得了抛物线的二次项系数,即可用m表示出平移后
17、的抛物线顶点坐标,得(m,4m-m22),由于此顶点在ACB的边上或内部,因此顶点横坐标必在0m5的范围内,然后分三种情况考虑:顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标,那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标,方法同结合上面四个不等关系式,即可得到m的取值范围6、如图抛物线y=ax2+ax+c(a0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y轴交于C,若抛物线过点E(-1,2)(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴的下方是否存在一点P使得PBC的面积为3?若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;(3)若D为原点关于A点的
18、对称点,F点坐标为(0,1.5),将CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位置)?请指出并证明你的结论【解析】(1)抛物线y=ax2+ax+c(a0)的对称轴是x=-a2a=-12,又因与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,求出A、B点的坐标,解决第一问;(2)因为SABC=3,PBC的面积是3,说明P点一定在过A点平行于BC的直线上,且一定是与抛物线的交点,因此求出过A点的直线,与抛物线联立进一步求得答案;(3)连接DC、BC,证明三角形相似,利用旋转的性质解决问题7、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,
19、0),连接AB(1)现将AOB绕点O按逆时针方向旋转90,得到COD,(点A落到点C处),请画出COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由【解析】(1)根据旋转的性质知CODAOB,则OC=OA、OD=OB,由此可求出C、D的坐标,进而用待定系数法即可求出
20、抛物线的解析式;(2)将(1)题所得的抛物线解析式化为顶点式,然后根据“左加右减,上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式;联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标;取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E,那么直线EF与此对称轴的交点即为所求的P点,可先求出直线EF的解析式,联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标;(3)可根据对称轴方程设出P点坐标,分别表示出PE、PF、EF的长;由于PEF的直角顶点没有确定,因此要分成三种情况考虑:EPF=90,PEF=90,PFE=90;可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边,利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程,求出P点的坐标8、在平面直角坐标系xO
21、y中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲(1)当=60时,请猜测ABF的形状,并对你的猜测加以证明(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式(3)当=90时,如图乙请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由【解析】(1)根据旋转的知识可得AB=AF,根据BAF=60可得ABF为等边三角形;(2)利用AGB为直角三角形,根据勾股定理可得CG的长,也求得了G的坐标,利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式;(3)易得F坐标,利用顶点式可得经过点F,且以点B为顶点的抛物线,易得H的
22、坐标,把横坐标代入所得函数解析式,看是否等于纵坐标即可9、在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2将矩形OABC绕点O顺时针旋转90,得到矩形DEFG(如图1)(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;(2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示图2中,在0t1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;在0t3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的RtPFB与RtAOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索)【解析】(1)首先确定点B、F的坐标,将点的坐标代入函数解析式,解方程组即可求得;(2)首先求得对称轴,根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得利用相似三角形的性质即可求得:过点F作FPFB,FP交x同于点P,延长FE交AB于点M,要使RtPFBRtAOC,只要FB:FP=2:1即可,而RtBMFRtPGF,所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21,列出方程解答即可求出此时点P的坐标第10、11题答案省略
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