二次函数旋转折叠.docx

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二次函数旋转折叠

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）

1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．

（3）设

（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；

（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；

（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；

（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题

（1）所求的抛物线的图象上；

（3）将题

（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．

6、如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？

若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；

（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？

请指出并证明你的结论．

7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和

B（5，0），连接AB．

（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；

（2）将

（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．

（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．

（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．

（3）当α=90°时，如图乙．请探究：

经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．

9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．

（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；

（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．

①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与

（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？

如果不变，求出其值；

②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：

是否存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似？

若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．

10、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形

的边

在

轴的负半轴上，边

在

轴的正半轴上，且

，

，矩形

绕点

按顺时针方向旋转

后得到矩形

．点

的对应点为点

，点

的对应点为点

，点

的对应点为点

，抛物线

过点

．

（1）判断点

是否在

轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在

轴的上方是否存在点

，点

，使以点

为顶点的平行四边形的面积是矩形

面积的2倍，且点

在抛物线上，若存在，请求出点

，点

的坐标；若不存在，请说明理由．

11.已知如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q.问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）答案

1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．

（3）设

（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

[解析]

（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据旋转的知识可得：

A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，

可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：

y=x2-3x+1；

（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．

2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

【解析】

（1）本题需先根据题意把A（-2，4）和点B（1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．

（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．

（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；

（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；

（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

【解析】

（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．

（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．

（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．

（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；

（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

【解析】

（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；

（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．

【解答】（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，

所以，二次项系数和一次项系数不变，

根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，

新解析式就为：

y=-12x2+2x；

②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，

这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，

所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），

代入解出解析式为y=-12x2-3x；

③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），

所以解出解析式为y=-12x2+3x．

5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题

（1）所求的抛物线的图象上；

（3）将题

（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．

【解析】

（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；

（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1⊥AB1，根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；

（3）在

（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得（m，4m-m22），由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：

①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．

②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．

③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．

结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．

6、如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？

若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；

（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？

请指出并证明你的结论．

【解析】

（1）抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；

（2）因为S△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；

（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．

7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．

（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；

（2）将

（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】

（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）将

（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；

（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：

①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．

8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．

（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．

（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．

（3）当α=90°时，如图乙．请探究：

经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．

【解析】

（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；

（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；

（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．

9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．

（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；

（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．

①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与

（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？

如果不变，求出其值；

②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：

是否存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似？

若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．

【解析】

（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；

（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得．

②利用相似三角形的性质即可求得：

过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB于点M，

要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：

FP=2：

1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．

第10、11题答案省略