微分方程积分因子的求法.docx

1、微分方程积分因子的求法微分方程积分因子的求法何佳【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何 求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。但对于一个具体的方程，如 何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不 容易的。但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。通过查找我 们发现，在大多数常微分方程的教材中都只给出了只与X或y有关的积分因 子的求法，但这是不够的。所以我们在这里来讨论一下关于求解“(xa/)和 严+勿“)这两类积分因子的充要条件及部分例题，山此我们就可以得到形式 相近的积分因子。如：通过“ = x+y,可以得到“

2、 = 的积分因子。如此举一 反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。同时，还对积分因子的求法进 行了推广，总结出儿类方程积分因子的求法。【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 2一、 “（屮yp）和“（* + byn）两类积分因子 1、与A（Aa/）有关的积分因子 3 2、与+ by）有关的积分因子 4二、 微分方程积分因子求法的推广 1、 满足条件空-=e/（A-）-的积分因子求法dy dx y 7 2 方程（加 + 3）xm+1 + y2 + 3xy3dv + 6y + 3x2y2 + 3V刃心=0积分因子 10 3、 方程3* + m（x + y）0= 0 积分因子 12

3、 4、方程（4+m） + mxnly+4y dx+x + 4xH, + 5 y心=0 积分因子 13参考文献 15 “心）和“収”+収） 两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术 中产生，而乂成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。人 们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规 律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学 语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则 -UT然。所以我们必须能够求出它的解。同时，对于全微分方程我们有一个通 用的求解公式。但是

4、，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方 程都是全微分方程。那时对于这类不是全微分方程的一阶微分方程该如何求出它 的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。1.与心夕）有关的积分因子一般的，我们有这样的定义：假如存在这样的连续可微函数“（x , y ）工0使方程：“（x,y）M（x,y）dx+“（x,y）N（x,y）dy=O. （1-1）成为全微分方程，我们就把“（x,y）称为方程（1-1）的一个积分因子。! (兰雪xZ yz (myQ 一 /zxP) cy dx 1 卜心产（砂2必P）则方程(11)有积分因子:证明:设= 令z = 则“满足:1 哥翅、 (1 + x3)-(1

5、 + 4/)yQ-xP dy dx y(x + 4xy4 + 8y3) -x(y + xy + 2a2)1xy + 2方程有积分因子：2.与T蚁)有关的积分因子推论1则方程1）有积分因子:证明：如果仅是关于（x+V）的函数，即“ = “（x + y）, = x + y,此时满足:(1 In p dz d In / dz D 6P cQdz dx dz dy 莎 dxr/ln/_ 1 dP dQdz Q-P dy dx因此,当上式右端仅是关于（x+ y）的函数时，设为 =/心+ y），则方程（11）有积分因子:/ = expJ0(x+y)(x+y) 2(yQ-XP)()=(P(x2+y2)则方程

6、(11)有积分因子：p = expJx2 + y2M(x2 + y2).证明 设“=“（疋+才），令z = x +）r贝ij“满足（ii）式，bp：cl In / & d n “ Bz p _ 6P dQdz dx dz 內 內 dx1 dP dQ翻-2叶知甞=dn “dz (2xQ-2yP) dy dx因此,当上式右端为(x2 + y2)的函数时,设为p(x2 + y2)9则方程1)有积分因子:“ = exp J(x + y2M(x2 + y2)推论3若 1 (6P 一 60)(“工o)仅是(v2 + )的函数时，(2x0-aP) dy dx设1 阿 60、 、 ( ) = 0(X +) (

7、IxQaP) dy &则方程1)有积分因子:证明：/ = exp |(p(x2 +ay)d(x2 +6zy)J 设“ = “(F+ay),令z = x2 +ay,则满足(1-1)式，即：In “ dz d In / dz. dP oQ Q p = dz dx (lz dy dy dxnh“2 应 aP = dP-dQdz, L &rln“_ 1 QP dQ(lz (2xQ-aP) dy dx因此，仅当上式右端为(x2+ay)的函数时，设为(p(x2+ay),则方程(11)有积分因子：p = expJ(p(x2 +ay)d(x2 +ay)例 1 求解(2x + 3x2y + y2 - y3 )d

8、x + (2y + 3xy2 + x2 -x3)Jv = 0 的积分因子.1 dP oQ _ (3x2 + 2y - 3y2) - (3y2 + 2x - 3x2)C2 - P ar (2y + 32 + x2 - x3) - (2? + 3x2y + y2 - y3)-“MT1(x+y)2例2求解方程(x + +4y) dx + = 0的积分因子.解：由方程可知P = x + yjx2 +4y ; 0 = 2因为2xQ-aP(dy Q 2(宀4勾仅是x2+4y的函数，则方程的积分因子是：“=心亦二、微分方程积分因子求法的推广微分方程积分因子求法的推广主要写了儿类特定微分方程的积分因子的求法，

9、极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。1满足条件丄的积分因子求法oy dx y定理1假设P(x,y)x + 0(x,y)y = O中P(兀y), Q(x.y)存在以下关系:兰晋5丄oy dx y其中/(X)是兀的连续函数，则该方程的积分因子是:“(x, y) = e 、=eJ y 证明:=一(兀刃y)P(x, y)dx+y)Q(x, y)dy = 0即：込p叽退dy dy dyP dP= _/7 + /z_皱=0空+“型dx dx dx= 03“+“理OX若要使得“(x,y)是积分因子，必须满足:dpQ _ opPdx dyrII P oP dQ则 -/-a-=2/(a)

10、/-a-即 Qf(Q cy J“=dPdxdy即要满足： 坐_竺=_心).ox dy y若满足以上定理可得到如下定理：定理2如果“(x, V)=M y是方程P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0的积分因子,则/心,)2 =(丿八讪),)2 =貝曲,2也是该方程的积分因子证明：*.* f.rPdx+f.rQdy = 0警,喙嵋dx咖。）=2“Q空+ “空dx dx= 2xr0（x）/ + /r OXdy dx咖P）咖0） =（2“嘤+“2讐）_（2竝字+ “警）dy dy ox ox=2“ （嘤一 Q譽）+ “燈一譽）oy ox dy ox=2（升0（枷）+川詈一譽）=2/?（一0（

11、功 + “2（嬰一驴y dy ox2因为f（x）,丄分别是I y的连续函数，则由连续函数的局部性质知2/（x）,- y也分别是x, y的连续函数.又因为 乞型=20（劝-兰dy dx y響一警曲上一叫）+“谱罟）oy dx y dy dx=2/r （-0（切）+ 2川（-Qf（x）y y=0所以rPdx+“2q心=0是全微分方程.所以“2也是该方程的积分因子.例3求yxydx + e sin xdy = 0的积分因子.解：dy dx/(x) = -cotx可以山上面的定理得到方程的积分因子:f-cot.uitp = 0 y 例4 求ysin xdx + x3yely = 0的积分因子.解：丝-

12、更f 3dy ox可以取/w = zZp=z2从而使该方程能够满足定理1所需条件 x yex x则有:I dx _3 f -dv 1 yp = e % y = e x y = r y = x ” x所以方程的积分因子是:同理，由定理2知：F也是该方程的积分因子. 2 方程(2 + 3)yH+l + mx y2 + 3xy3 dx+6y4 + 3x2y2 + 3x,uy dy = 0 积 分因子定理3齐次方程为：(加+3)严 + inx y2 + 3 a)3 心+6y“ + 3x2y2 + 3/刃 dy = 0则该方程有积分因子： = (F+y2)l证明：令 z = (x2 + y2)2则知1

13、1z 2 2= x(x- + r) 2 = y(x +y ) 2dx dyp(x,y)Pdx + /(a y)Qdy = 0P = (m + + /nxw! y2 + 3xy3Q = 6y4+3x2y2+3x,nyduP du dz dP =P + dy dz dy dy= Pyx2 + y2)dz dy若有:dpP _ dpQdy ox也即是有:(Py- xQ)x2 + r)4 字=“(理-竺)dz ox oy(?+y2)5W + 屛.例5求解齐次方程6cos x+3y2 cosx+3y3 cosx(cosx) + 6y* +3cos2 xy2 +3x2y dy = 0的积分因子.解：由定理

14、3得方程的积分因子是：i/ = (x2 + y2)53.方程3疋+心+刃严厶+ 30心=0积分因子定理4齐次方程：3x + m(x + y)x dx + 3xcly = 0则该方程有积分因子：“=(x+)y.证明：令 z = (x+y)2则知丝= 2“2y 空=2 龙+ 2ydx 6 因为(儿 y)Pdx + /心,y)Qdy = 0所以有duP du dz dP=P +u dy dz dy dyn/c r、“ oP= P(2x + 2y)-y- + / dz. dy5iQ - o “ 敢 dQ= Q(2x + 2y)字+“晋dz. ox若冇 _ &pQ dy ox则有：(P - G)(2x

15、+ 2y)字=“(字-)az ox dydQ cPn丄吆： “ dz_ dx dy(P-0)(2x + 2y)dQ dPJin/ _dz- ox dy(P 0)(2x + 2y)1(a- + y)2 虫 rf(x+y)2所以 /心=戶=ln(x+y)2= (x+y)2.例6求解齐次方程3sin4X + 4(sinx + e )sin3x J(sinx) + 3sin4xde =0 的积分因子.解： 方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为:/ = (sinx + v)2 4方程(4 +财 + nix,ny + 4y dx+x + 4x + 5M = 0积分因子 定理5若齐次方程的形式为

16、：(4 + 诃+ nu-y+4y dx+卜+4xH, +5ydy = 0则方程的积分因子是:=（x+）y = 3P(x+)A 字 + “彳dx dz, dx dx即有:dQ dP=1 dp _ dx dy / dz (P-0)3(x+y)2dQ dP=Jin / & dydz (P 03(x+y)2f!=e=Inf.v+y/= (x+y)所以方程的积分因子是：/ = (x+y)3.例7求齐次方程(7sin3 x + 3sin2 xy + 4y)x + (sin x + 4sin3 x + 5y)dy = 0的积分因子.解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是：/ = (x+y)3-本文讨论

17、了儿种微分方程积分因子的求解方法。同时，还对积分因子的求解 方法进行了推广，总结出儿类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方 程积分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。参考文献1鲜大权.一阶线性常微分方程解法及教学.西北工业大学，2007.2刘玉仁.解常微分方程的积分因子法J.r州师范学院学报(自然科学版)1985.3王丰效.积分因子的存在性定理及其应用，喀什师范学院学报，2006.4王高雄 等.常微分方程M.高等教育岀版社.1983.5高正晖.一阶微分方程三类积分因子的计算J.衡阳师范学院学报.2002.6E.卡姆克.常微分方程手册M.科学出版社.1977.(x+)y j-丄*所以 “gy) = J时