微分方程积分因子的求法.docx
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微分方程积分因子的求法
微分方程积分因子的求法
何佳
【摘要】
利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。
因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。
但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。
但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。
通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与X或y有关的积分因子的求法，但这是不够的。
所以我们在这里来讨论一下关于求解“（xa/）和〃@严+勿“）这两类积分因子的充要条件及部分例题，山此我们就可以得到形式相近的积分因子。
如：
通过“=x+y,可以得到“=的积分因子。
如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。
同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出儿类方程积分因子的求法。
【关键字】
微分方程，积分因子，求解方法
【目录】
引言
2
一、“（屮yp）和“（*+byn）两类积分因子
§1、与A（Aa/）有关的积分因子
3
§2、与+by"）有关的积分因子
4
二、微分方程积分因子求法的推广
§1、满足条件空-—=e/（A-）--的积分因子求法
dydxy
7
§2>方程［（加+3）xm+1+y2+3xy3］dv+［6y°+3x2y2+3V"刃心=0积
分因子
10
§3、方程［3*"+m（x+y）0」］=0积分因子
12
§4、方程［（4+m）^+mx>n~ly+4y^dx+［x+4xH,+5y］心=0积分因子
13
参考文献
15
—■“心）和“収”+収）两类积分因子
引言：
微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。
它从生产实践与科学技术中产生，而乂成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则-UT然。
所以我们必须能够求出它的解。
同时，对于全微分方程我们有一个通用的求解公式。
但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是全微分方程。
那时对于这类不是全微分方程的一阶微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。
§1.与心夕）有关的积分因子
一般的，我们有这样的定义：
假如存在这样的连续可微函数“（x,y）工0
使方程：
“（x,y）M（x,y）dx+“（x,y）N（x,y）dy=O.（1-1）
成为全微分方程，我们就把“（x,y）称为方程（1-1）的一个积分因子。
「—!
（兰—雪
[x'Zyz（myQ一/zxP）]cydx
1
卜心产（砂2—必P）］
则方程（1・1）有积分因子:
证明:
设=令z=则“满足:
1哥翅、（1+x3）-（1+4/）
yQ-xPdydxy（x+4xy4+8y3）-x（y+x'y+2a2）
1
xy+2
方程有积分因子：
§2.与T蚁）有关的积分因子
推论1
则方程⑴1）有积分因子:
证明：
如果〃仅是关于（x+V）的函数，即“=“（x+y）,=x+y,
此时〃满足:
（1InpdzdIn//dzD6PcQ
dzdxdzdy莎dx
r/ln//_1dPdQ
dzQ-Pdydx
因此,当上式右端仅是关于（x+y）的函数时，设为〃=/心+y），则方程（1・1）
有积分因子:
//=exp
J0（x+y）〃（x+y）]•
2（yQ-XP）（^~^）=（P（x2+y2）
则方程（1・1）有积分因子：
p=exp
J^x2+y2M（x2+y2）].
证明设“=“（疋+才），令z=x+）r贝ij“满足（i・i）式，bp：
clIn//&d]n“Bzp_6PdQ
dzdxdz內內dx
1dPdQ
翻-2叶知甞
=d\n“
dz（2xQ-2yP）dydx
因此,当上式右端为（x2+y2）的函数时,设为＜p（x2+y2）9则方程⑴1）有积
分因子:
“=expJ^（x+y2M（x2+y2）]
推论3
若1（6P一60）（“工o）仅是（v2+◎）的函数时，
（2x0-aP）dydx
设
1阿60、「、
（）=0（X+©）（IxQ^aP）dy&
则方程⑴1）有积分因子:
证明：
//=exp|（p（x2+ay）d（x2+6zy）J・
设“=“（F+ay）,令z=x2+ay,则〃满足（1-1）式，即：
In“dzdIn//dz.dPoQ
Qp=
dzdx（lzdydydx
n〃h“[2应aP]=dP-dQ
dz,L」&
r〃ln“_1QPdQ
（lz（2xQ-aP）dydx
因此，仅当上式右端为（x2+ay）的函数时，设为（p（x2+ay）,则方程（1・1）有
积分因子：
p=exp[J（p（x2+ay）d（x2+ay）]
例1求解（2x‘+3x2y+y2-y3）dx+（2y'+3xy2+x2-x3）Jv=0的积分因子.
1dPoQ_（3x2+2y-3y2）-（3y2+2x-3x2）
C2-P"ar"（2y+3^2+x2-x3）-（2?
+3x2y+y2-y3）
-“"MT
1
~~（x+y）2'
例2求解方程（x++4y）dx+=0的积分因子.
解：
由方程可知
P=x+yjx2+4y;0=2
因为
2xQ-aP（dyQ2（宀4『勾
仅是x2+4y的函数，则方程的积分因子是：
“=心亦・
二、微分方程积分因子求法的推广
微分方程积分因子求法的推广主要写了儿类特定微分方程的积分因子的求
法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。
§1满足条件⑴丄的积分因子求法
oydxy
定理1假设P（x,y）〃x+0（x,y）〃y=O中P（兀y）,Q（x.y）存在以下关系:
兰晋5丄
oydxy
其中/（X）是兀的连续函数，则该方程的积分因子是:
“（x,y）=e、
=eJ・y■
证明:
=一〃（兀刃
y）P（x,y）dx+y）Q（x,y）dy=0
即：
込p叽退
dydydy
PdP
=_/7+/z__
皱=0空+“型
dxdxdx
=03“+“理
OX
若要使得“（x,y）是积分因子，必须满足:
dpQ_opP
dxdy
rIIPoPdQ
则-/-a-=2/（a）/-a-
即
——Qf（QcyJ
“=
dP^
dx
dy
即要满足：
坐_竺=£_©心）.
oxdyy
若满足以上定理可得到如下定理：
定理2如果“（x,V）=』'M•y是方程P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0的积分因子,
则/心,〉,）2=（丿八讪•）,）2=貝"曲•〉,2也是该方程的积分因子
证明：
*.*f.rPdx+f.rQdy=0
警",喙嵋
dx
咖。
）=2“Q空+“空
dxdx
=2xr0（x）//+/r—
OX
dydx
咖P）咖0）=（2“嘤+“2讐）_（2竝字+“警）
dydyoxox
=2“（嘤一Q譽）+“燈一譽）
oyoxdyox
=2〃（升0（枷）+川詈一譽）
=2/?
（£一0（功+“2（嬰一驴
ydyox
2
因为f（x）,丄分别是Iy的连续函数，则由连续函数的局部性质知2/（x）,->‘y
也分别是x,y的连续函数.
又因为乞—型=20（劝-兰
dydxy
響一警曲上一叫））+“谱罟）
oydxydydx
=2/r（--0（切）+2川（--Qf（x））
yy
=0
所以^rPdx+“2q心=0是全微分方程.
所以“2也是该方程的积分因子.
例3求yxydx+esinxdy=0的积分因子.
解：
dydx
/（x）=-cotx
可以山上面的定理得到方程的积分因子:
f-cot.uit
p=0・y■
例4求ysin'xdx+x3ye\ly=0的积分因子.
解：
丝-更f3®'
dyox
可以取
/w=zZp£=z2从而使该方程能够满足定理1所需条件xyexx
则有:
I—dx_3f-dv1y
p=e%・y=ex•y=r・y=—x”x
所以方程的积分因子是:
同理，由定理2知：
"F也是该方程的积分因子.
§2方程[（〃2+3）yH+l+mx^~}y2+3xy3]dx+〔6y4+3x2y2+3x,uydy=0积分因子
定理3齐次方程为：
[（加+3）严+inx"'^y2+3a）'3]心+[6y“+3x2y2+3/刃dy=0
则该方程有积分因子：
〃=（F+y2）l
证明：
令z=（x2+y2）2
则知
11z22\"~
—=x（x-+r）2—=y（x+y）2
dxdy
p（x,y）Pdx+//（a\y）Qdy=0
P=（m++/nxw"!
y2+3xy3
Q=6y4+3x2y2+3x,ny
duPdudzdP=P—+〃——dydzdydy
=Py{x2+y2）~
dzdy
若有:
dpP_dpQ
dyox
也即是有:
（Py-xQ）{x2+r）4字=“（理-竺）
dzoxoy
（?
+y2）5
W+屛.
例5求解齐次方程
[6cos'x+3y2cosx+3y3cosx]〃（cosx）+[6y*+3cos2xy^2+3x2ydy=0
的积分因子.
解：
由定理3得方程的积分因子是：
i
//=（x2+y2）5
§3.方程［3疋+〃心+刃严］厶+30心=0积分因子
定理4齐次方程：
[3x"+m（x+y）x'"»]dx+3x"'cly=0
则该方程有积分因子：
“=（x+）y.
证明：
令z=（x+y）2
则知
丝=2“2y空=2龙+2y
dx6•
因为
"（儿y）Pdx+/心,y）Qdy=0
所以有
duPdudzdP
——=P—+u——
dydzdydy
n/cr、〃“oP
=P（2x+2y）-y-+//—
dz.dy
5iQ-o〃“敢dQ
=Q（2x+2y）字+“晋
dz.ox
若冇_&pQdyox
则有：
（P-G）（2x+2y）字=“（字-—）
azoxdy
dQcP
n丄吆：
“dz
_dxdy
（P-0）・（2x+2y）
dQdP
Jin//_
dz
-oxdy
（P—0）・（2x+2y）
1
（a-+y）2
[—虫[—rf（x+y）2
所以/心=戶"
=^ln（x+y）2
=（x+y）2.
例6求解齐次方程
3sin4X+4（sinx+e）sin3xJ（sinx）+3sin4xde^=0的积分因子.
解：
方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为:
//=（sinx+^v）2•
§4方程[（4+〃财+nix,n~y+4y]dx+[x+4x"+5>M=0积分因子定理5若齐次方程的形式为：
[（4+〃诃"+nu^-'y+4y]dx+卜+4xH,+5y~\dy=0
则方程的积分因子是:
〃=（x+）y•
=3P（x+）A字+“彳
dxdz,dxdx
即有:
dQdP
=1dp_dxdy//dz（P-0）・3（x+y）2
dQdP
=Jin//
&dy
dz（P—0・3（x+y）2
f—!
—
=e]
=^Inf.v+y/
=（x+y）‘
所以方程的积分因子是：
//=（x+y）3.
例7求齐次方程
（7sin3x+3sin2xy+4y）〃x+（sinx+4sin3x+5y）dy=0
的积分因子.
解：
方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是：
//=（x+y）3-
本文讨论了儿种微分方程积分因子的求解方法。
同时，还对积分因子的求解方法进行了推广，总结出儿类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方程积分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。
参考文献
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1985.
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[4]王高雄等.常微分方程[M].高等教育岀版社.1983.
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[6]E.卡姆克.常微分方程手册[M].科学出版社.1977.
（x+）yj-丄*
所以“gy）=J时
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