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1、群群 论论第二章 群的基本知识1第二章第二章 群的基本知识群的基本知识 本章首先介绍群的基本知识，包括群的概念，子群，同态与同构，共轭类，不变子群与商群，群的直积，最后介绍几个简单的群例。本章分以下几节:1,群的概念,2,子群，同态与同构 3,共轭类，不变子群与商群 4,群的直积与外直积 5,某些简单群22.1 群的概念群的概念 群是数学元素的一种特殊的集合，它要求集合中两个元素满足某些组合规则，这集合具有代数结构，组合规则（常称为乘法）它可以是普通乘法的推广也可以是矩阵相乘或两元素置换等。1.群的定义群的定义 群是一种具有代数结构的数学元素的集合。它的组合规则（乘法）满足以下四条：（1）封闭

2、性 集合中任意两个元素的乘积（包括自乘）都在此集合内，取集合为G (2)乘法满足结合律 即32.1 群的概念群的概念（3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素(Identity Element)而且只存在一个单位元素e (4),集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元为 ，有 是唯一的。在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而群元素不可数的称为连续群。42.1 群的概念群的概念

3、2.乘法表与群示例乘法表与群示例 如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为eabcdeee=e ea=a bcdaae=a aaabacadbbbabbbcbacccacbcccddddadbdcdd52.1 群的概念群的概念 显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表的重排定理。若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称的。下面给出几个例子 例例1 乘法为普通数乘法，单位元素为 ,a=-1逆元素为 自己，其乘法定律 ee=e,aa=e,ea

4、=ae=a,这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维空间矢量 作用 e保持 不变的恒等变换 a 使 反演的反演变换，则 构成反演群。我们称群G与反演群同构。62.1 群的概念群的概念 例例2 利用普通乘法构成群，乘法表为 1 i -1 -i 1 1 i -1 -i i i -1 -i 1 -1 -1 -i 1 i -i -i 1 i -1 从表中看出，相对主对角线是对称的，因此它是一个Abel群。另外看到这群元素可以用一个元素多次幂得到，这元素为i，即 这样由一个元素多次幂组成群称循环群,为四阶循环群 72.1 群的概念群的概念 对元素a形成n阶循环群为 的逆元素为 由 定理定理2.

5、1 重排定理重排定理：设群 当 取遍所有的元素时，给出并仅一次给出G中的所有元素。重排定理是关于群乘法的重要定理，它指出每一个群元素在乘法表的每一行（或每一列）中被引出一次也仅一次。例例3 所有的整数 乘法取为普通加法时，构成一个群，这群也是一个Abel群，其单位元素为0，n的逆元素为-n 全部正整数就不构成一个群，因为它没有逆元素。82.1 群的概念群的概念 例例4 三客体的置换群(permutation group)，它是简单的非Abel群，三客体编号为1，2，3排成一列，排列次序作一个变化，看成同一种置换，即置换主要为元素对应变化，不在排列次序，三客体置换群有以下六个元素：元素个数为3！

6、=6，它是一个6阶置换群表为 ，也称3客体对称群。92.1 群的概念群的概念 n个客体的置换群元素个数为n!，表为 ，也称n客体的对称群。若两置换乘积ba=d，即先实现a再实现b置换得d。的乘法表为：e a b c d f|e|e a b c d f a|a e f d c b b|b d e f a c c|c f d e b a d|d b c a f e f|f c a b e d 从乘法表看出，它对主对称轴是不对称的，所以它是非Abel群。102.1 群的概念群的概念 例例5 平面正三角形对称群又称6阶二面体群，它由保持正三角形不变的空间转动操作形成群。图2.1平面正三角形对称变换以下

7、六种操作平面正三角形不变：e 不转 a 绕轴1转 b 绕轴2转 c 绕轴3转 d 绕垂直轴z转2 /3，f 绕z轴转-2 /3。如图2.1所示 112.1 群的概念群的概念 给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘积 ，给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。e a b c d f|e|e a b c d f a|a e d f b c b|b f e d c a c|c d f e a b d|d c a b f e f|f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 与平面正三角形对称群 同构。12

8、2.2 子群子群,同态和同构同态和同构 1.子群与陪集子群与陪集 定义定义2.2,群G集合中一部分元素的子集合H若在原群乘法规则下满足群的四点要求，H称为G的子群。例例.6,取 ，则 就是G的二阶子群。例例.7 在定义群乘法为数的加法时，整数全体构成群是实数全体构成群的子群。定理定理2.2 子群定理子群定理：群G的非空子集H是群的一个子群，其充分与必要条件是若h与 满足 。证明：由H是G的子集满足结合律取 得 ，则H中保持单位元素，另外取 ，则 。H中有逆元素,最后取h为 有 满足乘法规则下的闭合性，因此H为一个子群。132.2 子群子群,同态和同构同态和同构 换言之，G的一个子集H在其乘法下

9、是闭合的，则为G的一个子群。任意一个群其单位元素e和群本身是G的子群，称平庸子群(trivial subgroup)其他子群称真实子群，我们要求的是真实子群.为了证明一个重要定理Lagrange定理，要引入一个重要的概念，称子群的陪集(coset)若H是群G的真实子群，其元素为 ，则G中一定存在至少一个元素a不属于H的，则用a乘H所有元素 形成一个子集称由a产生H的左陪集，可表示aH。注意aH不是一个群，因其中没有单位元素，相似也有右陪集Ha，一般情况左陪集与右陪集是不完全一样的。142.2 子群子群,同态和同构同态和同构 定理定理2.3 陪集定理陪集定理 子群H的两个陪集aH和bH，如果它们

10、两个中有一个共同元素，则这两个陪集完全相同。证明：让 则 则a在bH中a乘任何元素 因此aH中任何元素在bH中，反过来bH中任何元素也在aH中，因此aH与bH是完全一样的。152.2 子群子群,同态和同构同态和同构 定理定理2.4 Lagrange定理定理 有限群G的任何子群的阶是有限群阶的乘因子。若有限群阶N，子群阶为m，则有N/m=k (k为整数)这定理在求有限群子群时是很有用的。证明：从旁集定理看出子群的任何两陪集是不相交的，要么完全相同，要么完全不同，若子群阶为m，则陪集阶也为m。则若有限群阶为N，则子群外形成陪集元素为N/m=k-1，利用 乘子群H，即得到G中所有元素，k称为H在群G

11、中指数，定理得到。若群G阶数为素数，G就没有任何真实子群，若群的阶为6，从定理得到，其真实子群阶只有2和3。162.2 子群子群,同态和同构同态和同构2.同态与同构同态与同构 定义定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射，且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积，称群G与群F同构。记 映射称同构映射。即 ：两个同构的群不仅群元素间一一对应，而且乘法规则也一一对应，因此从抽象群来说两个同构群本质上没有任何区别。172.2 2.2 子群子群,同态和同构同态和同构例例.8,空间反演群E,I和二阶循环群 同构.例例.9 三元素的置换群 和三角形对称

12、群 同构，它们都是6阶的。同构群作为抽象数学群是一样的，但当它们用于不同的物理与几何问题时，它们将表示不同的物理或几何意义。定义定义2.4,若在群G到群F的映射中，G的几个元素都对应F的一个元素，g映射成f，称为g的像。如果在映射过程中群的代数结构不变，称为同态映射，符号表示为GF。G与F同态但F不与G同态。182.2 子群子群,同态和同构同态和同构 定义定义2.5,若群G与群F同态，G中与F单位元素 对应的元素的集合 称为同态核。注意与G同态于F，但F不一定同态于G。由同态映射要求保持代数结构，因此对群带来一些限制，下面给出两个定理。定理定理2.5 若群G同态映射于F，它的像为 。通常 是具

13、有单位元素 的F中的子群，e为G中单位元素。证明：首先证明G中单位元素的像 是F的单位元素。对任一G中 元素g有 但 ，因此 是F中的单位元素。其次证明 即任何逆元素的像也是它像的逆 由 得到192.2 子群子群,同态和同构同态和同构最后证明 是F的子群，从子群定理知，要证明若 与 是 的元素，则 也是 的元素。由 得证。定理定理2.6.同态映射GF 的同态核是 G 的子群 证明：前面指出凡以F中单位元素e为像的元素称为GF的同态核。这些元素要形成一个子群，就要证明若 映射为e，则 也映射为e（子群定理）由 =e 则 定理得证。202.2 子群子群,同态和同构同态和同构 从定理中得到同态映射G

14、F 的同态核是G的子群，但不是所有G的子群都可以作为同态映射核的。只有G中某些特殊的子群才具有这性质。这些子群称为正规子群(normal subgroup)或不变子群。下面将进一步讨论。下面给出一个同态映射例子。例例10 群 与群 同态，分别 212.3 共轭类共轭类 不变子群与商群不变子群与商群 1.共轭与共轭类共轭与共轭类定义定义2.6,若群G中存在元素x，f，g使得 称元素f与g共轭，fg 共轭有对称性 即fg则gf，且ff 共轭还具有传递性 即当 则有 ，因 ，故222.3 共轭类共轭类 不变子群与商群不变子群与商群 定义定义2.7,群中互为共轭元素的完全集合称为共轭类（或简称为类）用

15、 表示。由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被类中任一个元素所决定，而两个不同的类没有公共元素。因此群可以按共轭类进行分割。每个类中元素个数不一定相同，而按子群的陪集分割时，每个陪集元素的个数是相同的。按共轭类和陪集分割群是分割群的两种重要方式。单位元素e本身构成一类。由 ，在这一类中没有其它元素，因此除单位元素外，群G的其它共轭类都不是子群，因没有单位元素。下面考虑几个例子 例例11,Abelian群 每个元素以它自己为一类，由元素可以交换,则 232.3 共轭类共轭类 不变子群与商群不变子群与商群 例例12,三体置换群 利用乘法表直接可证明它存在以下三共轭类。分别对应于没有元素交换，

16、三个元素交换和一对元素交换242.3 共轭类共轭类 不变子群与商群不变子群与商群 例例13,三维空间转动形成一个群，这群中任何同角的转动形成一类。若R表示绕 轴转动 角，S表示绕 轴转角，则 T 就是一个转动使 变为 ，则转动S与R是共轭的，它们属于一类。定理定理2.7 群G任何共轭类元素的个数是群的除数 证明：设是群G中一元素，其相应类为 类中另一元素为 252.3 共轭类共轭类 不变子群与商群不变子群与商群 当s跑遍的所有元素，可得到类 的所有元素。但这些元素中有很多是相同的，哪些元素对应同样的 呢？引入与a对易元素 与 a 对易 的集合称为a的模数，它是G的一个子群：则其右陪集 与所有元素产生同一 。不同陪集得到不同类 元素。因此类元素个数为，是群的除数。例例14,Abel群 则 Abel群中每一元素为一类，元素个数为1.又如置换群 的阶为6，类元素个数为1，2，3，均为6的除数（因子）。262.3 共轭类共轭类 不变子群与商群不变子群与商群2,不变子群不变子群 定义定义2.8 若H是G的子群，对任意G的元素g，H的元素 有 ，即H包含了所有与 同类的元素，称H为的不变子群，又称