群论第二章ppt.ppt
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群群论论第二章群的基本知识1第二章第二章群的基本知识群的基本知识本章首先介绍群的基本知识，包括群的概念，子群，同态与同构，共轭类，不变子群与商群，群的直积，最后介绍几个简单的群例。
本章分以下几节:
1,群的概念,2,子群，同态与同构3,共轭类，不变子群与商群4,群的直积与外直积5,某些简单群22.1群的概念群的概念群是数学元素的一种特殊的集合，它要求集合中两个元素满足某些组合规则，这集合具有代数结构，组合规则（常称为乘法）它可以是普通乘法的推广也可以是矩阵相乘或两元素置换等。
1.群的定义群的定义群是一种具有代数结构的数学元素的集合。
它的组合规则（乘法）满足以下四条：
（1）封闭性集合中任意两个元素的乘积（包括自乘）都在此集合内，取集合为G
（2）乘法满足结合律即32.1群的概念群的概念（3）,存在单位元素集合中存在一个单位元素或称恒等元素（IdentityElement）而且只存在一个单位元素e（4）,集合总任何元素的逆元素在集合中，a的逆元为，有是唯一的。
在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称为群。
在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘法满足交换律称为交换群或Abel群群元的数目称为群的阶，记为g。
g为有限称为有限群。
元素无限称为无限阶群。
群元可数的无限群为离散无限群，而群元素不可数的称为连续群。
42.1群的概念群的概念2.乘法表与群示例乘法表与群示例如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群结构就确定了。
这乘积可以排列成一个乘法表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为eabcdeee=eea=abcdaae=aaaabacadbbbabbbcbacccacbcccddddadbdcdd52.1群的概念群的概念显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表的重排定理。
若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称的。
下面给出几个例子例例1乘法为普通数乘法，单位元素为,a=-1逆元素为自己，其乘法定律ee=e,aa=e,ea=ae=a,这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维空间矢量作用e保持不变的恒等变换a使反演的反演变换，则构成反演群。
我们称群G与反演群同构。
62.1群的概念群的概念例例2利用普通乘法构成群，乘法表为1i-1-i11i-1-iii-1-i1-1-1-i1i-i-i1i-1从表中看出，相对主对角线是对称的，因此它是一个Abel群。
另外看到这群元素可以用一个元素多次幂得到，这元素为i，即这样由一个元素多次幂组成群称循环群,为四阶循环群72.1群的概念群的概念对元素a形成n阶循环群为的逆元素为由定理定理2.1重排定理重排定理：
设群当取遍所有的元素时，给出并仅一次给出G中的所有元素。
重排定理是关于群乘法的重要定理，它指出每一个群元素在乘法表的每一行（或每一列）中被引出一次也仅一次。
例例3所有的整数乘法取为普通加法时，构成一个群，这群也是一个Abel群，其单位元素为0，n的逆元素为-n全部正整数就不构成一个群，因为它没有逆元素。
82.1群的概念群的概念例例4三客体的置换群（permutationgroup），它是简单的非Abel群，三客体编号为1，2，3排成一列，排列次序作一个变化，看成同一种置换，即置换主要为元素对应变化，不在排列次序，三客体置换群有以下六个元素：
元素个数为3！
=6，它是一个6阶置换群表为，也称3客体对称群。
92.1群的概念群的概念n个客体的置换群元素个数为n!
，表为，也称n客体的对称群。
若两置换乘积ba=d，即先实现a再实现b置换得d。
的乘法表为：
eabcdf|e|eabcdfa|aefdcbb|bdefacc|cfdebad|dbcafef|fcabed从乘法表看出，它对主对称轴是不对称的，所以它是非Abel群。
102.1群的概念群的概念例例5平面正三角形对称群又称6阶二面体群，它由保持正三角形不变的空间转动操作形成群。
图2.1平面正三角形对称变换以下六种操作平面正三角形不变：
e不转a绕轴1转b绕轴2转c绕轴3转d绕垂直轴z转2/3，f绕z轴转-2/3。
如图2.1所示112.1群的概念群的概念给出乘法表如下表：
从表中看出，群中元素任一个u乘积，给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。
eabcdf|e|eabcdfa|aedfbcb|bfedcac|cdfeabd|dcabfef|fbcaed后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。
还可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。
三客体置换群与平面正三角形对称群同构。
122.2子群子群,同态和同构同态和同构1.子群与陪集子群与陪集定义定义2.2,群G集合中一部分元素的子集合H若在原群乘法规则下满足群的四点要求，H称为G的子群。
例例.6,取，则就是G的二阶子群。
例例.7在定义群乘法为数的加法时，整数全体构成群是实数全体构成群的子群。
定理定理2.2子群定理子群定理：
群G的非空子集H是群的一个子群，其充分与必要条件是若h与满足。
证明：
由H是G的子集满足结合律取得，则H中保持单位元素，另外取，则。
H中有逆元素,最后取h为有满足乘法规则下的闭合性，因此H为一个子群。
132.2子群子群,同态和同构同态和同构换言之，G的一个子集H在其乘法下是闭合的，则为G的一个子群。
任意一个群其单位元素e和群本身是G的子群，称平庸子群（trivialsubgroup）其他子群称真实子群，我们要求的是真实子群.为了证明一个重要定理Lagrange定理，要引入一个重要的概念，称子群的陪集（coset）若H是群G的真实子群，其元素为，则G中一定存在至少一个元素a不属于H的，则用a乘H所有元素形成一个子集称由a产生H的左陪集，可表示aH。
注意aH不是一个群，因其中没有单位元素，相似也有右陪集Ha，一般情况左陪集与右陪集是不完全一样的。
142.2子群子群,同态和同构同态和同构定理定理2.3陪集定理陪集定理子群H的两个陪集aH和bH，如果它们两个中有一个共同元素，则这两个陪集完全相同。
证明：
让则则a在bH中a乘任何元素因此aH中任何元素在bH中，反过来bH中任何元素也在aH中，因此aH与bH是完全一样的。
152.2子群子群,同态和同构同态和同构定理定理2.4Lagrange定理定理有限群G的任何子群的阶是有限群阶的乘因子。
若有限群阶N，子群阶为m，则有N/m=k（k为整数）这定理在求有限群子群时是很有用的。
证明：
从旁集定理看出子群的任何两陪集是不相交的，要么完全相同，要么完全不同，若子群阶为m，则陪集阶也为m。
则若有限群阶为N，则子群外形成陪集元素为N/m=k-1，利用乘子群H，即得到G中所有元素，k称为H在群G中指数，定理得到。
若群G阶数为素数，G就没有任何真实子群，若群的阶为6，从定理得到，其真实子群阶只有2和3。
162.2子群子群,同态和同构同态和同构2.同态与同构同态与同构定义定义2.3。
若从群G到群F上存在一一对应的映射，且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积，称群G与群F同构。
记映射称同构映射。
即：
两个同构的群不仅群元素间一一对应，而且乘法规则也一一对应，因此从抽象群来说两个同构群本质上没有任何区别。
172.22.2子群子群,同态和同构同态和同构例例.8,空间反演群E,I和二阶循环群同构.例例.9三元素的置换群和三角形对称群同构，它们都是6阶的。
同构群作为抽象数学群是一样的，但当它们用于不同的物理与几何问题时，它们将表示不同的物理或几何意义。
定义定义2.4,若在群G到群F的映射中，G的几个元素都对应F的一个元素，g映射成f，称为g的像。
如果在映射过程中群的代数结构不变，称为同态映射，符号表示为GF。
G与F同态但F不与G同态。
182.2子群子群,同态和同构同态和同构定义定义2.5,若群G与群F同态，G中与F单位元素对应的元素的集合称为同态核。
注意与G同态于F，但F不一定同态于G。
由同态映射要求保持代数结构，因此对群带来一些限制，下面给出两个定理。
定理定理2.5若群G同态映射于F，它的像为。
通常是具有单位元素的F中的子群，e为G中单位元素。
证明：
首先证明G中单位元素的像是F的单位元素。
对任一G中元素g有但，因此是F中的单位元素。
其次证明即任何逆元素的像也是它像的逆由得到192.2子群子群,同态和同构同态和同构最后证明是F的子群，从子群定理知，要证明若与是的元素，则也是的元素。
由得证。
定理定理2.6.同态映射GF的同态核是G的子群证明：
前面指出凡以F中单位元素e为像的元素称为GF的同态核。
这些元素要形成一个子群，就要证明若映射为e，则也映射为e（子群定理）由=e则定理得证。
202.2子群子群,同态和同构同态和同构从定理中得到同态映射GF的同态核是G的子群，但不是所有G的子群都可以作为同态映射核的。
只有G中某些特殊的子群才具有这性质。
这些子群称为正规子群（normalsubgroup）或不变子群。
下面将进一步讨论。
下面给出一个同态映射例子。
例例10群与群同态，分别212.3共轭类共轭类不变子群与商群不变子群与商群1.共轭与共轭类共轭与共轭类定义定义2.6,若群G中存在元素x，f，g使得称元素f与g共轭，fg共轭有对称性即fg则gf，且ff共轭还具有传递性即当则有，因，故222.3共轭类共轭类不变子群与商群不变子群与商群定义定义2.7,群中互为共轭元素的完全集合称为共轭类（或简称为类）用表示。
由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被类中任一个元素所决定，而两个不同的类没有公共元素。
因此群可以按共轭类进行分割。
每个类中元素个数不一定相同，而按子群的陪集分割时，每个陪集元素的个数是相同的。
按共轭类和陪集分割群是分割群的两种重要方式。
单位元素e本身构成一类。
由，在这一类中没有其它元素，因此除单位元素外，群G的其它共轭类都不是子群，因没有单位元素。
下面考虑几个例子例例11,Abelian群每个元素以它自己为一类，由元素可以交换,则232.3共轭类共轭类不变子群与商群不变子群与商群例例12,三体置换群利用乘法表直接可证明它存在以下三共轭类。
分别对应于没有元素交换，三个元素交换和一对元素交换242.3共轭类共轭类不变子群与商群不变子群与商群例例13,三维空间转动形成一个群，这群中任何同角的转动形成一类。
若R表示绕轴转动角，S表示绕轴转角，则T就是一个转动使变为，则转动S与R是共轭的，它们属于一类。
定理定理2.7群G任何共轭类元素的个数是群的除数证明：
设是群G中一元素，其相应类为类中另一元素为252.3共轭类共轭类不变子群与商群不变子群与商群当s跑遍的所有元素，可得到类的所有元素。
但这些元素中有很多是相同的，哪些元素对应同样的呢？
引入与a对易元素与a对易的集合称为a的模数，它是G的一个子群：
则其右陪集与所有元素产生同一。
不同陪集得到不同类元素。
因此类元素个数为，是群的除数。
例例14,Abel群则Abel群中每一元素为一类，元素个数为1.又如置换群的阶为6，类元素个数为1，2，3，均为6的除数（因子）。
262.3共轭类共轭类不变子群与商群不变子群与商群2,不变子群不变子群定义定义2.8若H是G的子群，对任意G的元素g，H的元素有，即H包含了所有与同类的元素，称H为的不变子群，又称
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