格林公式例题与习题.ppt

1、目录 上页 下页 返回 结束 区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)规定：域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、格林公式格林公式目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证证:令则利用格林公式,得目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),

2、B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则利用格林公式,有目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:根据定理2,若在某区域D内则注注：求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。2)可用积分法求d

3、 u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 3)若已知 d u=P dx+Q dy,则对D内任一分段光滑曲定理2 线 AB,有注注:此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P213定理4).它类似于微积分基本公式:目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则目录 上页 下页 返回 结束 例例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数及 证证:设则由定理2 可知,存在函数

4、u(x,y)使目录 上页 下页 返回 结束 例例6.验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令则由定理定理 2 可知存在原函数目录 上页 下页 返回 结束 或目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!内容小结 转内容小结目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.格林公式2.等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程目录 上页 下页 返回 结束 2.设提示提示:作业作业P214 5(1),(4)；第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第四节