格林公式例题与习题.ppt

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目录上页下页返回结束区域D分类单连通区域（无“洞”区域）多连通区域（有“洞”区域）规定：

域D边界L的正向正向:

域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有（格林公式格林公式）函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、一、格林公式格林公式目录上页下页返回结束推论推论:

正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束例例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证证:

令则利用格林公式,得目录上页下页返回结束例例2.计算其中D是以O（0,0）,A（1,1）,B（0,1）为顶点的三角形闭域.解解:

令,则利用格林公式,有目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,

（1）沿D中任意光滑闭曲线L,有

（2）对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分（3）（4）在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:

在D内是某一函数的全微分,即目录上页下页返回结束说明说明:

根据定理2,若在某区域D内则注注：

求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。

2）可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:

及动点或则原函数为取定点1）计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束3）若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲定理2线AB,有注注:

此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式（P213定理4）.它类似于微积分基本公式:

目录上页下页返回结束例例4.计算其中L为上半从O（0,0）到A（4,0）.解解:

为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则目录上页下页返回结束例例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数及证证:

设则由定理2可知,存在函数u（x,y）使目录上页下页返回结束例例6.验证在右半平面（x0）内存在原函数,并求出它.证证:

令则由定理定理2可知存在原函数目录上页下页返回结束或目录上页下页返回结束例例7.设质点在力场作用下沿曲线L:

由移动到求力场所作的功W解解:

令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.目录上页下页返回结束思考思考:

积分路径是否可以取取圆弧为什么？

注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!

内容小结转内容小结目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程目录上页下页返回结束2.设提示提示:

作业作业P2145

（1）,（4）；第四节目录上页下页返回结束第四节