1、13.3.2 等边三角形第十三章 轴对称 第2课时 含30角的直角三角形的性质 八年级数学上(RJ)学习目标1探索含30角的直角三角形的性质(重点)2会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算(难点)导入新课导入新课问题引入问题1 如图,将两个相同的含含30角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?分离拼接ACB问题2 将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折,如图所示,你有什么发现?讲授新课讲授新课含30角的直角三角形的性质一u性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图,ADC是ABC
2、的轴对称图形,因此AB=AD,BAD=230=60,从而ABD是一个等边三角形.再由ACBD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗?证法1证明:在ABC 中,C=90,A=30,B=60延长BC 到D,使BD=AB,连接AD,则ABD 是等边三角形又ACBD,已知:如图,在RtABC 中,C=90,A=30.求证:BC=ABABCD 证明方法:倍长法BC=ABBC=BDEABC 证明2:在BA上截取BE=BC,连接EC.B=60,BE=BC.BCE是等边三角形,BEC=60,BE=EC.A=30,ECA=BEC-A=60-30=30.AE=EC,AE=BE=BC,AB=AE+BE=2B
3、C.BC=AB证明方法:截半法知识要点含30角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.u应用格式:在RtABC 中,C=90,A=30,ABCBC=AB 判断下列说法是否正确:1)直角三角形中30角所对的直角边等于另一直角边的一半2)三角形中30角所对的边等于最长边的一半。3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。4)直角三角形的斜边是30角所对直角边的2倍例1 如图,在RtABC中,ACB90,B30,CD是斜边AB上的高,AD3cm,则AB的长度是()A3cm B6cm C9cm D12cm典例精析注意:运用含30角的直角三角形的性质求线
4、段长时,要分清线段所在的直角三角形 D解析:在RtABC中,CD是斜边AB上的高,ADC90,ACDB30.在RtACD中,AC2AD6cm,在RtABC中,AB2AC12cm.AB的长度是12cm.故选D.例2 如图,AOPBOP15,PCOA交OB于C,PDOA于D,若PC3,则PD等于()A3 B2 C.1.5 D1解析:如图,过点P作PEOB于E,PCOA,AOPCPO,PCEBOPCPOBOPAOPAOB30.又PC3,PE1.5.AOPBOP,PDOA,PDPE1.5.故选C.EC方法总结:含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30角的直
5、角三角形例3 如图,在ABC中,C90,AD是BAC的平分线,过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由解:理由如下:DEAB,AEDBED90.DE是ADB的平分线,ADEBDE.又DEDE,AEDBED(ASA),在RtACD中,CAD30,ADBD,DAEB.BADCAD BAC,BADCADB.BADCADB90,BBADCAD30.CD AD BD,即CD DB.方法总结:含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质想一想:图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对
6、的锐角分别是多少度?例4如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB=7.4 cm,A=30,立柱BC、DE 要多长?ABCDEABCDE解:DEAC,BC AC,A=30,BC=AB,DE=AD.BC=AB=7.4=3.7(m).又AD=AB,DE=AD=3.7=1.85 (m).答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.例5 已知:等腰三角形的底角为15,腰长为20.求腰上的高.ACBD15 15 20解:过C作CDBA,交BA的延长线于点D.B=ACB=15(已知),DAC=B+ACB=15+15=30,)CD=AC=20=10.方法总
7、结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30角的直角三角形来解决本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30角,利用含30角的直角三角形的性质解决问题.当堂练习当堂练习1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30角,这棵树在折断前的高度为()A6米 B9米 C12米 D15米2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮以美化环境,已知A150,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()A300a元 B150a元C450a元 D225a元BB4.在ABC中,A:B:C=1:2:3,若AB=10,则BC =.55.如图,Rt
8、ABC中,A=30,AB+BC=12cm,则AB=_.ACB83.如图,在ABC 中,ACB=90,CD 是高,A=30,AB=4则BD=.AB C D 1第3题图第5题图6.在ABC中,C=90,B=15,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长解:连接AE,DE是AB的垂直平分线,BE=AE,EAB=B=15,AEC=EAB+B=30C=90,AC=AE=BE=2.57.在 ABC中,AB=AC,BAC=120,D是BC的中点,DEAB于E点,求证:BE=3EA.证明:AB=AC,BAC=120,B=C=30.D是BC的中点,ADBCADC=90,BAD=DAC=60.AB=2AD.
9、DEAB,AED=90,ADE=30,AD=2AE.AB=4AE,BE=3AE.8.如图,已知ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQAD于点Q,求证:BP=2PQ.拓展提升ADCBEA.证明:ABC为等边三角形,AC=BC=AB,C=BAC=60,CD=AE,CAD=ABE.BAP+CAD=60,ABE+BAP=60.BPQ=60.又 BQAD,BP=2PQ.PBQ=30,BQP=90,课堂小结课堂小结内 容在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半使 用要 点含30角的直角三角形的性质找准30 的角所对的直角边,点明斜边注 意前提条件:直角三角形中
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