中考数学第二轮复习整点好点等问题50道.docx

1、中考数学第二轮复习整点好点等问题50道整点、美点、好点、优点问题50题2x2 432A【解答】 Q 当x 1 时， yC0 k,D 1剟k 21 114333；当x2 时，4 83 2；当 x3时，在第一象限内在二次函数4的图象上和图象下方的整点有6 个，坐标为 (1,1)、 (1,2) 、 (1,3) 、 (2,1) 、 (2,2)， (3,1) Q1 1 1，1 2 2，1 3 3，22 2 4， 3 1 3 ，且在反比例函数 yk(kx0,x 0）的图象上和上方的整点有 5 个，选择题（共 6 小题）1在平面直角坐标系中， 我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点， 已知二次函数 yk和反比例

2、函数 y k （k 0,x 0） 的图象如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）x整点 （1,1）不在阴影区域内， 1 k, 2 2如图，点 P 在直线 y x 1 上，若存在过点P 的直线交抛物线B 两点，且A 直线yxP 为“优点”，下列结论中正确的是（1上的所有点都是“优点”B直线1上仅有有限个点是“优点”C直线1上的所有点都不是“优点”D直线1上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”点，若该抛物线在 A， B 之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，2 2 2 2n m2， 2n x 1 (2m x)2 ，消去 n ，整理得关于 x 的方程： x2 (4m 1)x 2

3、m2 1 0，Q (4m 1)2 4(2m2 1) 8m2 8m 5 0恒成立， 方程( 1)恒有实数解， QP点的随意性， 直线 y x 1 上的所有点都是“优点” 3若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” ，例如2P(1,0) 、Q(2, 2) 都是“整点”抛物线 ymx2 6mx 9m 2(m 0) 与 x 轴交于点 A 、 B 两则 m 的取值范围是(A 2 m, 1B 2, mC 1 m1D 1, m2D【解答】由已知可得y mx2 6mx 9m22 m(x 3)2 2 ，函数的顶点是 (3,2) ， 点(3,2) ， (3,1) ， (3,0)

4、 三点必在抛物线在A，B 之间的部分与线段 AB所围成的区域(包括边界)的区域内，又 Q在此区域内有 7个整点， 必有点 (2,0) ， (4,0) ， (2,1) ， (4,1) ， 当点2(2,1) 在边界上时， m 1， m 1, y m(x 3)2 2与 x 轴的交点 A的横坐标 1 xA 2，112 m ，综上所述， 1, m 2214已知点 A在函数 y1 (x 0)的图象上，点 B在直线 y2 kx 1 k(k 为常数，且 k0)x上若 A ，B两点关于原点对称， 则称点 A，B 为函数 y1 ， y2图象上的一对 “友好点”请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A有

5、 1对或 2 对 B只有 1对 C只有 2对 D有 2对或 3 对11A【解答】设 A(a, ) ，由题意知， 点A关于原点的对称点 B( a, )在直线 y2 kx 1 k 上， aaSPOA SPBC SPAB S POC ，就称格点 P (注：所谓 “格点”，是指平面直角坐标系中横、纵B197，则正方形 OABC内部“好点”的个数为(C198D200B【解答】设该 P 点的坐标为 (x、y) ，且 0x 100 、 0 y 100 并为正整数由题意得2x(100 x) y(100 y ) ， x 22y2 100( xy) ( x y)(x y 100) 0 ，x y 100 0，当 x

6、 y 时，解得满足条件的P 点坐标有 99 个；当 x y 1000 时，解得满足条件的 P点坐标由 99个；又Q (50,50)为公共交点 正方形 OABC 内部“好点”的个数为 99 99 1 197 6我们定义：若点 A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点” 若关于 x 的二次函数2 axtx2t 对于任意的常数t 恒有两个好点” ，则 a 的取值范围为(A 0 a 1B 0 a 12CDA 的横纵坐标相等，即：2axtx2t(a0) ，(t1)28at 0 ，整理得： t 2 (28a)t 1 0 ，(228a)20 ，解得：二填空题(共6 小

7、题)7在平面直角坐标系中，直线 yc 过 y 轴上的动点 C ，直线： y1x、41 x c的44点 B ，横、纵坐标都是整数的点叫做整点记图象图象分别与函数 y 4 (x 0) 交于点 A 、x4y (x 0)在点 B和点C之间的部分与线段 OA 、BC 、OC围成的区域(不含边界)为S 若 x区域 S内恰有 4个整点，则 c 的取值范围是4 4 4c1时，区域 S 内15的整点有 (1,0) ， (2,0) ， (3,0) ，有 3个；当直线 BC:y 1x c过(1, 1)时，c 5，且经445过 (5,0) ， 区域 S内恰有 4个整点， c 的取值范围是 5, c 1如图 2，直线

8、BC在 OA的 4k 1 7上方时， Q点 (2,2) 在函数 y (x 0) 的图象上，当直线 BC : y x c过 (1,2)时， c ，x 4 41 11当直线 BC: y 1x c 过 (1,3)时， c 11， 区域 S内恰有 4 个整点， c 的取值范围447 11c, 44综上所述，区域 S内恰有 4个整点， c的取值范围是 5, c 1或 7 c, 114 4 4此抛物线在点 A，B 之间的部分与线段4a 1（a 0） 交 x 轴于 A ， B 两点，若AB所围成的区域内（包括边界）有且只有 8 个整点横、纵坐标都是整数的点），则 a 的取值范围是1【解答】 Q y16a ，

9、设 A（ 2a部分与线段 AB 所围成的区域内且顶点坐标为 （ 2,1） ， 622ax 4ax 4a 1 a(x 2) 1， 顶点坐标为 ( 2,1) ，令 y 0 ，a， 0） ， B（ 2 aa（包括边界） 有且只有， 0） ， Q 此抛物线在点 A ， B 之间的8 个整点（横、纵坐标都是整数的点） ，9在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 是 x 轴正半轴上的点，记2aa5， 1, 2aa 2，解得： 91, a116我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m 当A(0,4) ，6 时，点B的横坐标 a 的取值范围是m，m 6 ，点16 B的

10、横坐标 a 的取值范围是： 4 a310若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” 例如：2P(1,0) 、Q(2, 2) 都是“整点”抛物线 y mx2 4mx 4m 2(m 0)与 x 轴交于 A、B两点， 若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB所围成的区域(包括边界) 恰有七个整点，则 m 的取值范围是 1 2 2m, 1【解答】 Q y mx2 4mx 4m 2 m(x 2)2 2且 m 0， 该抛物线开口向上，2顶点坐标为 (2, 2) ，对称轴是直线 x 2 由此可知点 (2,0) 、点 (2, 1)、顶点 (2, 2)符合题 意 当该抛物线

11、经过点 (1, 1)和 (3, 1)时(如答案图 1) ，这两个点符合题意将 (1, 1)代 入 y mx2 4mx 4m 2 得 到 1 m 4m 4m 2 解 得 m 1 此 时 抛 物 线 解 析 式 为 y x2 4x 2由 y 0 得 x2 4x 2 0解得 x1 2 2 0.6， x2 2 2 3.4 x 轴 上的点 (1,0) 、 (2,0) 、 (3,0)符合题意则当 m 1时，恰好有 (1,0) 、 (2,0) 、 (3,0) 、 (1, 1)、 (3, 1)、 (2, 1)、 (2, 2)这 7 个整点符合题意 m, 1【注： m 的值越大，抛物线的开口越小， m 的值越小

12、，抛物线的开口越大】 当该抛物线经过点 (0,0) 和点 (4,0) 时(如答案图 2) ，这两个点符合题意此时 x 轴上的点 (1,0) 、 (2,0) 、 (3,0) 也符合题意将 (0,0) 代入2 y mx4mx4m2 得到 0 0 4m 0 2 1 解得 m 1 2此时抛物线解析式为12 y 2 x22x当x1时，得1y 12 12 1 321 点 (1,1) 符合题意当 x 3 时，得 y 129233 1 2点 (3,1)符合题意综上可知： 当1m 时，点 (0,0) 、 (1,0) 、2(2,0) 、(3,0) 、(4,0)、 (1, 1)、 (3, 1)、 (2, 2) 、(

13、2, 1) 都符合题意，共有 9 个整点符合题1 1 1意， m 1不符合题 m 1综合 可得：当 1 m, 1时，该函数的图象与 x轴所围 2 2 2成的区域(含边界)内有七个整点2A（0,4） ，当点 B 的（用11在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点 点B是 x轴正半轴上的整点，记 AOB内部（不包括边界）的整点个数为 m横坐标为 4 时， m 的值是 ；当点 B的横坐标为 4n（n 为正整数）时， m 含 n 的代数式表示）3，3， 6n 3【解答】 如图， n 1，即点 B的横坐标为 4 时，整点个数为： 6 1 3n2 ，即点B 的横坐标为8 时

14、，整点个数为：6 2 3 9 ，n3，即点B 的横坐标为12 时，整点个数为：6 3 3 15，n4 ，即点B 的横坐标为16 时，整点个数为：6 4 3 21，所以，点 B 的横坐标为 4n 时，整点个数为 6n3212如图，抛物线 y 2x2 4x与 x轴交于点 O 、 A ，把抛物线在 x轴及其上方的部分记为C1 ，将C1以 y铀为对称轴作轴对称得到 C2，C2与x轴交于点 B，若直线 y x m与C1，C2yxm 过点 O 、与 C1 相切、过点 B ，与C2相切时的直线， 令 y22x 4x 0，解得： x0或x2 ，则 A(2,0) ，B( 2,0) ，Q C1 与 C2 关 于y

15、铀对称，2C1 : y 2 x 4x 2( x21)22 ， C2 关 解 析 式 为2y 2( x 1)2 222 x 2 4 x( 2剟x0) ，当直线 y x m过点 O时，它与 C1，C2共有 2 个不同的交点，此时m 0 ；当直线与 C1 相切时，令 x m 2x2 4x 得： 2 x 2 3x m 0 ， 9 8m 0 ，9解得： m 89 ；当直线 yx m 过点B 时，有： 0 2 m ， m 2 ；当直线与 C2 相切时，令 x m 2x 24x 得：m 0 ， 25 8m 0 ， 解得：25 9m ， 当m 0或m 或 2,88285时，直线 y xm与C1，C2共有 2个

16、不同的交点三解答题(共 38 小题)13抛物线的解析式为 y行， P(m, n) 是抛物线 y12x412x2 1 上的动点1，3D 点坐标为 ( 1, )2，经过点 C(0, 2)的直线 l与 x轴平（1）求证： P到O的距离 PO等于 P到直线 l 的距离 PE ；（2）当 PDO 的周长最小时，求 P 点的坐标；（3）求三角形 PDO 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，若将“使 PDO 的面积为整数”的点 P 记作“好点” ，若 4剟m 4，请直接写出所有“好点”的个数【解答】（1）证明： Q P（m,n） 是抛物线上的动点，12设 P（m, m 1） ，42 1 2 2 1 2 2

17、 1 2PO d1 m2 （ m2 1）2 （ m2 1）2 m2 1 ，点 P 到直线 l 的距离为 d2 1 m2 1 （ 2） 1 m2 1 ，2 4 4d1 d2 ，P到O的距离 PO等于 P到直线 l的距离 PE（2）解：如图 1中，过 P作PM / / y轴，交直线 l于 M1 2 2Q n m2 1 ，即 m2 4n 4 ；42 2 2PO2 n2 4n 4 (n 2)2 ， 22PO2 PM 2 ，即 PO PM ；Q D 点 ( 1,2，则 OD 的长为定值；若 PDO 的周长最小，则 PO PD 的值最小；Q PO PD PD PM DM ，PD PO 的最小值为 DM ，

18、DM ；即当 D 、 P 、 M 三点共线时 PD PM PO PD此时点 P 的横坐标为 1，代入抛物线的解析式可得y 14 13，4，即 P( 1, 3) 3）解：直线OD 的解析式为3x212x14x3，解得 9y2133 13 或2133 13 ，2连接 DM 如图 3 中，当 2, m1时，作 PM y 轴于12g(21 g(14 m2 1)( m)12m831m42M222)12g(122)g112(114m2)(m)12m8DMx轴于M3 13 时，作如图 4 中，当 1, m22g1g2 g1g(1DOM POM DMP2)1)如图 6 中，当 m2 时，作 PMx 轴于y 轴

19、于 M 12gmg2 2g(1 4m )(1 m)12m8M4剟m 4 ，Q1 1 2 1 12 g(4 m2 1)(m 1) 2gmg(4m2 1)12m8m 4 时， s32，m4 时， S7478，由此可知 S 的整数解为 2，3，4，对应的好点有 5 个14定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P（x,y） 若点 Q（2px,2qy） ，（ 其中 pq 1) ，则称点Q 是点 P 的“中心对称点” 1）若点Q 与坐标原点重合，求 y 与 x 之间的函数关系式；2）若点1P 在抛物线 y mx2（m 0） 上运动，当 P 时，记点Q 随点 P 运动而形成的图形为T求T的解析式；（用含

20、 m 的代数式表示）规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点，图形 T 与 x 轴围成的区域内（含边界）恰有 6个整点，请在坐标系中画出图形T ，并求 m 的取值范围解答】解： （1）由题意 2p x0， 2q y 0，x ，q y，22Qp1，1，2，22）由题意 Q（1 x,1 y） ，Qy2mx ，2Q (1 x,1 mx ) ，2 2 21 mx 1 m(1 x 1) 1 m(1 x) 2m(1 x ) m ， 不妨设 1 x t ，221 mx mt 2mt 1 m ，2Q(t, mt2 2mt 1 m) ，2T 的解析式为 y mt 2 2mt 1 m Q y mt 2 2mt 1 m

21、 m(t 1)2 1，抛物线的顶点坐标为 (1,1)，Q 图形 T 与 t 轴围成的区域内(含边界)恰有 6 个整点，由题意 4m 10 ，解得 1 m, 1 9m 1 0 9 415阅读理解： 在平面直角坐标系中， 过一点分别作坐标轴的垂线， 若垂线与坐标轴围成矩 形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点” 如图 1，矩形 ABOC 的周长与面积相等， 则点 A 是“和谐点” 尝试发现：（1）点 E（2,3） ，F（ 4,4）， M（ 7， 6）， N（ 6， 6 2 6） ，其中“和谐点”是 4请说明理由；探索发现：18（2）如图 2，若点 P是双曲线 y 18 上的“和谐点” ，请求出所

22、有满足条件的 P 点坐标x解答】解： ( 1)“和谐点”为 F 点和 N点理由如下：矩形的周长为2(23)10 ，矩形的面积为236，则点 E不是“和谐点” ；矩形的周长为2(44)16 ，矩形的面积为446 ，则点 F 是“和谐点” ；矩形的周长为2(76)3131 ，矩形的面积为762121，则点 M 不是“和谐点” ；4242矩形的周长为2( 662 6) 6 6 12 ，矩形的面积为 6 (6 2 6) 6 6 12 ，则点 N是“和谐点” ； 故答案为点 F 和点 N (2)设 P(t， 18)(t 0)， 根据题意得 2(t 18) 18 ，整理得 t2 9t 18 0，解得 t1

23、 3，t2 6，此时 P点坐标为 (3,6) ， (6,3) ，点 (3,6) ， (6,3) 关于原点的对称点为 ( 3, 6) ， 所以“和谐点” P的坐标为 (3,6) ， (6,3) ， (16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数A(1,m) (1)求 k 、 m 的值；( 2)已知点 P(n ， 0)( n1) ，过点 P 作平行于( 6, 3) ，3, 6)， ( 6, 3)ky (x 0) 的图象与直线 y 2x 1交于点 xy轴的直线，交直线 y 2x 1于点 B ，交函数 y k(x 0)的图象于点 C 横、纵坐标都是整数的点叫做整点 x当 n 3时，求线段 AB 上的整

24、点个数；k若 y k(x 0)的图象在点 A 、C之间的部分与线段 AB 、BC所围成的区域内 (包括边界)xm 2 1 1 3A(1,3)kQ 点 A(1,3) 在函数 y 的图象上，xk 3 (2)当n 3时， B 、 C两点的坐标为 B(3,7) 、 C(3,1)Q 整点在线段 AB 上1剟x 3且 x为整数x 1 ，2，3当 x 1 时， y 3 ，当 x 2 时， y 5 ，当 x 3 时， y 7 ，线段 AB上有(1,3) 、 (2,5) 、 (3,7)共 3个整点217已知点 P（2, 3）在抛物线 L:y ax2 2ax a k（a ，k均为常数且 a 0）上，L交 y轴于

25、点 C ，连接 CP （1）用 a表示 k ，并求 L的对称轴；（2）当 L经过点 （4, 7） 时，求此时 L的表达式及其顶点坐标；（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点如图，当 a 0时，若 L在点 C ， P之间的部分与线段 CP 所围成的区域内（不含边界）恰有 5 个整点，求 a 的取值范围；（4）点 M （x1， y1） ， N（x2 ， y2）是L上的两点，若 t剟x1 t 1，当 x23时，均有 y1y2 ，直 接写出 t 的取值范围解答】解： （ 1）Q 点 P（2, 3）在抛物线 L :y ax2 2ax a k（a ，k 均为常数且 a 0）上，第16页（共 69页）3 4a 4a a k ，k 3 a ；抛物线 L 的对称轴为直线 x 2a 1，即 x 1；2a(2)QL 经过点 (4, 7)，16a 8a a k 7 ，Q k 3 a，18a 4，解得 a 2， kL 的表达式为 y1 x2 x 3 ；24x2x1yQ52)顶点坐标为 （1, ） ；（ 3）顶点坐标 （1,