中考数学第二轮复习整点好点等问题50道.docx
《中考数学第二轮复习整点好点等问题50道.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学第二轮复习整点好点等问题50道.docx（126页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学第二轮复习整点好点等问题50道
整点、美点、好点、优点问题
50题
2
x24
3
2
A【解答】Q当
x1时，y
C．
0k,
D．1剟k2
111
4
33
3；
当x
2时，
4832；当x
3时，
在第一象限内在二次函数
4的图象上和图象下方的整点有
6个，
坐标为（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）
，（3,1）．Q111，122，133，2
224，313，且在反比例函数y
k
（k
x
0,x0）的图象上和上方的整点有5个，
．选择题（共6小题）
1．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y
k
和反比例函数yk（k0,x0）的图象如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）
x
整点（1,1）不在阴影区域内，1k,2．
2．如图，点P在直线yx1上，若存在过点
P的直线交抛物线
B两点，且
A．直线
y
x
P为“优点”，下列结论中正确的是（
1上的所有点都是“优点”
B．直线
1上仅有有限个点是“优点”
C．直线
1上的所有点都不是“优点”
D．直线
1上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”
点，若该抛物线在A，B之间的部分与线段
AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，
2222
nm2，2nx1（2mx）2，消去n，整理得关于x的方程：
x2（4m1）x2m210
①，Q△（4m1）24（2m21）8m28m50恒成立，方程
（1）恒有实数解，QP点
的随意性，直线yx1上的所有点都是“优点”．
3．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”，例如
2
P（1,0）、Q（2,2）都是“整点”．抛物线y
mx26mx9m2（m0）与x轴交于点A、B两
则m的取值范围是（
A．2m,1
B．2,m
C．1m
1
D．1,m
2
D【解答】由已知可得
ymx26mx9m
2
2m（x3）22，
函数的顶点是（3,2），点
（3,2），（3,1），（3,0）三点必在抛物线在
A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边
界）的区域内，又Q在此区域内有7个整点，必有点（2,0），（4,0），（2,1），（4,1），当点
2
（2,1）在边界上时，m1，m⋯1,ym（x3）22与x轴的交点A的横坐标1xA2，
11
2m，综上所述，1,m．
22
1
4．已知点A在函数y1（x0）的图象上，点B在直线y2kx1k（k为常数，且k⋯0）
x
上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请
问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）
A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对
11
A【解答】设A（a,），由题意知，点A关于原点的对称点B（a,）在直线y2kx1k上，aa
SPOASPBCSPABSPOC，就称格点P（注：
所谓“格点”，是指平面直角坐标系中横、纵
B．197
，则正方形OABC
内部“好点”的个数为（
C．198
D．200
B【解答】设该P点的坐标为（x、
y），且0
x100、0y100并为正整数．
由题意得
2
x（100x）y（100y），x2
2
y2100（x
y）（xy）（xy100）0，
xy1000，当xy时，解得满足条件的
P点坐标有99个；当xy100
0时，解得
满足条件的P点坐标由99个；又Q（50,50）为公共交点．正方形OABC内部“好点”的个
数为99991197．
6．我们定义：
若点A在某一个函数的图象上，且点
A的横纵坐标相等，我们称点
A为这个
函数的“好点”．若关于x的二次函数
2ax
tx
2t对于任意的常数
t恒有两个
好点”，
则a的取值范围为（
A．0a1
B．0a12
C．
D．
A的横纵坐标相等，
即：
2
ax
tx
2t（a
0），△
（t
1）2
8at0，
整理得：
t2（2
8a）t10，△
（2
2
8a）2
0，解得：
二．填空题（共
6小题）
7．在平面直角坐标系中，直线y
c过y轴上的动点C，直线：
y
1
x、
4
1xc的
4
4
点B，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象
图象分别与函数y4（x0）交于点A、
x
4
y（x0）在点B和点C之间的部分与线段OA、BC、OC围成的区域（不含边界）为S．若x
区域S内恰有4个整点，则c的取值范围是
444
c
1时，区域S内
15
的整点有（1,0），（2,0），（3,0），有3个；当直线BC:
y1xc过（1,1）时，c5，且经
44
5
过（5,0），区域S内恰有4个整点，c的取值范围是5,c1．如图2，直线BC在OA的4
k17
上方时，Q点（2,2）在函数y（x0）的图象上，当直线BC:
yxc过（1,2）时，c，
x44
111
当直线BC:
y1xc过（1,3）时，c11，区域S内恰有4个整点，c的取值范围
44
711
c,．
44
综上所述，区域S内恰有4个整点，c的取值范围是5,c1或7c,11．
444
此抛物线在点A，B之间的部分与线段
4a1（a0）交x轴于A，B两点，若
AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点
横、纵坐标都是整数的点）
，则a的取值范围是
1
【解答】Qy
16
a，设A（2
a
部分与线段AB所围成的区域内
且顶点坐标为（2,1），6
22
ax4ax4a1a（x2）1，顶点坐标为（2,1），令y0，
a
，0），B（2aa
（包括边界）有且只有
，0），Q此抛物线在点A，B之间的
8个整点（横、纵坐标都是整数的点），
9．在平面直角坐标系xOy中，
点B是x轴正半轴上的点，记
2a
a
5，1,2
aa2，解得：
91,a
1
16
我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点
AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当
A（0,4），
6时，点
B的横坐标a的取值范围是
m，
m6，点
16B的横坐标a的取值范围是：
4a
3
10．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：
2
P（1,0）、Q（2,2）都是“整点”．抛物线ymx24mx4m2（m0）与x轴交于A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是．
122
m,1【解答】Qymx24mx4m2m（x2）22且m0，该抛物线开口向上，
2
顶点坐标为（2,2），对称轴是直线x2．由此可知点（2,0）、点（2,1）、顶点（2,2）符合题意．①当该抛物线经过点（1,1）和（3,1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1,1）代入ymx24mx4m2得到1m4m4m2．解得m1．此时抛物线解析式为yx24x2．由y0得x24x20．解得x1220.6，x2223.4．x轴上的点（1,0）、（2,0）、（3,0）符合题意．则当m1时，恰好有（1,0）、（2,0）、（3,0）、（1,1）、（3,1）、（2,1）、（2,2）这7个整点符合题意．m,1．【注：
m的值越大，抛物线的开口
越小，m的值越小，抛物线的开口越大】②当该抛物线经过点（0,0）和点（4,0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点（1,0）、（2,0）、（3,0）也符合题意．将（0,0）代入
2ymx
4mx
4m
2得到004m02．
1解得m1．
2
此时抛物线解析式为
12y2x2
2x．
当x
1时，得
1
y121
213
2
1．点（1,
1）符合题意．当x3时，
得y1
2
92
3
31．
2
点（3,
1）符合题意．
综上可知：
当
1
m时，点（0,0）、（1,0）、
2
（2,0）、
（3,0）、
（4,0）
、（1,1）
、（3,1）
、（2,2）、
（2,1）都符合题意，共有9个整点符合题
111
意，m1不符合题．m1．综合①②可得：
当1m,1时，该函数的图象与x轴所围222
成的区域（含边界）内有七个整点．
2
A（0,4），
当点B的
（用
11．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点点B是x轴正半轴上的整点，记AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．
横坐标为4时，m的值是；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m含n的代数式表示）
3，
3，6n3【解答】如图，n1，即点B的横坐标为4时，整点个数为：
613
n
2，即点
B的横坐标为
8时，整点个数为：
6239，
n
3，即点
B的横坐标为
12时，整点个数为：
63315，
n
4，即点
B的横坐标为
16时，整点个数为：
64321，
所以，点B的横坐标为4n时，整点个数为6n
3．
2
12．如图，抛物线y2x24x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为
C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线yxm与C1，C2
yx
m过点O、与C1相切、
过点B，与C2相切时的直线，令y
2
2x4x0，解得：
x
0或x
2，则A（2,0），B（2,0），
QC1与C2关于
y铀对称，
2
C1:
y2x4x2（x
2
1）2
2，C2关解析式为
2
y2（x1）22
2
2x24x（2剟x
0），当直线yxm过点O时，它与C1，C2共有2个
不同的交点，此时
m0；当直线与C1相切时，令xm2x24x得：
2x23xm0，
△98m0，
9
解得：
m89；当直线y
xm过点
B时，有：
02m，m2；
当直线与C2相切时，令xm2x2
4x得：
m0，△258m0，解得：
259
m，当m0或m或2,
88
285时，
直线yx
m与C1，C2共有2个不同的交点．
三．解答题（共38小题）
13．抛物线的解析式为y
行，P（m,n）是抛物线y
12
x
4
12
x21上的动点．
1，
3
D点坐标为（1,）
2
，经过点C（0,2）的直线l与x轴平
（1）求证：
P到O的距离PO等于P到直线l的距离PE；
（2）当PDO的周长最小时，求P点的坐标；
（3）求三角形PDO的面积S与m之间的函数关系式，若将“使PDO的面积为整数”的
点P记作“好点”，若4剟m4，请直接写出所有“好点”的个数．
【解答】
（1）证明：
QP（m,n）是抛物线上的动点，
12
设P（m,m1），
4
212212212
POd1m2（m21）2（m21）2m21，
点P到直线l的距离为d21m21
（2）1m21，
244
d1d2，
P到O的距离PO等于P到直线l的距离PE．
（2）解：
如图1中，过P作PM//y轴，交直线l于M．
122
Qnm21，即m24n4；
4
222
PO2n24n4（n2）2，22
PO2PM2，
即POPM；
QD点（1,
2
，则OD的长为定值；
若PDO的周长最小，则POPD的值最小；
QPOPDPDPM⋯DM，
PDPO的最小值为DM，
DM；
即当D、P、M三点共线时PDPMPOPD
此时点P的横坐标为1，代入抛物线的解析式可得
y141
3，
4，
即P（1,3）．
3）解：
直线
OD的解析式为
3
x
2
12
x1
4
x3
，解得9
y
2
13
313或
2
13
313，
2
连接DM．
②如图3中，当2,m
1时，作PMy轴于
12g（
21g（14m21）（m）
12
m
8
31
m
42
M．
2
2
2）
12g（1
2
2）g1
12（1
14m2）（
m）
12
m
8
DM
x轴于
M．
313时，作
③如图4中，当1,m
2
2g1g2g1g（1
DOMPOMDMP
2）
1）
⑤如图6中，当m⋯2时，
作PM
x轴于
y轴于M．
1
2gmg22g（14m）（1m）
12
m
8
M．
4剟m4，
Q
11211
2g（4m21）（m1）2gmg（4
m21）
12
m
8
m4时，s
3
2，m
4时，S
7
478，
由此可知S的整数解为2，
3，4，对应的好点有5个．
14．定义：
在平面直角坐标系
xOy中，对于点P（x,y）．若点Q（2p
x,2q
y），（其中p
q1），
则称点
Q是点P的“中心对称点”．
1）若点
Q与坐标原点重合，求y与x之间的函数关系式；
2）若点
1
P在抛物线ymx2（m0）上运动，当P时，记点
Q随点P运动而形成的图形
为T．
①求T的解析式；（用含m的代数式表示）
②规定：
横、纵坐标都是整数的点叫做整点，图形T与x轴围成的区域内（含边界）恰有6
个整点，请在坐标系中画出图形
T，并求m的取值范围．
解答】解：
（1）由题意2px
0，2qy0，
x，qy，
22
Qp
1，
1，
2，
2．
2）
①由题意Q（1x,1y），
Qy
2
mx，
2
Q（1x,1mx），
222
1mx1m（1x1）1m（1x）2m（1x）m，不妨设1xt，
22
1mxmt2mt1m，
2
Q（t,mt22mt1m），
2
T的解析式为ymt22mt1m．
②Qymt22mt1mm（t1）21，
抛物线的顶点坐标为（1,1），
Q图形T与t轴围成的区域内（含边界）恰有6个整点，
由题意4m1⋯0，解得1m,1．
9m1094
15．阅读理解：
在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”．
尝试发现：
（1）点E（2,3），F（4,4），M（7，6），N（6，626），其中“和谐点”是4
请说明理由；
探索发现：
18
（2）如图2，若点P是双曲线y18上的“和谐点”，请求出所有满足条件的P点坐标．
x
解答】解：
（1）“和谐点”为F点和N点．
理由如下：
矩形的周长为
2（2
3）
10，矩形的面积为
2
3
6，则点E不是“和谐点”；
矩形的周长为
2（4
4）
16，矩形的面积为
4
4
6，则点F是“和谐点”；
矩形的周长为
2（7
6）
31
31，矩形的面积为
7
6
21
21，则点M不是“和谐点”；
4
2
4
2
矩形的周长为
2（6
6
26）6612，
矩形的面积为6（626）6612，则点N
是“和谐点”；故答案为点F和点N．
（2）设P（t，18）（t0），根据题意得2（t18）18，
整理得t29t180，解得t13，t26，此时P点坐标为（3,6），（6,3），
点（3,6），（6,3）关于原点的对称点为（3,6），所以“和谐点”P的坐标为（3,6），（6,3），（
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数
A（1,m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，0）（n⋯1），过点P作平行于
（6,3），
3,6），（6,3）．
k
y（x0）的图象与直线y2x1交于点x
y轴的直线，交直线y2x1于点B，交函
数yk（x0）的图象于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．x
①当n3时，求线段AB上的整点个数；
k
②若yk（x0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（包括边界）
x
m2113．
A（1,3）．
k
Q点A（1,3）在函数y的图象上，
x
k3．
（2）①当n3时，B、C两点的坐标为B（3,7）、C（3,1）．
Q整点在线段AB上
1剟x3且x为整数
x1，2，3
当x1时，y3，
当x2时，y5，
当x3时，y7，
线段AB上有（1,3）、（2,5）、（3,7）共3个整点．
2
17．已知点P（2,3）在抛物线L:
yax22axak（a，k均为常数且a0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴；
（2）当L经过点（4,7）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a0时，若L在点C，P之间的部分与
线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，求a的取值范围；
（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t剟x1t1，当x2⋯3时，均有y1⋯y2，直接写出t的取值范围．
解答】解：
（1）Q点P（2,3）在抛物线L:
yax22axak（a，k均为常数且a0）上，
第16页（共69页）
34a4aak，
k3a；
抛物线L的对称轴为直线x2a1，即x1；
2a
（2）QL经过点（4,7），
16a8aak7，
Qk3a，
1
8a4，解得a2，k
L的表达式为y
1x2x3；
2
4
x
2
x
1
y
Q
5
2
）
顶点坐标为（1,）；
（3）顶点坐标（1,
升级会员 