逻辑代数上命题演算 习题答案.docx

1、逻辑代数上命题演算 习题答案练习6.11. 判断下列语句哪些是命题，若是命题其真值是什么？（1）a+b+c。（2）x 0 。（3）请进！（4）离散数学是计算机科学与技术专业的基础课程。（5）2009年7月我们去意大利的米兰旅游。（6）啊！这里真漂亮。（7）今天是星期四吗？（8）我明天或者后天去天津。（9）如果买不到飞机票，我就去不了海南。（10）除非你陪我，否则我不去。（11）本命题是假的。（12）如果雪是黑的，太阳从北边升起。解：（1）不是命题。（2）不是命题。（3）不是命题。（4）是命题。真值是1。（5）是命题。真值是0。（6）不是命题。（7）不是命题。（8）是命题。真值是0。（9）是命题

2、。真值是1。（10）是命题。真值是1。（11）不是命题，是悖论。（12）是命题。真值是1。2. 指出下列语句哪些是原子命题，哪些是复合命题？并将复合命题形式化。（1）他去了教室，也去了机房。（2）今晚我去书店或者去图书馆。（3）我昨天没有去超市。（4）我们不能既看电视又看电影。（5）如果买不到飞机票，我就去不了海南。（6）小王不是坐飞机去上海，就是坐高铁去上海。（7）喜羊羊和懒羊羊是好朋友。（8）除非小李生病，否则他每天都会练习书法。（9）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：韩非子 显学）解：（1）P：他去了教室。 Q：他去了机房。 PQ（2）P：今晚我去书店。 Q：今晚我去图书馆。 PQ（3）

3、P：我昨天去超市。 P（4）P：我们看电视。 Q：我们看电影。 (PQ)（5）P：我买到飞机票。 Q：我去海南。 P Q（6）P：小王坐飞机去上海。 Q：小王坐高铁去上海。 （PQ） (PQ) 或者 (P Q)（7）原子命题（8）P：小李生病。 Q：小李每天都会练习书法。 P Q（9）P：侈。 Q：惰。 R：贫。 （(PQ) R）（( P Q) R）3. 判定下列符号串是否为命题公式。（1）P Q （2）(PQR)S （3）(PQ)P （4）P(PQ（5）P(PQ)(P Q)（6） (PQ) （ Q P）（7）（P R）（PQ）解：（1）不是（2）不是（3）是（4）不是（5）是（6）是（7）是

4、4. 请给出下列命题公式的真值表。（1） PQPQ P PQ0011011110001101（2）（ PQ）（P Q）PQ P Q PQP Q（ PQ）（P Q）0011000011010110010111100000（3） （PQ） RPQRPQ （PQ） （PQ） R000010001011010101011101100101101101110101111101（4）（P Q）（P Q）PQP QP Q（P Q）（P Q）00100011001001011100（5）（P Q）PPQP Q（P Q）P0011011110011111练习6.21. 试判定下列各式是重言式、可满足式还是矛盾式

5、。（1）(PQ)(QP)PQPQQP(PQ)(QP)00111011001001111111由表中最后一列可以看出，原式为可满足式。（2）P(PQ)PQPPQP(PQ)00111011111000111011由表中最后一列可以看出，原式为重言式。（3）Q(PQ)PQPQ(PQ)Q(PQ)00100011001001011100由表中最后一列可以看出，原式为矛盾式。（4）PQ(P Q)PQPQP QPQ(P Q)00011010011000111111由表中最后一列可以看出，原式为重言式。（5）(P Q)(R Q) (PR) Q)PQRP QR Q(P Q)(R Q)PR(PR) Q(P Q)(

6、R Q) (PR) Q)000111011001101100010111011011111111100011100101000101110111111111111111由表中最后一列可以看出，原式为可满足式。2.证明下列逻辑等价式： （1）A B (AB)(AB)证明：方法一 (AB)(AB) (AA)(AB) (BA)(BB) T(AB)(BA)T (BA)(AB) (B A)(A B) A B方法二：ABA BABABAB( (AB) (AB)(A B) ( (AB) (AB)001011111010010001100001001111100011由此真值表可见(A B) ( (AB) (

7、AB) 是永真式，所以A B (AB)(AB)成立。方法三 假设为一指派。若(A B)=1，则(A)= (B)。(i)若(A)= (B)=0。则(A)= (B)=1,从而(AB)=1，进而(AB)(AB)=1.(ii)若(A)= (B)=1。则(AB)=1，进而（(AB)(AB)）=1。若(A B)=0，则(A)和(B)不相等。从而(A)和(B)也不相等。则(AB)=0且(AB)=0，从而（(AB)(AB)）=0。所以(A B) (AB) (AB)（2）A(BC) B(AC)证明：方法一A(BC) A(BC) A(BC) B(AC) B(A C) B(AC)方法二：ABCBCA(BC)ACB(

8、AC)A(BC) B(AC)0001111100111111010011110111111110011011101111111100000111111111由此真值表可见A(BC) B(AC)是永真式，所以A(BC) B(AC)成立。方法三: 假设为一指派。若(A(BC)=1,分以下二种情况：（i）(A)=1，则(BC)=1. 若(B)=0，则(B(AC)=1.若(B)=1，则(C)=1,从而(B(AC)=1.(ii) (A)=0, 则(AC)=1。从而(B(AC)=1。若(A(BC)=0,则(A)=1, (B)=1, (C)=0,从而(B(AC)=0。所以：A(BC) B(AC)（3）A(B

9、C) (AB)(AC)证明：(AB)(AC) (AB)(AC) (AB)(AC) (AB)(AC) (AAC)(BAC) BAC B(AC) B(AC)（4）(AB)(AB) A 证明：(AB)(AB) (AB)(AB) A(BB) AT A3. 证明下列逻辑蕴涵式： （1）AB A B证明：（方法一）假设任一指派 ，使得 ( AB)=1，要证 ( A B)=1。由于 ( AB)=1，于是 (A)= (B)=1从而得到 ( A B)=1。故AB A B得证。（方法二）AB (AB)(AB) A B（方法三）由于ABABA BAB(A B)00011010011000111111所以AB(A B

10、)是永真式，所以AB A B。（2）(AB)A A证明：假设任一指派 ，使得 ( A)= 0，要证 (AB)A)=0。由于 (A)=0，于是无论B为真还是为假，都有 (AB)=1。从而 (AB)A)=0。故(AB)A A得证。（3）(AB)(AC)(BC) C 证明：(方法一)假设任一指派 ，使得 (C)=0要证 (AB)(AC)(BC)= 0（1）若 (A)= (B)=0于是 (AB)= 0，此时 (AB)(AC)(BC)= 0（2）若 (A)=1 且 (B)=0于是 ( AC)= 0，此时 (AB)(AC)(BC)= 0（3）若 (A)=0 且 (B)=1于是 ( BC)= 0，此时 (A

11、B)(AC)(BC)= 0（4）若 (A)=1 且 (B)=1于是 ( BC)= ( AC)= 0，此时 (AB)(AC)(BC)= 0故(AB)(AC)(BC) C得证。（方法二）假设任一指派 ，使得 (AB)(AC)(BC)= 1要证 (C)=1。由于 (AB)(AC)(BC)= 1, 所以 (AB)=1, 且 (AC)=1且 (BC)= 1。由 (AB)=1,得到 (A)=1或者 (B)=1。（1）若 (A)=1，则由 (AC)=1得到 (C)=1。（2）若 (B)=1，则由 (BC)=1得到 (C)=1.故(AB)(AC)(BC) C得证。(方法三) (AB)(AC)(BC) (AB)

12、(AC)(BC) (AB)(AC)(BC) (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (AB)(AB) (AB)C) F(AB)C) (AB)C) C4. 化简下列各式：（1）(AB)(AB)(AB)解：(AB)(AB)(AB) (A(BB)(AB) (AF)(AB) A(AB) (AA)(AB) F(AB) AB（2）(QP)(PQ)解：(QP)(PQ) (QP)(PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ) (QPQ) (PPQ) T (PQ) (PQ) (PQ)（3）(PQ) (QP)解：(PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ) (PQ) T （4）B(AB)A)解：B(AB

13、)A) B(AB)A) B(AB)A) B(AA) (AB) B(T(AB) B (AB) T（5）(Q(PQ)P)(QP)解：(Q(PQ)P)(QP) (Q(PQ)P)(QP) (Q(PQ)P)(QP) (QP)(QQ)P)(QP) (QP)FP)(QP) (QP)P)(QP) (QP) P)(QP) (QPP)(QP) (QP)(QP) (QQP) (P)QP) FF F练习6.31. 把下列各式化为析取范式：（1）(PQ)R解：(PQ)R (PQ)R (PQ)R（2）(PQ)R解：(PQ)R (PQ)R (PQ)R PQR（3）(PQ)(PQ)解：(PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (P

14、Q)(PQ) (PP)(PQ) (QP )(QQ) F(PQ) (QP )F (PQ) (PQ)（4）(QP)(PQ)解：(QP)(PQ) (QP)(PQ) (QP)(PQ) (QP)PQ 2. 把下列各式化为合取范式：（1）(PQ)R解：(PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR)（2）B(AB)A)解：B(AB)A) B(AB)A) B(AB) A) (BA)(AB) (BAA) (BAB) (BT)(BAB) T(AB) (AB)（3）P (P(P Q)解：P (P(P Q) P(P(P Q)(Q P) P(P(PQ)(QP) (PP)(PPQ) (PQP)（4）(P(Q R)S

15、解：(P(Q R)S (P(QR)(QR)S (PQQ)(PQR)(PRQ)(PRR)S3. 求下列公式的主析取范式、主合取范式，并据主析取范式直接确定使该公式为真指派，据主合取范式直接确定使该公式为假指派。（1）(PQ) (PQR)解：求主析取范式(PQ) (PQR) (PQ(RR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)使公式为真的指派有：(1,1,1)、(1,1,0)、(0,1,1)求主合取范式(PQ) (PQR) (PP ) (PQ) (PR) (QP) (QQ) (QR) (PQ) (PR) (PQ) Q (QR) (PQ(RR)(P(QQ)R)(PQ(RR)(PP)Q(RR

16、)(PP)QR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)使公式为假的指派有：(0,0,0)、(0,0,1)、(0,1,0)、(1,0,0)、(1,0,1)（2）(PQ) (PQ)解：求主析取范式(PQ) (PQ) (PQ)(PQ) (PQP)(PQQ) PQ (P(QQ)(PP)Q) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)使公式为真的指派有：(1,1)、(1,0) 、(0,1)求主合取范式(PQ) (PQ) (PQ)(PQ) (PQP)(P

17、QQ) PQ使公式为假的指派有：(0,0)（3）P(P(Q(QR)解：求主析取范式P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) P(P(QR) P(PQR) PQR (P(QQ) (RR)(PP) Q(RR)（(PP) (QQ) R） (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (PQR) (PQR)使公式为真的指派有：(1,1,1)、(1,0,1)、(1,1,0)、(1,0,0)、(0,1,1)、(0,1,0)、(0,0,1)求主合取范式P(P(Q(QR) P(P(Q

18、(QR) P(P(QR) P(PQR) PQR使公式为假的指派有：(0,0,0)（4）(P(Q R)S解：求主合取范式(P(Q R)S (P(QR)(QR)S (PQQ)(PQR)(PRQ)(PRR)S (PQR)(PRQ)S (PQR(SS)(PQR(SS)(PP)(QQ)(RR)S) (PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS) (PQRS)(PQRS) (PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)使公式为假的指派有：(0,0,0,0)、(

19、0,0,1,0)、(0,0,1,1)、(0,1,0,0)、(0,1,0,1)、(0,1,1,0) 、(1,0,0,0)、(1,0,1,0)、(1,1,0,0)、 (1,1,1,0) 使公式为真的指派有：(0,0,0,1)、(0,1,1,1)、(1,0,0,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,1)主析取范式为(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS) 4. A、B、C、D四个人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？如何派？（1）若去则C和D中要去一个人；（2）B和C不能都去；（3）C去则D要留下。解：设 A:A去出差。 B:B去出差。

20、C:C去出差。 D:D去出差。将题目中的三个条件进行形式化：A (C D) (BC) C D于是将下面的命题公式转化为析取范式：（A (C D)）(BC)(C D) (A(CD)(CD)）(BC)(CD) (A(CD)(CD)）(BC)(BD)(CC)(CD) (ABC)(ABD)(AC) (ACD)(CDBC)(CDBD) (CDC) (CDCD) (CDBC) (CDBD) (CDC) (CDCD)在析取范式中，有些项不符合题意，已用下划线标出，将这些项从始终删除，得到下式：(AC) (CDBC) (CDC) (CDBC) (CDC) (CDBD) (AC)(CDB)(CD)(CDB)(CDB)根据此式可以得到以下结论： 可以派B和D，或者A和D，或者A和C。练习6.41. 运用直接证法证明下列各式：（1）(PQ), QR, R P证明：Q R 引入前提R 引入前提Q 由析取三段论(PQ) 引入前提PQ 由置换 （据(AB) AB）P 由析取三段论（2）J(MN),(HG) J, HG MN证明：J(MN) 引入前提(HG) J 引入前提(HG) (MN) 由假言三段论HG 引入前提MN 由假言推理（3）BC,(B