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1、非线性微分方程和稳定性第六章 非线性微分方程和稳定性6-1 对下列方程求出常数特解， 并且画出方程经过 0, x0 的积分曲线的走向， 从而判断 各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。1)A 0, B 0, x02Ax Bx 2 dt2)dt x x 1 x 3 ,x0 0dx A解 1 )方程可化为 Bx( x) ，则其常数特解为dt BAx1 0, x2 ，即为驻定解。BA由于方程为分离变量方程或迫努利方程) ，当x 0,x BA时，分离变量得1xxAxBdx Adt方程的通解为A xBx CeAt利用初始条件x0 0, x0 BA ，得x0CA Bx0，故得

2、原方程满足初始条件的解为x(t)B A B e Atx0t01)由式( 1)和方程右端的表达式，得出当 x0 0 时，dt 0， x(t)递增，A又 B Bx0x0B e AtB时，x( t ) ，1A即t t Aln(x0B 1)时， x(t) 。x0 0时 xA0 Bx00,0,Adxx0,0Bdt，有Adxx0,0BdtA x(t) AB t所以解( 1)的图像如图 6-5 所示。从解的图像可以看出：解 x1 0 不稳定；解 x2A稳定。BA利用变换 y x BA ，可将原方程化为dy A(y A) B(y A)2 Ay By2dt B BA所以原方程的驻定解 x2 对应于方程Bddyt

3、 Ay By2的零解 y 0 。2)由 x x 1 x 3 0 ，求得常数解为x1 0,x2 1,x3 3。因为 f t,x x x 1 x 3 在全平面上连续可微， 故对任意初始点 t0,x0 ，解唯一存在，当 t 0,x 0 时有在区域 0 x 1 ，dx0 ，任意解 x x t 递增，在 t 时 ，以 x 1 为渐近线。 dt在区域 1 x 3，0，任意解 x xt 递减，在 t 时 ，以x 1为渐近线。 dt在区域 x 3 ，0 ，任意解 x x t 递增，在 t 时 ， x t 远离 x3 t 3 ， dtdx又 t ，故 x t 有铅直渐近线。 dt积分曲线的分布如图 6-6 所示

4、。图 6-6从图 6-6 看出：当 x0 0时， x(t) 0；当 0 x0 3时， x(t) 1，当 t 时，驻定解 x2 1 稳定； x3 3不稳定。令 y x 1 ，代入原方程，得dy y y 1 y 2dt令 y x 3 ，代入原方程，得dy y y 2 y 3 dt所以原方程的驻定解 x2 1和 x3 3 对应于新方程的零解 y 0。评注： 驻定解是使方程的左端为零的解， 也就是常数解。如果方程的通解能够解出， 直 接可研究驻定解的稳定性； 如果方程的解不易得到， 就从方程本身的特点研究其稳定性， 这 时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。 从题目中我们还可以

5、 知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解， 这也是为什么在稳定性理论的研究dx 2中只考虑零解稳定性的缘故。方程 Ax Bx2 是著名的罗杰斯蒂克 （Logistic）微分方 dt程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。6-2 试讨论线性方程组dxddytdydtax bycy的奇点类型，其中 a，b， c为实数且 ac 0。解 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件又由ac 0 ，故线性方程组有唯一的奇点，即原点 0,0 。det A E2 a c ac 0 ，所以由定理 6.1 知，方程组的奇点 0,0 可以分为以下类型：a, c为实数ac 0,奇点为结点 aca c,c

6、0, a c, c 0,ac 0,奇点为鞍点 （不稳定 ）奇点为稳定结点 奇点为不稳定结点a （ ）0,c （ ）0,奇点为 （不）稳定结点b 0, 奇点为退化结点 acb 0, 奇点为奇结点评注： 讨论含参数系统的稳定性时， 要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。6-3 试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。1)dx 29 x 6y 4 xy 5x ddytdy 6x 6y 5xy 4 y2 dt2)dxyddytdy x (ydtx2 ), 0解 1 ) 先求出奇点。解方程组29x 6 y 4xy 5x2 026x 6 y 5xy 4y 0 得x1 0, y1 0x2

7、2y2 1x3 1，y3 2所以方程组 1)有奇点为 (0,0),(1,2)和 (2,1) 。再研究驻定解的稳定性态。a) 零解的稳定性态。奇点 (0,0) 的一次近似方程组为dx 9x 6yddytdy 6 x 6y dt其特征根 1 6, 2 3 ，有正实部的特征根，由定理 6.3 和定理 6.5 可知原系统的零解不 稳定。b) 驻定解 x 1, y 2 的稳定性态。X x 1Y y 2将 1)中方程组化为dXdtdYdt27X 2Y 4XY 5X 24X 5Y 5XY 4Y 2dXdtdYdt7 X 2Y4 X 5Y一次近似方程组为2不稳有正实部的特征根 1 9, 2 3，由定理 6.3

8、 和定理 6.5可知驻定解 x 1, y定。c) 驻定解 x 2, y 1 的稳定性态 令X x 2Y y 1将 1 )中方程组化为dX 7X 2Y 4XY 5X 2ddYtdY X 8Y 5XY 4Y 2 dt一次近似方程组为dXdtdYdt7 X 2YX 8Y其特征根 1 6, 2 9，由定理 6.3和定理 6.5 可知驻定解 x 2, y 1渐近稳定。2) 先求出奇点。解方程组y02x ( y x2) 0x1 0 y1 01x2y2，1故系统 2)有奇点为 (0,0)和( 1,0)。f ( x, y)yx g(x, y) yy Pi再研究驻定解的稳定性态。一般地，对于系统dxdt f (

9、x, y)dt ，它在驻定解 Pi(xi,yi )的一次近似方程组为 dyg(x, y) dt其中方程组的系数矩阵称为函数 f(x,y),g(x,y)关于 x, y的雅可比矩阵。在此题中，驻定解 Pi(xi, yi) 的一次近似方程组为1xdxdt 0dy 1 2xdt所以系统 2)零解的一次近似方程组为4有正实部的特征根 1, 2 ，由定理 6.3 和定理 6.5 可知零解 x y 0 不稳定。1系统 2）在（ 1 ,0）的一次近似方程组为dx ydtdyx y特征根为 1,2dt，显然有正实部的特征根，由定理 6.3 和定理 6.5 可知驻定解1x 1 , y 0 不稳定。1）的解法是先将

10、驻评注： 系统的常数解即为驻定解，对应到相平面上就是奇点。本题 定解平移至零解，然后利用它的一次近似系统的零解稳定性来研究非线性系统零解的稳定。本题 2）给出得到一次近似系统的另一种方法，是将系统在奇点处按泰勒公式展开取线性主 部即可。6-4 研究下列方程（组）零解的稳定性。1）d3x d 2xdx3 5 2 6 x 0 dt 3 dt 2 dt1）2）ddxt x y, ddyt y z,ddzt z x， 为常数。d2x1) 令 y1 x,y2 dx ,y3 2 ，dt dt则方程（ 1）可化为为dy1ddyt1 y2 dy2 y3 dt 3 dy32）dt y1 6y2 5y310det

11、（ E A） 016因为5 a0 1, a1 5, 21所以由霍维兹定理得，特征根均具有负实部，1 3 5 2 6 1 0 ，5129, a3 16因而（ 2）的零解即（ 1）的零解渐近稳定。2) det( E A)( )3 1 0 ，1 1,2 1 3i2,3 ，1所以，当 2 时，特征根均具有负实部，方程组的零解是渐近稳定的；1当 时，有正实部的特征根，方程组的零解是不稳定的；21，故方程1当 时，没有正实部的特征根，且具有零实部的根的初级因子的次数等于2组的零解是稳定的（但非渐近稳定） 。评注：高阶方程零解的稳定性可化为与之等价的一阶线性微分方程组零解的稳定性问题来研究， 而常系数一阶线

12、性微分方程组零解的稳定性可归结为它的特征根的问题。 注意霍维 兹定理的应用。6-5 某自激振动系统以数学形式表示如下（范得坡方程）ddt2x (x2 1) ddxt x 0( 0)试讨论系统的平衡状态的稳定性态。dx解 令 y x,z ddxt ，则原方程化为一次近似方程组为dy ddztdz dtdy zzddzt ，dz y z dt1 0 ，得 4, 2 ， , 2 2具有正实部的根，由定理6.3 和定理 6.5 得方程组的零解不稳定，因而，所讨论系统的平衡状态是不稳定的。评注：先将高阶方程化为与之等价的一阶线性微分方程组，再研究方程组的一次近似系统，应用定理 6.5 得到原系统的稳定性

13、。6-6 研究下列方程组零解的稳定性：1)dx x y (x y)(x2 y2 ) ddytdy x y (x y)(x 2 y2 dt2)dx y 2ddytdy dt22x(x2 y2 )3)dx dt xy ,6 dy y3 x4 dt4)1)取定正函数 V x2 y 2，x2 y2dV 3 2x( x y x dt2 2 2 22(x2 y2 )(x2 y2 1) 022xy x yx22 2 2y (x y )dxax xy ,dt1，则2 dydt2x4y( a为参数)3 3 2 2 3y ) 2y(x y x xy x y y )定负，所以由定理 6.6 知方程组的零解是渐近稳定

14、的。2) 取变号函数 V (x,y) x y ，则dV 2 2 2 2 2 2 2 y x(x y ) x y ( x y ) dt2 2 2 2 2 2 2x2 y2 x(x2 y2) y2 (x2 y2 )2 2 dVx y 定正，故 在原点的邻域内定正。dt(x,y)使由于V(x,y)是变号函数，故在原点 (0,0) 的任意小邻域内都至少存在某点V( x, y) 0 ，故方程组的零解是不稳定的。3)取正定函数V(x,y) x4 y4 ，则有dV 3 6 3 3 4 4 6 4 6 4x ( xy ) 4y (y x ) 4 x y 4x y 0 dt方程组的零解是稳定的。4)取定正函数V

15、(x,y) 1(x4 y2) ，4则dV x3(ax xy2) 1 y(2x4y) ax4，dt 2当 a 0 时，dV 常负，方程组的零解是稳定的；dt当 a 0 时，方程组的线性近似方程组具有正实部的特征根：0,。特别注因而方程组的零解是不稳定的。评注： 利用李雅普诺夫第二方法研究系统的稳定性，关键寻找适当的 V 意寻找的 V 函数只要在零解的某一个邻域内满足条件即可。6-7 给定微分方程组ddxt y xf (x, y), ddyt x yf(x, y) ，其中 f (x, y)有一阶连续偏导数。试证明在原点邻域内如当 f 0 ，则零解是渐近稳定的， 当 f 0 则零解是不稳定的。证 显

16、然原方程组的由初始条件所确定的解，在原点的某个邻域内存在且唯一。x 0, y 0 是方程组的特解。取定正函数 V(x,y) x2 y2 ，则其通过方程组的全导数为：ddVt 2x(y xf (x, y) 2y( x yf (x, y) 2(x2 y2)f (x,y)。因此，在原点邻域内当 f 0 ，则 dV 定负，零解为渐近稳定的； dt当 f 0 ，则 dV 定正，零解为不稳定的。dt评注： 正确选择 V 函数。d2x6-8 给定方程 2 f(x) 0，其中 f (0) 0，而当 x 0时 xf (x) 0( k x k)。 dt2试将其化为一阶方程组，并用形如 V(x,y) 1 y2 f

17、(s)ds的李雅普诺夫函数讨论方程dx 解 令 dxdt组零解的稳定性。y，则 dy f (x) ，原方程化为dtdx y， dy f (x)dt dt取函数12V(x, y) 12 y2x0 f (s)ds ，由于 f (0) 0，且当 x 0时， xf (x) 0( k x k)，所以12V(x, y) 12 y2 0 f (s)ds是定正函数，则有ddVt yf (x) yf(x) 0， 方程组的零解为稳定的。评注： 给出了一种 V 函数的构造方法。6-9 方程组 dx dty x3,dy 2(x3 y5 )能否由线性近似方程决定其稳定性问题？试寻求李雅普诺夫函数以解决这方程组的零解的稳

18、定性问题。 同时变动高次项使新方程的零 解为不稳定的。解由det( E A) 1 2 0 ， 0得 1,2 0 ，属于临界情形，因此原方程的零解的稳定性态是不能由线性近似方程组来决定 的。为此，取定正函数V(x,y) 21(x4 y2) ，dVdt则2x3(y x3 ) 2y(x3 y5) 2(x6 y6 ) 0定负，故原方程组的零解是渐近稳定的。如果变动高次项，使dxdty x3, ddyt 2(x3 y5)仍取定正函数V(x,y) 21(x4 y2) ，dVdt则有2x3(y x3 ) 2y(x3 y5) 2(x6 y6) 0定正。则新方程组的零解为不稳定的。评注： 当一次近似系统有初级因

19、子的次数不等于 1 的零根或具零实部的根(即临界情形)时， 非线性系统零解的稳定性态是不能由线性近似方程组来决定的。 此题说明在临界情 形下改变高次项既可使得系统稳定也可使其不稳定。6-10 试确定下列方程组的周期解、 极限环，并讨论极限环的稳定性。dx 2 2 2 y x( x y 1)1)dtdy 2 2 2x y (x y 1)dt2)dx y x (x2 y2 1) dt x2 y2dydty 2 2x 2 2 ( x y 1)x2 y 222当 x2 y2 0dxdtddyt 0，1)取极坐标 x r cos , y r sin ，则有dxdr r sindcosdtdtdtdydr

20、sin r cosddtdtdt因而方程组可化为：1)由( 1)知，当 r 0和r 1时，dr ddr 0 而 d 1，即有两个特解：dt dttr 0, dt t t0 t t0 ，t0 tr 1, t dt t t 0 t t0 ， t0第一个特解是零解，在相平面上为原点，是一奇点。第二个特解表示以 2 为周期的周 期解，即半径为 1 的等距螺旋线，在相平面上是以原点为圆心、半径为 1 的圆，这个圆就是闭轨线，由方程组( 1)的第二式知，轨线是沿着逆时针方向旋转的。下面判断此闭轨线是 极限环。在相平面上，以原点为圆心，任作一个半径为 R 0 的圆，考察方程组通过这个圆上任 一点 (R, *

21、) 的轨线的走向：当 R R1 1 时，由( 1)有drdr r R1 R1(R12 1)2 0， r 是t 的递减函数， dt 1d * 1 0， 是t 的递增函数，dt *故随着 t 的增大，轨线按逆时针方向从圆 r R1 上走进圆内；当 R R21 时，由( 1)有dr 2r R R2(R22 1)2 0， r是 t的递减函数，dt 2d * 1 0， 是t 的递增函数，表示轨线沿逆时针方向运动， dt *故随着 t的增大，轨线按逆时针方向从圆 r R2 上走进圆内。综上所述得如下结论：a) 原方程组有周期解： r 1, t t0(t t0) ；b) 闭轨线 r 1 是孤立的，因而它是一

22、个极限环；c) 此极限环的外侧轨线正向趋近于它，而内侧轨线负向趋近于它，因而是半稳定的。2) 取极坐标 x r cos , y r sin ，则原方程组可化为22)r ( r 1) r dt d1dt方程组( 2)有两个特解r 0, 为任意角r 1, t0 t(t t0 )2 为周期的周1 的圆，这个圆就是其中第一个特解是零解，在相平面上为原点，是一奇点。第二个特解表示以期解，即半径为 1 的等距螺旋线，在相平面上是以原点为圆心、半径为 闭轨线，由方程组( 2)的第二式知，轨线是沿着顺时针方向旋转的。 下面判断此闭轨线是极限环。在相平面上，任作以原点为圆心，以R为半径的圆，考察方程组通过此圆上

23、任一点( R, *) 的轨线的走向：当 R R1 1 时，由( 2)有dr dt d2r R 1 R12 0，r 是t的递增函数，dt *1 0 ，表示轨线沿顺时针方向运动，2r R 1 R2 0 ， r 是 t 的递减函数，当 R R2 1 时，由( 1)有dr1 0 ，顺时针方向 。dt ddt *所以，当 t 时， 轨线均趋于圆 r 1 ，因此圆 r 1 是原系统的一稳定的极限环。综上所述得如下结论：a) 原方程组有周期解： r 1, t0 t(t t0) ；b) 闭轨线 r 1 是孤立的，因而它是一个极限环；c) 此极限环的内外两侧的轨线顺时针趋近于它， 因而是稳定的。评注： 研究系统

24、极限环时，常用极坐标变换，注意在极坐标下奇点和闭轨线的表达式。研究极限环的稳定性时，需考虑闭轨邻域内轨线的走向。注意区分周期解、闭轨和极限环。6-11 判别方程组有无极限环存在解 因为XYxy2 3(x2 y2 )2 2 2 所以由定理 6.9 可知，方程组在 x2 y 2 的区域内不存在极限环。32 2 2 下面讨论包括 x 2 y2 在内的区域上极限环的存在性。3取极坐标 x r cos , y r sin ，则原方程组可化为1)dr rr 2(cos4 sin 4 ) 1 dtd 1 r2 sin4dt 411由于由此，若cos4 sin4 1 sin2 2，所以 cos4 sin 4

25、的最小值为 ，最大值为 1。22cos4 sin4 取 1 时， dr 0，则 dr 0恒成立；若 cos4 sin4 取 1时2 dt dtdr 0 ，dt则 dr 0 恒成立。 dta)令 cos4 sin4 121rr2(cos4 sin4 ) 1 r r 2 1 0， 1则因为 r 0，故12r2 1 0，即有 r 2。于是当 r 2 时，恒成立dr 2 4 4r r 2 (cos4 sin4 ) 1 0 ，dt又此时当 r 2 时，d r 21 sin 4 0 。dt 4因此，在相平面上，以原点为圆心，以 R1 2 为半径作圆，则在此圆以外的邻近区 域内，轨线沿顺时针方向向外走。b)

26、同理令 cos4 sin 4 1rr2 1 0，得 r 1(r 0) ，dr于是，当 0 r 1时， 0 恒成立。dt又此时 d 1 r sin 4 0恒成立。 dt 4因此，在相平面上，以原点为圆心，以 R2 1 为半径作圆，则在此圆以外的邻近区域 内，轨线沿顺时针方向向圆内走。又在环形域 D : R2 r R1 内，没有方程组的奇点，故由 a)和 b)知原方程组在环形 域 D 内一定存在不稳定的极限环。评注： 班狄克生环域定理 (定理 6.8 )是判断极限环存在的有效方法， 注意环域的构造。定理 6.9 是寻找极限环不存在的区域的简捷方法。6-12 考虑方程组其中函数 X ( x, y),

27、Y ( x, y)在单连通区域 D内有连续偏导数，假设存在函数 B(x,y) ，其一于零。试证明上述方程组于域D 内不存在任何周期解。应用此结论证明方程2dt 2 dt dt没有极限环存在，其中 a,b, , 为常数，且 b 0。证 假设 D 内存在周期为 T 的周期解: x x(t ), y y(t),0 t T ，根据格林公式，则对于由 所围成的区域 D (D D) 有( (BX ) (BY)dxdy (BXdy BYdx) D x y(BX dy BY dx )dtdt dtdt dtB(XY YX )dt 0，所以(BX ) (BY) 0 ， xy这与已知 (BX) (BY)在 D的任

28、一子域内不恒等于零相矛盾，故原方程组在 Dxy内不存在任何周期解。dx d 2 x令 y ，则可将方程 2 axdt dt 2b ddxt x2 (ddxt)2 0化为方程组dx ydtdy 2 2 ax by x ydt取B(x,y) be2 x，则(BX ) (BY) xy(be 2x y) ( abe 2xx b2e 2xy be 2xx2 be 2x y2)xy2x 2 2x 2 x 2 2 x2 be y b e 2 be y b e 0(b 0)所以方程不存在任何周期解，当然更没有极限环存在。Dulac)准则，关键寻找杜评注： 本题给出了极限环不存在的判别方法，称为杜拉克(拉克函数 B(x,y) 。6-13 证明下列方程(组)存在唯一的稳定极限环1)dxydtdy 5 xyx1)dt23x2yd2x2) ddt2x (x2n )ddxt x2m1 0，( , , 为正常数， m,n为正整数)。证 1